基于泰勒公式分析高等數(shù)學(xué)的解題技巧

司國(guó)星 閆麗娜

【摘要】泰勒公式作為高等數(shù)學(xué)中非常重要的數(shù)學(xué)公式，在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，為學(xué)生解決高等數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了十分重要的幫助.本文介紹了泰勒公式的具體內(nèi)容，對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)過(guò)程中產(chǎn)生的問(wèn)題進(jìn)行了相應(yīng)的分析，提出了怎樣運(yùn)用泰勒公式提升高等數(shù)學(xué)的解題技巧的方法，加深學(xué)生的學(xué)習(xí)印象，促使學(xué)生在學(xué)習(xí)成績(jī)提高的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法.

【關(guān)鍵詞】泰勒公式；高等數(shù)學(xué)；解題技巧

一、泰勒公式的具體內(nèi)容

在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，對(duì)于泰勒公式的應(yīng)用十分普遍，通過(guò)利用泰勒公式將低級(jí)函數(shù)展開(kāi)成為冪級(jí)數(shù)，求解函數(shù)的近似值.泰勒公式作為高等函數(shù)中的重要公式，在數(shù)學(xué)應(yīng)用中具有重要作用.泰勒公式的具體內(nèi)容為：設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處的某鄰域內(nèi)具有n+1階導(dǎo)數(shù)，對(duì)該鄰域內(nèi)異于x0的任意點(diǎn)x，在兩點(diǎn)之中至少存在一點(diǎn)ξ，使得f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+12！f″（x0）（x-x0）2+…+f（n）（x0）n！（x-x0）n+Rn（x），其中Rn（x）=f（n+1）（ξ）（n+1）！（x-x0）n+1，ξ在x0與x之間.當(dāng)公式中x0=0時(shí)，f（x）=f（0）+f′（0）x+12！f″（0）x2+…+f（n）（0）n！xn+Rn（x），此公式是泰勒公式的子公式，被稱為麥克勞林公式.在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)這兩類公式的應(yīng)用十分普遍.通常應(yīng)用泰勒公式與麥克勞林公式解決函數(shù)的極限、求函數(shù)極值、應(yīng)用到高階導(dǎo)數(shù)之中，從而為高等數(shù)學(xué)的解題提供方便的回答方式，為學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)提供了方便.泰勒公式在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，讓教師在為學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題講解時(shí)，簡(jiǎn)化了解題步驟，讓數(shù)學(xué)的解題過(guò)程更便于學(xué)生的理解，提升了課堂效率.

二、學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)產(chǎn)生的問(wèn)題

學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)面對(duì)陌生的數(shù)學(xué)問(wèn)題，極易產(chǎn)生疑問(wèn).學(xué)生在面對(duì)數(shù)學(xué)疑問(wèn)的過(guò)程中，并不懂得如何利用數(shù)學(xué)公式解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)公式的理解，同時(shí)多做題、勤翻書，讓自己對(duì)數(shù)學(xué)公式的印象更加深刻.學(xué)生在面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)總是把問(wèn)題復(fù)雜化，如，在求解函數(shù)的極限時(shí)，學(xué)生運(yùn)用公式的不恰當(dāng)，讓解題方法復(fù)雜化，從而降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，影響了學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī).學(xué)生在處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，應(yīng)總結(jié)教師的解題方法，面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，認(rèn)真分析，抓住問(wèn)題關(guān)鍵點(diǎn)，從而解決問(wèn)題.學(xué)生在面對(duì)高等數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，對(duì)問(wèn)題分析的準(zhǔn)確性低，對(duì)問(wèn)題矛盾的主要方面與次要方面把握不到位，學(xué)生對(duì)公式應(yīng)用的不熟練，促使學(xué)生無(wú)法解答數(shù)學(xué)難題.學(xué)生在把握數(shù)學(xué)問(wèn)題主次時(shí)，可以通過(guò)同學(xué)之間的相互討論，師生之間的相互交流，分析問(wèn)題的主次程度，在這一過(guò)程中總結(jié)出適合自己的學(xué)習(xí)方法與學(xué)習(xí)習(xí)慣.學(xué)生在計(jì)算函數(shù)極值過(guò)程中對(duì)泰勒公式運(yùn)用方法的不恰當(dāng)，也讓學(xué)生無(wú)法求出極值，從而影響數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答.在應(yīng)用泰勒公式的過(guò)程中，學(xué)生對(duì)高階導(dǎo)數(shù)的認(rèn)知不夠全面，不懂得怎樣利用泰勒公式解決高階導(dǎo)數(shù)問(wèn)題.同時(shí)，學(xué)生對(duì)廣義積分的收斂性判斷不夠準(zhǔn)確，影響學(xué)生的運(yùn)算過(guò)程，讓學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的運(yùn)算結(jié)果，從而影響學(xué)生的學(xué)習(xí).面對(duì)以上情況時(shí)，學(xué)生應(yīng)該加強(qiáng)對(duì)公式的記憶，在做題的過(guò)程中多應(yīng)用泰勒公式解題，提高運(yùn)用泰勒公式的熟練程度，從而提升數(shù)學(xué)成績(jī).

