數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效滲透

魏紅琴

摘 要： 數(shù)形結(jié)合是數(shù)與形之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)它們之間的相互轉(zhuǎn)化，可以將抽象的代數(shù)關(guān)系與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，利用數(shù)形結(jié)合能使“數(shù)”和“形”統(tǒng)一起來(lái)，使許多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化。

關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;滲透

數(shù)形結(jié)合是數(shù)與形之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)它們之間的相互轉(zhuǎn)化，可以將抽象的代數(shù)關(guān)系與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，利用數(shù)形結(jié)合能使“數(shù)”和“形”統(tǒng)一起來(lái)，使許多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化。

一、 在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想

中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)還是一種重要的解題方法。不管是課堂教學(xué)還是習(xí)題講解過(guò)程中，當(dāng)碰到那些抽象復(fù)雜的內(nèi)容或者難以理解、難以直接處理的代數(shù)關(guān)系時(shí)，就可以考慮數(shù)形結(jié)合思想，把抽象的問(wèn)題變直觀、形象化，這樣有助于引導(dǎo)學(xué)生探索規(guī)律，得出結(jié)論。比如在講“三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)”內(nèi)容時(shí)，三角函數(shù)的性質(zhì)實(shí)際上是很抽象的，單一地告訴學(xué)生正弦函數(shù)的定義域、值域單調(diào)性還有奇偶性，學(xué)生是很難理解的，但是換一種方式就不一樣了，可以帶著學(xué)生先畫(huà)出正弦函數(shù)的圖像，然后讓學(xué)生去觀察圖像，比如通過(guò)圖像的上升下降得到單調(diào)性，進(jìn)而歸納出單調(diào)區(qū)間;再比如通過(guò)圖像的對(duì)稱(chēng)情況得到函數(shù)的奇偶性，這樣，正弦函數(shù)所有的性質(zhì)學(xué)生都可以在圖上觀察歸納得到，既直觀又具體，學(xué)生不僅能很好地理解與掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)，還能用同樣的方法研究學(xué)習(xí)余弦函數(shù)還有正切函數(shù)的性質(zhì)。

二、 在創(chuàng)設(shè)情境，引題過(guò)程滲透數(shù)形結(jié)合思想

對(duì)學(xué)生而言，數(shù)學(xué)是一門(mén)抽象的學(xué)科，數(shù)學(xué)課是枯燥乏味的。如果課堂上能根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)情景，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的巧妙所在，就能讓學(xué)生在較短的時(shí)間內(nèi)思維活躍起來(lái)，達(dá)到“形”之有效，如在“簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征”的教學(xué)中，讓學(xué)生提前收集生活中簡(jiǎn)單幾何體的物體，如：杯子、方形的盒子等，也可以用幾何模具（比如柱體錐體）等，讓學(xué)生在課堂上觀察，研究它們的幾何特征，進(jìn)而弄清概念的含義，再讓他們舉出生活中具有這樣幾何特征的幾何體，這樣既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)在生活中到處都是，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)與形之間的關(guān)系。

三、 在解題過(guò)程中，滲透數(shù)形結(jié)合思想

比如這樣一道例題：若直線y=x+k與曲線x= 1-y 2 恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的取值范圍。

解：思路1：由題有x 2+y 2=1（x≥0），把y=x+k代入x 2+y 2=1（x≥0），

可得：2x 2+2kx+k 2-1=0（x≥0），由題意可知方程僅有一個(gè)非負(fù)根。

①方程有等根時(shí)，即Δ=（2k） 2-8（k 2-1）=0，可得k=± 2 ，當(dāng)k= 2 時(shí)，方程可化為2x 2+2 2 x+1=0，得x=-? 2? 2 （舍）;當(dāng)k=- 2 時(shí)，方程為2x 2-2 2 +1=0得x=? 2? 2 ，故k=- 2 ;

②當(dāng)方程的根為x=0時(shí)，得k 2-1=0，k=±1，當(dāng)k=-1時(shí)，方程為2x 2-2x=0，得方程兩個(gè)根為x1=0，x2=1（舍）;當(dāng)k=1時(shí)，方程為2x 2+2x=0，得方程兩個(gè)根為x1=0，x2=-1，可知k=1;

③當(dāng)方程有2個(gè)互異根時(shí)，只需x1x2= k 2-1 2 <0，可得-1

綜上所述：所求k的取值范圍為k=- 2 或-1

思路2：由題知曲線x= 1-y 2 所表示的圖形如圖所示：

k是直線y=x+k在y軸上的截距。由上圖知：當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，k=- 2 ，由圖可得k=- 2 或-1

再比如2017年全國(guó)卷中的16題：設(shè)函數(shù)f（x）= x+1，x≤0，2 x，x>0， 則滿足f（x）+f（x- 1 2 ）>1的x的取值范圍是????? 。

解：思路1（數(shù)形結(jié)合）：不等式f（x）+f x- 1 2? >1，即f x- 1 2? >1-f（x）。

由圖象變換可畫(huà)出y=f x- 1 2? 與y=1-f（x）的圖象如下：

由圖可知，滿足f x- 1 2? >1-f x 的解為 - 1 4 ，+∞ 。

思路2（分類(lèi)討論）：根據(jù){an}的取值范圍，將不等式f（x）+f x- 1 2? >1轉(zhuǎn)化為3個(gè)不等式組，即 - 1 4 ，+∞

x≤0（x+1）+ x+ 1 2? >1 或 0<x< 1 2

2 x+（x+ 1 2 ）>1 或 x≥ 1 2

2 x+2 x- 1 2 >1 ，得出x的取值范圍為 - 1 4 ，+∞ 。

由上面的解題過(guò)程可以看出，兩道例題都是用數(shù)形結(jié)合法解題相較而言要簡(jiǎn)單一些。

四、 解題過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生理解應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合，是一種學(xué)生必須掌握的解題方法。掌握了數(shù)形結(jié)合，學(xué)生不僅能更好地鍛煉自身的思維能力，還能大大提高解題效率。

1. 數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化方法有：①建立合適的坐標(biāo)系，讓代數(shù)關(guān)系坐標(biāo)化。②通過(guò)數(shù)式與形的特點(diǎn)進(jìn)行化歸，比如代數(shù)問(wèn)題幾何化，向量問(wèn)題坐標(biāo)化。

2. 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的類(lèi)型有：①“由形化數(shù)”，就是觀察所給的圖形，列出反映幾何圖形特征的代數(shù)關(guān)系式。②“由數(shù)化形”，就是根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造或者畫(huà)出相應(yīng)的幾何圖形③“數(shù)形結(jié)合”，同時(shí)從代數(shù)關(guān)系和圖形入手，觀察研究。

總之?dāng)?shù)學(xué)思想方法的滲透與學(xué)習(xí)是一個(gè)潛移默化的過(guò)程，需要多方領(lǐng)悟、反復(fù)應(yīng)用，尋求更有利于問(wèn)題解決的途徑和方法。