與三角形“三線”有關(guān)問題的解法探究與感悟

錢麗談 楊吉青

摘 要：本文從一道練習的解法探究總結(jié)歸納了與三角形中線、高線、角平分線有關(guān)問題的幾個重要視角.同時，通過各個視角對同一問題的解法進行探究和分析，充分感受到“一題多解”對培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的促進作用.

關(guān)鍵詞：三角形三線;解法探究;數(shù)學核心素養(yǎng)

二、解法歸納

對于同一道題，從不同的角度分析可以得到不同的解法.上述從不同的視角討論了題目的8種不同的解法，通過對比，這8種不同解法的難易程度不同.

角平分線的性質(zhì)定理在初中時已經(jīng)經(jīng)過了大量的訓練，是學生最熟悉的定理之一，因此解法1和解法2是學生最容易上手的，是對定理的直接應(yīng)用，對數(shù)學思維和數(shù)學運算要求比較低.

直角坐標系使幾何研究又一次騰飛，當我們給直線插上方程的“翅膀”后，直線問題的研究就變得更加深入和透徹了.解法3、解法4、解法5都是以直線方程的視角來解題的，但是不同的解法對學生的思維要求是不同的.解法3是考慮了直線方程中傾斜角和斜率這兩個表象之間的關(guān)系，屬于淺層次的知識應(yīng)用;解法4需要將角平分線定理與點關(guān)于直線的對稱問題相結(jié)合，通過“數(shù)形結(jié)合”，用抽象的代數(shù)形式來解決直觀的對稱問題，需要學生具有較好的直觀想象和數(shù)學抽象核心素養(yǎng);解法5從軌跡的角度來求角平分線使得直線方程更加一般化，更加抽象了，特別是對關(guān)系式y(tǒng)=|4x+3y-12|5中絕對值內(nèi)數(shù)值正負的判斷，更需要學生具有良好的數(shù)學運算素養(yǎng).

向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的工具.在平面幾何中向量可以將很多問題代數(shù)化，三角形的“三線”都有自己的向量表示，因此三角形“三線”問題往往可以借助向量來解決.當然解法6首先要求學生能夠聯(lián)系向量來理解和刻畫“角平分線”的內(nèi)涵，這是一種對所學知識進行融會貫通的綜合應(yīng)用能力，對學生數(shù)學思維的靈活性和深刻性都有很高的要求.同樣，解法7和解法8分別借助正余弦定理和三角形“四心”的性質(zhì)來解題，都需要有較強的綜合應(yīng)用知識的能力，都屬于深層次的知識應(yīng)用.

三、探究感悟

一題多解是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的一種有效的手段.一題多解首先需要學生能從題目所給的數(shù)量及圖形之間的關(guān)系中尋找概念之間的聯(lián)系，能從多角度認識一個問題，這個分析問題的過程就是一個數(shù)學抽象及數(shù)據(jù)分析的過程.當然，在尋找不同解法的過程中，直觀想象也會發(fā)揮重要的作用;其次，解題過程本身就是一個思維與運算相結(jié)合的過程，不同的解法主要體現(xiàn)在思維的靈活性和深刻性以及運算的難易性上，通過“一題多解”可以比較不同解法的優(yōu)劣，探究好的解法究竟“優(yōu)”在哪里？在這個解決問題和比較分析的過程中自然能潛移默化地提高學生的邏輯推理及數(shù)學運算核心素養(yǎng)的發(fā)展.

總之，一題多解的解法探究能促進學生學會用數(shù)學的眼光觀察世界;對同一道題運用多樣化的表征來實現(xiàn)一題多解能促進學生用數(shù)學的語言表達世界;一題多解之后對不同解法的比較歸納和總結(jié)能促進學生用數(shù)學的思維思考世界.