導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

摘 要：在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，導(dǎo)數(shù)是基本內(nèi)容之一，也是后續(xù)微積分學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容。新課程標(biāo)準(zhǔn)改革后，導(dǎo)數(shù)概念被引入高中數(shù)學(xué)，不僅是高考的熱點(diǎn)，而且在數(shù)學(xué)解題過程中也逐漸得到應(yīng)用。本文以高中生為研究對(duì)象，分析了導(dǎo)數(shù)知識(shí)在數(shù)學(xué)問題解決中的應(yīng)用，以提高解決問題的效率，拓展學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù) 高中數(shù)學(xué)解題 應(yīng)用分析

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常利用導(dǎo)數(shù)求解如下問題。

一、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何含義求解曲線的切線問題

問題一：切點(diǎn)已知；

問題二：切點(diǎn)未知。在求解切線問題中，切點(diǎn)是必要的，所以如果切點(diǎn)未知，需要設(shè)出切點(diǎn)，從而列出方程，求解方程。[1]

二、求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值問題

求解此類問題時(shí)，要明確相關(guān)的基本概念。這些基本概念中，關(guān)于單調(diào)性的判斷是最核心的。規(guī)定：在某個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)，如果f′（x）>0，那么函數(shù)y=f（x）在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f′（x）<0，那么函數(shù)y=f（x）在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。[2]

在求解函數(shù)極值時(shí)，必須知道在一定條件下的極值解。在解決具體問題時(shí)，應(yīng)注意在特殊條件下討論變量。在這種情況下，解決高中數(shù)學(xué)問題增加了解決問題的難度。針對(duì)這種情況，應(yīng)注意合理運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和技能。在解決高中數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，應(yīng)注意及時(shí)鞏固導(dǎo)數(shù)知識(shí)。我們不僅要分析衍生工具的概念和形象化，而且要理解衍生工具的本質(zhì)。導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)問題解決中的應(yīng)用，不僅鞏固了導(dǎo)數(shù)等相關(guān)知識(shí)，而且促進(jìn)了高中數(shù)學(xué)知識(shí)與大學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，降低了高中數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的難度。[3]

三、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解不等式恒成立問題

方法1：參變分離后求最值；

方法2：直接轉(zhuǎn)化為最值（函數(shù)含參，需必要的分類討論）

問題一：已知現(xiàn)成的不等式

樣例1：已知函數(shù)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

樣例2：已知函數(shù)，若存在使得，求a的取值范圍。

上述兩道樣例在求解過程中，要關(guān)注存在性以及任意性對(duì)題目的不同影響。[4]

問題二：涉及兩個(gè)函數(shù)的不等式問題

樣例1：已知函數(shù)，；若時(shí)，恒有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

樣例2：

已知函數(shù)，；若對(duì)任意，均存在，使得，求的取值范圍。

在上述兩道樣例中，如果兩邊是相同的自變量，可以移項(xiàng)，構(gòu)造新函數(shù)處理；如果兩邊是不同的自變量，則需要各自求解最值。

問題三：根據(jù)題中已知條件、定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，尋找不等式

樣例1：已知函數(shù)，。若在區(qū)間上單調(diào)遞增， 求a的取值范圍。

樣例2：已知函數(shù)，設(shè)，且函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，直線//，且在軸上的截距為1。求證：無論取任何實(shí)數(shù)，函數(shù)的圖象恒在直線的下方。

樣例3：已知函數(shù)，。當(dāng)時(shí)，若曲線上的點(diǎn)都在不等式組：

所表示的平面區(qū)域內(nèi)，試求a的取值范圍。

在這組樣例中，題目中沒有直接可用的不等式，需要自己構(gòu)造不等式之后，再進(jìn)行處理。

四、求解與函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)的問題

重要轉(zhuǎn)化：方程根的問題函數(shù)零點(diǎn)問題兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的問題

問題一：直接利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的性質(zhì)，從而解決零點(diǎn)問題

樣例1：已知函數(shù)，其中。若在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍。

問題二：以切線為載體的零點(diǎn)問題

樣例2：已知函數(shù)。若過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，求t的取值范圍。

問題三：以極值為載體的零點(diǎn)問題

樣例3：已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

問題四：隱零點(diǎn)問題的處理

樣例4： 已知函數(shù)。證明：曲線總在曲線的上方。

求解過程中，構(gòu)造新函數(shù)：

則有。對(duì)于這個(gè)超越方程，學(xué)生解決起來是有困難的。但是可以根據(jù)零點(diǎn)存在定理，判斷這個(gè)方程是有唯一根的，姑且稱之為“隱零點(diǎn)”。

具體做法如下：因?yàn)椋?/p>

且在上單調(diào)遞增

所以在（0，）上存在唯一的，使得，雖然無法求出的值，但是可以找到關(guān)系式，進(jìn)而解決后面的問題。

結(jié)語

導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的地位是非常重要的。在解題過程中，教師可以利用衍生品的特點(diǎn)幫助學(xué)生掌握更多的解題方法和技巧。在此基礎(chǔ)上，簡化習(xí)題本身的內(nèi)容，問題解決的過程會(huì)越來越清晰，學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的理解也會(huì)越來越深刻。

參考文獻(xiàn)

[1]鄧晗陽.導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用探討[J].科學(xué)大眾（科學(xué)教育），2016（12）：142-143.

[2]唐瑞康.導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用分析[J].求知導(dǎo)刊，2017（32）：56-56.

[3]陳祖靈.試分析導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].教育，2016（7）：228-228.

[4]林翠琳.利用導(dǎo)數(shù)解高中數(shù)學(xué)題的方法[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)（高中版上旬），2017（8）：15-16.

作者簡介

金鑫（1980—），女，民族：漢族，籍貫：吉林省，學(xué)歷：碩士研究生，職稱：高級(jí)教師。