數形結合思想在初中數學教學的運用

謝良毅

（南平劍津中學，福建 南平 353000）

數與形是數學中最基本的研究對象，在一定條件下，二者可以相互轉化，在問題解決中的“以數解形”或“以形助數”，均體現了數形結合的思想。對數形結合思想，華羅庚是這樣描述的：“數以形而直觀，形以數而入微。”通過數形結合的應用，能夠使復雜的計算變得更簡單，思路變得更清晰。

一、初中數學中的數形結合思想

數形結合思想體現在教材各個章節，如九年級初中數學（人教版）第25章概率初步這一課時中，教師可開展釘游戲設計教學活動，讓學生自由拋擲圖釘，對釘尖朝上或朝下的出現情況進行記錄，并就這兩種情況的出現頻數進行統計，最后依靠相關數據進行釘尖朝上的折線統計圖的繪制，總結該情況的變化規律。即：釘尖朝上的概率存在著一定的規律性。同樣，還可就射擊運動員射擊訓練中擊中靶心的次數進行觀察并實現頻率計算，同樣進行相應的規律總結。而在初中平面直角坐標系這一課時的學習過程中，求證平面內橫縱坐標即可實現對物體的位置與方位進行明確。首先，制作平面直角坐標系，并根據已知數據在坐標系上確定其所表達的大致方位，最后勾畫出相應的圖形，進而得出對稱軸與坐標軸兩者間存在的變化關系與規律。

1.在函數教學中的體現

在進行二次函數的圖像與性質這一課程教學時，一般是先對二次函數中的x、y展開賦值，并建立相應的直角坐標系，進而對相應點標注與連線，繪制出其所表達的二次函數圖像，最后就該繪制圖像進行性質分析，這樣的做法能充分體現形數結合思想在教學的融入。

在實際教學中，當本章的知識教學完成之后，可通過對相關知識點的復習，引導學生發現函數圖像的變化是由解析式中的某一個參數變化而引起的。通過數形結合的分析，能夠使學生對二次函數及其圖像有更清晰的了解。

例1如圖所示，存在某一二次函數，且其表達式為y=x2-2x-1，其在直角坐標系中的頂點記作A.而另一二次函數y=ax2+bx和該坐標系的x軸存在兩個交點，且交點即為坐標原點O與點C，而該函數的頂點B又存在與上一函數y=x2-2x-1的對稱軸上。

（1）試求頂點A和交點C的坐標表達。

（2）當某一四邊形AOBC為菱形，求出函數y=ax2+bx的關系表達式。

解析：（1）略

（2）由題可知，四邊形AOBC是一個菱形，而點B與點A的位置關系為關于直線OC對稱，所以可以得出點B的坐標為(1,2)。又因為函數y=ax2+bx的經過點B(1,2)，C(2,0)所以二次函數y=ax2+bx的關系式為y=-2x2+4x。

教師在教學實踐中，需要對數形結合的思想方法的應用進行概括，并將其融入到教學方案設計中，使學生更深入地了解數形結合思想。在章節教學結束之后，教師需要引導學生進行反思與討論，并對數形結合思想的應用進行一個詳細的回顧。

2.在數學概念教學中的體現

例2已知a＜b＜0,試比較a,-a,b,-b的大小。

分析：要快速地解決這個問題，需要認真分析數軸上所標出的a,-a,b,-b，通過觀察，學生能夠獲得正確的結論：a＜b＜-b＜-a。

將數學知識轉化為圖像，化抽象為具體，是理解學問題的關鍵。相反數概念“只有符號不同的兩個數是相反數”其本身是十分簡明的，學生對概念有了一定的認知，再將其反映在數軸上，從幾何層面認識“相反數”概念，可使學生能夠認識到相反數具有“成對性”“對稱性”的特點，在問題解決找那個更快地找到簡潔的思路。

很多學生在面對這一類型的題時，常常會感到無從下手，主要還是由于對絕對值概念的不理解。在探究的過程中，如果能引導學生依據已知條件畫出草圖，就可以拓展解題思路，提高解題效率。數軸上|x-2|表示x與2的距離，|x + 2|表示x與-2的距離，本題也就是求這兩個距離和的最小值，那么當-2≤x≤2時，距離和均為最小4,有了直觀感知，這個問題也就迎刃而解了。