三、泰勒公式在高等數(shù)學(xué)中的解題技巧

（一）泰勒公式求函數(shù)的極限

函數(shù)作為高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn).函數(shù)分為初級(jí)函數(shù)與高級(jí)函數(shù)，其中對(duì)于函數(shù)的極限求解也有不同的解決方法.泰勒公式在函數(shù)中的應(yīng)用十分普遍，在函數(shù)的極限問(wèn)題中，泰勒公式主要被應(yīng)用于對(duì)函數(shù)極限結(jié)果的具體運(yùn)算.以下用具體問(wèn)題來(lái)說(shuō)明.求 limx→0cosx-e-x22x4.解：cosx=1-12！x2+14！x4+o（x4），e-x22=1+-x22+12-x222+o-x222，所以 limx→0cosx-e-x22x4=-112.通過(guò)此計(jì)算過(guò)程，我們可以了解到，應(yīng)用泰勒公式進(jìn)行函數(shù)的極限求解過(guò)程中，學(xué)生對(duì)于泰勒公式的記憶一定要深刻，運(yùn)用過(guò)程要熟練.泰勒公式在解答無(wú)窮小量中具有重要作用，泰勒公式被用于表達(dá)無(wú)窮小的階數(shù)和具體的表達(dá)式中的系數(shù).具體例子如下：已知，當(dāng)x→0時(shí)，ex-1+ax1+bx相對(duì)于x為三階無(wú)窮小，求a和b的值.解：首先要做的是把整個(gè)式子打開(kāi)，ex=1+x+12！x2+13！x3+o（x3）+bx=1-bx+b2x2-b3x3+o（x3），所以ex-1+ax1+bx=ex-11+bx-ax1+bx=1+x+12！x2+13！x3-（1-bx+b2x2-b3x3）-（ax-abx2+ab2x3）+o（x3）=（1-a+b）x+12-b2+abx2+16+b3-ab2x3+o（x3），由整個(gè)題目的含義我們可以推斷出1-a+b=0而且12-b2+ab=0，依據(jù)這個(gè)結(jié)果我們可以算出a=12且b=12.通過(guò)泰勒公式在函數(shù)極限與求無(wú)窮小中的應(yīng)用，我們可以清晰地認(rèn)識(shí)泰勒公式對(duì)于解答函數(shù)問(wèn)題的幫助.學(xué)生通過(guò)對(duì)公式的熟練掌握，有利于對(duì)函數(shù)問(wèn)題的解答，方便學(xué)生對(duì)函數(shù)問(wèn)題的探索.在對(duì)函數(shù)的解答過(guò)程中加深了對(duì)函數(shù)題型的了解，為函數(shù)的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ).

（二）泰勒公式在高階導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

泰勒公式除了在函數(shù)中的應(yīng)用以外，還可以用于高階導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的解答.通過(guò)泰勒公式解答高階導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，簡(jiǎn)化了學(xué)生的解題過(guò)程，讓學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過(guò)程更加輕松.泰勒公式指導(dǎo)了高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算過(guò)程，為高階導(dǎo)數(shù)的解答，提供了解題思路，同時(shí)泰勒公式還可以應(yīng)用于更復(fù)雜的高階導(dǎo)數(shù)之中.

