滲透單元整體教學理念 致力發展學生數學素養
——以《銳角三角函數（第1課時）》教學為例

鄧秀蔭

（龍巖一中分校，福建 龍巖 364000）

數學的整體性體現在代數、幾何、三角等各部分內容之間的相互聯系上，同時也體現在同一部分內容中知識的前后邏輯關系上。學生的學習是循序漸進的，概念要逐個學，知識要逐步教。如何處理好這種矛盾，是教學中的核心問題。單元整體教學的構想，要打破傳統的教學思路，破除“一課一學”的局面，運用系統、聯系的觀點看待教學，通過知識體系、單元主題、知識邏輯關系、數學規律方法、數學思想、解題思路等內在聯系將教學內容加以整合，實施單元整體教學，節省教學時間，突出學科素養培養，提高學習整體效益。筆者將以《銳角三角函數（第1課時）》教學為例，說明在教學中滲透單元整體教學理念、致力發展學生數學素養的實踐體會。

一、注重章引言教學，創設情境引入核心內容

數學的發展來源于實際需要或數學內部的需要。為了體現本章核心知識的自然性以及學習的必要性，注意從實際問題或數學問題出發，通過創設適當情境加以引入。

環節1：如何引出本章的主要內容

章引言從比薩斜塔糾偏的實際問題出發，研究用塔身中心線與垂直中心線所成的角來描述比薩斜塔的傾斜程度的問題，引出本章所要研究的主要內容。

從數學角度看，上述問題就是：已知直角三角形的某些邊長，求其銳角的底數。對于直角三角形的邊角關系，已經研究了什么，還可以研究什么？本章在前面已經研究了直角三角形中三邊之間的關系、兩個銳角之間的關系的基礎上，通過引進銳角三角函數建立了直角三角形中邊與角之間的關系，使學生全面掌握直角三角形的組成要素（邊、角）之間的關系，并綜合運用銳角三角函數、勾股定理等知識解決與直角三角形有關的度量問題。

環節2：引出研究直角三角形中邊角關系的具體內容和方式

從什么角度研究直角三角形中邊角之間的關系，以及建立邊與角之間的何種關系，是引入銳角三角函數時的首要問題，也是關鍵環節。

問題如圖，為了綠化荒山，市綠化辦打算從位于山腳下的機井房沿著山坡鋪設水管，對坡面的綠地進行噴灌?，F測得斜坡與水平面所成角的度數是30°，為使出水口的高度為35 m，那么需要準備多長的水管？

在解決這個實際問題的過程中，需要用到結論“在直角三角形中，30°角所對的邊是斜邊的一半”，其等價形式為“在直角三角形中，30°角所對的邊與斜邊的比總是常數”，后者反映了直角三角形中30°角和該角的對邊與斜邊的比之間的對應關系。

由此獲得啟示，建立直角三角形中邊角之間的關系，可以通過研究銳角和它的對邊與斜邊的比之間的關系進行，從而引出研究直角三角形中邊角關系的具體內容和方式。

二、按認識規律設計教學，培養學生系統思維

以數學知識的發生發展過程為載體，按學生的認知規律設計教學，使學生經歷研究一個數學對象的基本過程，提高學生發現和提出問題、分析和解決問題的能力，培養學生認識和解決問題的能力。培養系統思維，是為了使學生養成全面思考問題的習慣，避免“見木不見林”，進而使學生在面對數學問題時，能把解決問題的目標、實現目標的過程、解決過程的優化以及對問題的拓展、深化等作為一個整體進行研究。這樣，“使學生學會思考，成為善于認識和解決問題的人才”的教學目標就能落在實處。

環節3：銳角三角函數的定義過程

以“比薩斜塔糾偏問題”引入，以“對于直角三角形，我們已經知道三邊之間、兩個銳角之間的關系，它的邊角之間有什么關系呢？”提出問題，然后研究銳角的正弦，再給出銳角的余弦、正切。

環節4：銳角的正弦的定義

先利用“直角三角形中，30°角所對的邊是斜邊的一半”，得到30°角所對的邊與斜邊的比值；再討論45°、60°角所對的邊與斜邊的比值；然后討論一般情況：相似直角三角形中，一個銳角的對邊與斜邊的比，隨著這個銳角的變化而變化，隨著它的確定而唯一確定，把Rt△ABC中銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦。

環節5：銳角三角函數概念的展開

1.課題的引入。從實際需要看（比薩斜塔糾偏問題）；從數學內部看（以往討論了直角三角形邊與邊的關系、角與角的關系，邊與角有沒有確定的關系）。

2.概念屬性的歸納。從最熟悉的問題開始：在直角三角形中，30°角所對的邊與斜邊的比值是1/2。

思考：由這個結論能解決什么問題？

當∠A=30°時，已知斜邊就可求出∠A的對邊，反之亦然。

在直角三角形中，當∠A的度數分別為45°、60°時，銳角A的對邊與斜邊的比是多少？由此能解決什么問題？

猜想：在直角三角形中，任意給定銳角A，∠A的對邊與斜邊的比值是否為一個確定的值？

進一步猜想：在直角三角形中，任意給定銳角A，∠A的鄰邊與斜邊的比值、∠A的對邊與鄰邊的比值是否也都是一個確定的值？

《幾何畫板》演示、探索與驗證，然后證明。

歸納：在Rt△ABC中，當銳角A的度數一定時，無論三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比都是一個固定值，∠A的鄰邊與斜邊的比值、∠A的對邊與鄰邊的比值也都是一個固定值。