3.在數學解題中的體現

例4根據下圖所示，直線y=kx+b經過A(-2,-1)和B(-3,0)兩點，試求不等式組的解集。

分析：如果單從“數”的層面來解題，可借助待定系數法直接把A、B兩點的坐標代入y=kx+b中，并求得直線y=kx+b的方程式，將原不等式轉化為，再根據相應的解法進一步求解。

求解本題時，從“數”的層面出發就是求解不等組，從“形”的層面出發即是通過直線AB，求直線OA上方和x軸下方的部分所對應的x值。通過對比可以發現，后者的解題過程更為簡化。

這一例子為通過函數圖像求解不等式提供了一種新的解題思路，能夠使學生更加深入地認識到函數和一元一次不等式組的關系，并掌握“以形助數”的思想，有利于拓展學生的思維能力，為以后的數學學習提供幫助。

二、基于數形結合思想的初中數學教學策略

在初中數學教學過程中，教師可以借助幾何直觀的“形”來清晰地呈現“數”之間的關系，讓復雜的問題簡單化，教學的關鍵是引導學生把數式的幾何意義挖掘出來，將“形”作為解決問題的手段，將“數”作為解決問題的目的，讓學生理解掌握如何依靠具體直觀的“形”來清晰地呈現“數”之間的關聯，進而使學生能夠在解題中有意識地將數字與圖形相結合。

例如，在關于有理數的教學內容中，所涉及到的數軸即是數形結合的典型例子，教材將生活中常見的溫度計作為例子來引出關于“數軸”的相關概念，再借助數軸來認識相反數和絕對值，并探討了有理數的加法運算。當學生掌握了有理數加法運算之后，就可以不再借助數軸，直接在腦海中進行簡單運算。這一過程堅持了循序漸進的基本原則，從現實中溫度計的“形”，拓展到了抽象的數軸之“形”，待熟悉到一定程度之后，再內化進腦海中，形成觀念上的“形”，步驟嚴密、循序漸進，與初中生的思維特點與認知規律相適應。初中階段的學生其思維處于“由具體到抽象”的過渡階段，因此教材在編寫上也順應了這一趨勢，先形象具體，再抽象概括。

（1）求兩個函數圖象的交點坐標；

在初中數學教學中，化形為數，是指將“數”作為解決問題的手段，將“形”作為解決問題的目的。在教學過程中教師需引導學生理解掌握如何依靠“數”的精準性，來準確反映“形”的相關屬性。

例6如圖所示，直線l1的解析表達式為y=-3x+3且直線l2經過點A,B,l1與x軸相交于點D,直線l1，l2交于點C。

（1）求點D的坐標；（2）求直線l2的解析表達式；（3）求△ADC的面積；

分析與解：（1）要求得點D的坐標，可通過建立直線l1表達式y=-3x+3并和已知的y=0進行方程組建立，即可得到僅含未知數X的方程為-3x+3=0..

初中階段的數形結合思想的滲透教學，還應注重其在應用問題解決中的思路，使學生能夠真正融匯貫通，活學活用。例如首先對二元一次方程組實行一次函數的轉換，可根據特殊點來繪制兩個一次函數，而所繪制的兩個圖像相交處即為方程組的解。通過數與形的結合來說明一定的數量關系式。

例7某專賣店銷售球鞋，設銷售球鞋的數量為x（件），銷售員的提成為y（元），專賣店每季度付給銷售員提成費用的兩種方案如下圖所示，參照該圖解答以下問題。

圖4

（1）求y1與y2的函數解析式；

（2）解釋兩種方案分別是支付銷售提成費用的方式？

（3）如果你是銷售員，應如何選擇付費方案？

解析：

（1）y1=20x，y2=10x+300；

（2）y1沒有基本保底工資，每銷售10雙球鞋，可以得到銷售提成200元，y2是基本工資為300元，但每銷售10雙球鞋只能獲得銷售提成100元；

（3）若銷售能力較強，保證每季度銷售球鞋的數量多于30雙，就選擇y1的付費方案；否則，選擇y2的付費方案。

［1］張士領.“數形結合”思想在初中數學教學中的體現及運用［J］.數理化解題研究（初中版），2012（12）.

［2］劉金方.數形結合思想在初中數學教學中的實踐研究——以人教版初中數學教材為例［J］.課程教育研究，2015（30）.

［3］王元，等.華羅庚科普著作選集［M］.上海：上海教育出版社，1984：181.

［4］張蘭秀.簡論學生的數學思維能力及其培養［J］.教學與管理，2010（3）.