應用函數與方程思想培養數學核心素養

方彤

【摘要】函數與方程思想是解高中數學題的一種重要思維策略，通過應用舉例分析，詮釋兩種思想在解題中的必要性和簡潔性.

【關鍵詞】核心素養；函數；方程；高中數學

數學學科核心素養的培養，要通過學科教學和綜合實踐活動來實施，函數與方程是高中數學最重要的內容，也是大學相關課程的基礎知識.與函數概念有必然聯系的是方程，方程思想與函數思想密切相關.方程的問題可以轉化為函數的問題，反之，函數的問題也可以轉化為方程的問題.

一、函數與方程思想的相關知識點

1.函數與不等式的相互轉化.對函數y=f（x），當y>0時，就化為不等式f（x）>0，借助函數的圖像和性質可解決有關問題，而研究函數的性質也離不開不等式.

2.數列的通項與前n項和是自變量為正整數的函數，用函數的觀點去處理數列問題十分重要.

3.在三角函數求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通過三角函數關系化為未知量的表達式，那么問題就能化為未知量的方程來求解.

4.解析幾何中的許多問題，如直線與二次曲線的位置關系問題，需要通過解二元方程組才能解決，這涉及二次方程與二次函數的有關理論.

5.立體幾何中有關線段的長、面積、體積的計算，經常需要運用列方程或建立函數表達式的方法加以解決.

二、應用函數與方程思想培養數學核心素養

一般認為，“數學素養是指當前或未來的生活中為滿足個人成為一個會關心、會思考的公民的需要而具備的認識，并理解數學在自然、社會生活中的地位和能力，做出數學判斷的能力，以及參與數學活動的能力.”可見，數學素養是人們通過數學學習建立起來的認識、理解和處理周圍事物時所具備的品質，通常是在人們與周圍環境產生相互作用時所表現出來的思考方式和解決問題的策略.人們所遇到的問題可以是數學問題，也可能不是明顯的和直接的數學問題，而具備數學素養可以從數學的角度看待問題，可以用數學的方法解決問題.函數與方程是高中階段數學學習的最重要的部分，應用函數與方程思想培養數學核心素養開創教學新局面.

三、函數與方程思想應用舉例

（一）函數與方程思想在數列中的應用

例1 已知等差數列{an}中，a1=-2，公差d=3；數列{bn}中，Sn為其前n項和，滿足：2nSn+1=2n（n∈N+）.

（Ⅰ）記An=1anan+1，求數列An的前n項和S；

（Ⅱ）求證：數列{bn}是等比數列；

（Ⅲ）設數列{cn}滿足cn=anbn，Tn為數列{cn}的前n項積，若數列{xn}滿足x1=c2-c1，且xn=Tn+1Tn-1-T2nTnTn-1（n∈N+，n≥2），求數列{xn}的最大值.

解 （Ⅰ）因為an=3n-5，所以An=1（3n-5）（3n-2）=1313n-5-13n-2，所以S=13-12+1+1+14+14-17+…+13n-8-13n-5-13n-5-13n-2=13-12-13n-2=-n6n-4.

（Ⅱ）由2nSn+1=2n，得Sn=1-12n，所以當n≥2時，bn=Sn-Sn-1=12n，又當b1=S1=12，符合上式，所以bn=12n（n∈N+），故數列{bn}是等比數列.

（Ⅲ）因為cn=3n-52n，所以x1=c2-c1=54，當n≥2時，xn=Tn+1Tn-1-T2nTnTn-1=Tn+1Tn-TnTn-1=cn+1-cn=8-3n2n+1，

又x1=54符合上式，所以xn=8-3n2n+1（n∈N+），因為xn+1-xn=5-3n2n+2-8-3n2n+1=3n-112n+2，所以當n≤3時，{xn}單調遞減，當n≥4時，{xn}單調遞增，但當n≥4時，{xn}每一項均小于0，所以{xn}的最大值為x1=54.

點評 該題的第三問，就是將數列的通項看成是以n為自變量的函數，先判斷出單調性，再利用單調性求出最值.

（二）函數與方程思想在方程問題中的應用

例2 實數a為何值時，方程cos2x+sinx-a=0有解？

解 方程可以轉化為：a=f（sinx）=-2sin2x+sinx+1（-1≤sinx≤1），即把a看作關于sinx的函數，于是求a的范圍就轉化為求函數a=f（sinx）在-1≤sinx≤1時的值域，結合y=sinx的圖像和二次函數值域知識，解得-2≤a≤98.

說明：與常規的解法比，這種解題方法大大地減少了運算量，使問題更加明朗化.