（三）判斷廣義積分的斂散性

泰勒公式在高等數(shù)學(xué)中還可以應(yīng)用于判斷廣義積分的斂散性，級(jí)數(shù)的通項(xiàng)表達(dá)式通常由不同類型函數(shù)表達(dá)式構(gòu)成，函數(shù)的表達(dá)形式具有繁難性，往往是通過(guò)利用泰勒公式將級(jí)數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)化或進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算簡(jiǎn)化，以便對(duì)廣義積分的斂散性的判斷.例如，討論級(jí)數(shù)∑∞n=11n-lnn+1n 的斂散性.分析：在解題過(guò)程中直接根據(jù)通項(xiàng)判斷函數(shù)是正級(jí)數(shù)或非正級(jí)數(shù)十分困難，所以也無(wú)法準(zhǔn)確地判斷其收斂性.注意到lnn+1n=lnn+1n，若將其中的冪函數(shù)運(yùn)用泰勒公式將其展開(kāi)，形成冪的形式，在開(kāi)二次方后與1n相呼應(yīng)，讓其便于斂散性的判斷.解：∵lnn+1n=ln1+1n=1n-12n2+13n2-14n2+…<1n，∴l(xiāng)nn+1n<1n，∴un=1n-lnn+1n>0，故該級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，∵lnn+1n=1n-12n2+13n3+o1n3>1n-1n2+14n3=1n-12n32=1n-12n32，∴un<1n-1n-12n32=12n32，∵∑∞n=112n32收斂，運(yùn)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法判斷斂散性，知原級(jí)數(shù)收斂.泰勒公式通過(guò)對(duì)函數(shù)的展開(kāi)與收縮簡(jiǎn)化了函數(shù)的斂散性的判斷方式.泰勒公式對(duì)于廣義積分?jǐn)可⑿缘呐袛喾绞骄哂袠O強(qiáng)的簡(jiǎn)化技巧，讓學(xué)生在運(yùn)用過(guò)程中簡(jiǎn)化了解題步驟，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.在判斷斂散性的過(guò)程中通過(guò)應(yīng)用泰勒公式提升了教師的講課效率，讓高等數(shù)學(xué)知識(shí)更加簡(jiǎn)便易懂.

（四）運(yùn)用泰勒公式判斷函數(shù)極值

泰勒公式在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用廣泛，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供了極大的幫助.運(yùn)用泰勒公式解決求函數(shù)極值的問(wèn)題，讓學(xué)生的解題過(guò)程更加簡(jiǎn)單，簡(jiǎn)化了解題過(guò)程，便于學(xué)生理解.同時(shí)，學(xué)生通過(guò)應(yīng)用泰勒公式問(wèn)題，提升了研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣.泰勒公式在函數(shù)極值中的應(yīng)用，增加了課堂解題的靈活性.

四、結(jié)語(yǔ)

總而言之，高等數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)性學(xué)科，在學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)于公式的熟練應(yīng)用十分重要，泰勒公式作為高等數(shù)學(xué)中最重要的公式之一，對(duì)于函數(shù)的極限、函數(shù)極值等問(wèn)題的解答具有重要作用，提升了答題效率.同時(shí)，泰勒公式對(duì)于判斷廣義積分的斂散性也能起到重要作用.學(xué)生通過(guò)掌握泰勒公式在各種高等數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用，提升了自身的答題技巧，培養(yǎng)了正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，提升了數(shù)學(xué)成績(jī).泰勒公式在教學(xué)課堂中的使用，便于學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解，讓教師的講課內(nèi)容更加通俗易懂，提升了課堂的教學(xué)效率.

【參考文獻(xiàn)】

[1]姚志健.泰勒公式在證明不等式中的應(yīng)用[J].蘭州文理學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015（1）：86-89.

[2]金順利.關(guān)于泰勒（Taylor）公式應(yīng)用的幾個(gè)問(wèn)題[J].滄州師范專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2009（2）：102-104.

[3]馮平，石永廷.泰勒公式在求解高等數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用[J].新疆職業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2003（4）：64-66.endprint