3.概念的明確與表示。下定義，用符號表示。

4.概念的辨析。（1）∠A為 Rt△ABC的銳角，△ABC的大小可以變化，但∠A的對邊與斜邊的比值不變，即對于每一個銳角A都有唯一確定的比值與之對應，這個比值叫做∠A的正弦；∠A的鄰邊與斜邊的比值不變，即對于每一個銳角A都有唯一確定的比值與之對應，這個比值叫做∠A的余弦；∠A的對邊與鄰邊的比值不變，即對于每一個銳角A都有唯一確定的比值與之對應，這個比值叫做∠A的正切。

（2）符號sin A，cosA，tanA的理解:一個由A唯一確定的數，如sin30°=1/2 等。

（3）銳角三角函數定義中，sinA不是sin與A的乘積，sinA是一個整體，表示∠A的正弦、余弦、正切類似。

5.概念的鞏固應用。已知直角三角形的邊求銳角三角函數值等。

在《語言、語境和語篇》（Halliday&Hasan 1985）一書中，Hasan擴大了銜接概念的覆蓋范圍，把銜接分為非結構銜接和結構銜接。非結構銜接中的成分銜接包括指稱、省略、連接詞語和詞匯銜接。結構銜接是指平行對稱結構、主位—述位結構、已知信息—新信息結構。

6.概念的精致。解直角三角形。

三、加強探究過程，揭示概念內涵，發展思維能力

對一些在重要知識點或關鍵環節，提供學生探索交流的空間，發展學生的思維能力。

本節的一個重要教學目標是使學生探究并理解銳角三角函數的概念，教學中讓學生充分經歷“實際問題引入—研究特殊直角三角形—研究一般直角三角形—給出銳角的正弦概念”的定義過程，在探究直角三角形中銳角的對邊與斜邊之比的不變性上下足功夫。

這樣的探究過程可以幫助學生理解銳角三角函數的內涵：銳角三角函數建立了直角三角形中邊與角之間的關系，具體地，在直角三角形中，對于一個確定的銳角，它的正弦、余弦、正切分別表示這個銳角的對邊與斜邊之比、鄰邊與斜邊之比、對邊與鄰邊之比，它們分別都是確定的值。

四、注重揭示知識間的聯系，呈現研究問題的方法

相似三角形的性質是銳角三角函數概念的基礎，只有利用“相似三角形的對應邊成比例”才能得到銳角三角函數定義的合理性，在給出銳角三角函數定義的過程中必須充分利用這一知識聯系性。

在“理解概念，鞏固提高”環節中，設計如下例題與練習：

如右圖，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB=13，BC=5，求 sin A，cosA，tanA的值。

變式：如圖（與例題同），在

Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC=12，BC=5，求∠B的正弦值、余弦值和正切值。

思考：觀察例題與變式的題目和計算結果，你發現了什么?

鞏固練習：

1.判斷下列結論是否正確，并說明理由。

（1）如圖1，sinA=0.6m 。（ ）

（2）在Rt△ABC中，銳角A的對邊和鄰邊同時擴大100倍，tanA的值也擴大100倍。（ ）

（3）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，則

（4）如圖3所示，△ABC的頂點是正方形網格的格點，則sin

通過例題與變式，鞏固銳角三角函數概念，規范學生的解題格式；引導學生及時總結解題關鍵，注意觀察題目條件的變化、總結結論之間的關系；通過鞏固練習，進一步鞏固銳角三角函數概念，加深對它們的理解；引導學生及時總結解題關鍵和注意事項，總結解題方法，提高解題能力；從中體會數形結合思想、轉化思想解決問題。

在“歸納小結，反思提升”環節中，設計如下問題引導學生梳理學習內容，及時歸納總結研究數學問題的思路，提煉學習過程中的數學思想方法，學會研究問題的方法。

1.本節課我們學習了哪些知識？

2.研究銳角正弦的思路是如何構建的？

3.你學到哪些研究數學問題的思想方法？

在“布置作業，拓展提升”環節中，作業設計分必做題與選做題，滿足不同層次學生需求；設計例題、鞏固練習的變式題、拓展提高題，加強知識間的聯系，有利于拓展學生思維。

五、加強與實際問題的聯系，培養學生應用意識

銳角三角函數和解直角三角形是緊密聯系的，銳角三角函數是解直角三角形的基礎，解直角三角形的理論又為解決一些實際問題提供了強有力的工具。因此教學中應注意加強與實際的聯系。

例如，本節課通過比薩斜塔引出本章的主要內容；利用確定山坡上所鋪設的水管的長度問題引出銳角的正弦。

六、注意數形結合，發展學生幾何直觀和想象能力

銳角三角函數的一個突出特點是其概念的產生和應用都與圖形有著密切的聯系。銳角三角函數具有鮮明的幾何意義，其自變量是銳角，函數值是直角三角形中兩條邊的比值，因此本章內容是體現數形結合思想的良好載體。

例如，對于銳角三角函數的概念，利用學生對直角三角形的認識（在直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊的一半，有一個銳角為45°的直角三角形是等腰直角三角形）以及相似三角形的有關知識引入的，結合幾何圖形來定義銳角三角函數的概念，將數形結合起來，有利于學生理解銳角三角函數的本質。

［1］鄧秀蔭.單元整體教學中滲透數學思想方法的研究［J］.中學數學研究，2015（10）.

［2］章建躍.整體性、系統思維與核心素養［J］.中小學數學，2016（10）.

［3］姜風平，侯丙生.換一種教法：單元整體課程實施與評價（初中數學）［M］.濟南：山東文藝出版社，2013.