例3 已知函數f（x）=|x+1|，-7≤x≤0，lnx，e-2≤x

解 若存在實數m，使f（m）-2g（a）=0，即2g（a）必須在f（x）=|x+1|，-7≤x≤0，lnx，e-2≤x≤e 的值域內，所以原題可轉化為求函數值域問題，求得函數f（x）值域[-2，6]，所以a的范圍為[-1，3].

點評 本題主要考查了分段函數的圖像與性質和函數與方程，考查了學生對數學問題的閱讀分析轉化能力，滲透著數形結合的數學思想，其解題的一般思路為：首先根據函數f（x）的圖像，求出其值域，然后利用已知條件并結合函數的圖像可得滿足已知條件時應滿足的條件，進而由一元二次不等式的解法即可求得正確的結果.

（三）函數與方程思想在不等式中的應用

例4 已知函數f（x）=（a-1）log23x-6log3x+a+1，當00，求x的取值范圍.

分析 如果直接求滿足題設條件的x的值，不好入手，現在換一個角度，把已知函數換為關于a的函數，則會使問題簡化.

解 將原函數變形為g（a）=（log23x-6log3x+1）a+（1-log23x），這是一個關于a的一次函數，題設就變為當00，求a的范圍的問題.

因為g（a）是一次函數，為單調函數，為保證g（a）>0，只要使g（0）>0且g（1）>0就可以了.

所以原題相當于解g（0）=1-log23x，g（1）=-6log3x+2， 均大于0的解集，從而最終求得x13

點評 根據所給不等式的結構特征構造相應的函數，研究該函數的單調性是解決這一類問題的關鍵，該解法充分體現了函數、方程互相轉化的數學思想.

（四）函數與方程思想在解析幾何中的應用

例5 已知兩條曲線C1：x29+y24=1和C2：x2+（y-1）2=r2問：r為何值時兩條曲線無公共點？

解法一 如果該題用常規方法解，從 C1和C2中消去一個未知數x，得到：-54y2+2y+10-r2=0，由于兩條曲線無公共點，所以判別式小于0，從而得到r>545.

又因為已知橢圓可以包含圓，所以0

所以該題最終結果為：r>545或0

但是使用該方法，在解題過程中很容易漏掉 0

解法二 若將該問題進行轉化，從C1和C2中消去一個未知數x，得到：-54y2+2y+10-r2=0，將該式中的r整理為y的函數，即r2=f（y）=-54y-452+545，由橢圓的性質可知，-2≤y≤2，

于是本題轉化為：當-2≤y≤2時，求函數f（y）的值域的補集.

f（y）的值域滿足1≤r2≤545，即1≤r≤545，

因為r>0，所以C1和C2無交點的范圍是：r>545或0

點評 為了求參數的范圍，可以把參數看成是某個字母的函數，用求函數值域的方法求出參數的范圍，該題的第二種方法就使用了這種思想.

例6 已知橢圓x24+y23=1，試確定m的范圍，使得對于直線y=4x+m，橢圓上總有不同的兩點關于該直線對稱.

解 設P1（x1，y1），P2（x2，y2）為橢圓上兩點，P0（x0，y0）為P1P2的中點，代入橢圓方程后相減得y1-y2x1-x2=-3x04y0=-14，

又y0=4x0+m，∴x0=-m，y0=-3m，可以求出直線P1P2的方程為y=-14x-134m，

代入橢圓方程整理，記f（x）=13x2+26mx+169m2-48（-2≤x≤2），

則若假設的P1（x1，y1），P2（x2，y2）在橢圓上，則相當于方程f（x）=0，在[-2，2]上有兩個不等的實根，所滿足的條件為Δ>0，f（2）≥0，f（-2）≥0，-2<-m<2， 從而解得：-21313

點評 曲線上存在不同的兩點關于直線對稱，等價于存在被直線垂直平分的弦，即等價于曲線的符合條件的弦所在的直線方程和曲線的方程組成的方程組在某個確定的區間上有不同的解.因此，這類問題可利用一元二次方程根的分布的充要條件建立不等式求解.

規律總結 1.在高中數學的各個部分，都有一些公式和定理，這些公式和定理本身就是一個方程，如等差數列的通項公式、余弦定理、解析幾何的弦長公式等，當題目與這些問題有關時，就需要根據這些公式或者定理列方程或方程組求解需要的量；2.當問題中涉及一些變化的量時，就需要建立這些變化的量之間的關系，通過變量之間的關系探究問題的答案，這就需要使用函數思想.

通過上面的幾個例子可以看出，函數與方程的思想在解題中的重要性.隨著教育觀念的更新，教學方法越來越受到人們的重視，函數與方程是高中階段數學學習的最重要的部分，應用函數與方程思想培養數學核心素養開創教學新局面，培養和提高學生的解題能力.

【參考文獻】

[1]郭冉，等.新課程能力培養[M].沈陽：遼海出版社，2012.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003.