基于類比思想的幾何定理教學實踐與思考

姬艷玲

【摘 要】結合“角平分線的性質與判定”的教學，文章從“課堂引入時滲透類比思想、定理探究時滲透類比思想、定理應用時滲透類比思想”三方面入手，闡述了基于類比思想的幾何定理教學實踐與思考，并通過數學教學活動的開展，讓學生在掌握“四基”的同時，發展學生的數學思維品質，提升關鍵能力，培養學生的數學核心素養。

【關鍵詞】類比思想；教學實踐；數學思考

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2018）34-0128-02

引言

在一次片區教研活動中，張老師為大家展示了一節滬科版數學八年級（上）“角平分線的性質與判定”的研討課，課后的研討交流中，既有共識的達成，也產生了認識上的分歧與爭議.現撰寫下來，與同行們分享交流。

一、課堂簡錄

1.類比思考，引入課題。

教師：本章的課題是什么？

學生：軸對稱圖形與等腰三角形.

教師：我們主要探究了哪些軸對稱圖形？

學生：線段、等腰三角形和角.

教師：在這三個幾何圖形中，我們已經研究了等腰三角形的性質與判定，線段中垂線的尺規作圖、性質與判定，那么，對于“角”我們在上節課中已經學習了它的尺規作圖，接下來該如何研究呢？（引出課題）

2.動手操作，發現性質。

教師出示問題：如圖1，請同學們用尺規作圖作出∠AOB的平分線OC，然后在OC上任意取一點P，分別過P點作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E，探索PD、PE有什么數量關系？（學生動手操作，探索發現PD與PE的數量關系）

生1：我通過測量，發現PD=PE.

生2：我通過折疊，也發現PD=PE.

教師：能把你們的發現用一句話總結一下嗎？

生3：在角平分線上任意取一點，向這個角的兩邊作垂線，垂線段的長相等.

教師：“垂線段的長”也可以說成“點到角兩邊的距離”.哪位同學能把學生3的總結說的更簡潔一些？

生4：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.

教師：非常好！那么，我們發現的這個結論正確嗎？（齊答：不一定）怎么辦？（需要證明）

3.問題驅動，證明性質。

問題1：命題證明一般要經歷怎樣的過程？學生回顧命題證明的一般過程.之后，結合圖形，師生共同寫出已知、求證.

問題2：證明“PD=PE”，我們有什么辦法？（學生：三角形全等）那么，你們開始證明吧！

教師指定一名學生板書證明過程，然后，師生互評，強調推理的嚴謹性、書寫的規范性，最后歸納性質定理.

定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.

如圖1，若OC是∠AOB的平分線，P是OC上任意一點，且PD⊥OA，PE⊥OB，則PD=PE.

4.自主思考，探索判定。

教師：剛才我們一起研究了“角平分線上的點到角兩邊的距離相等.”這個性質定理，請大家思考，它的逆命題如何寫？是真命題還是假命題？

生5：逆命題是“到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上.”

生6（反駁）：不對，應該加上“在一個角的內部”這個條件.

教師：佩服，老師竟沒有想到.

生5（接著講）：此問和性質一樣，用“HL”定理證明兩個直角三角形全等即可.（學生以下講解過程略）

教師：對于角平分線的判定定理，在使用時，要注意必須是在一個角的內部且到角的兩邊距離相等的點，否則不成立.

歸納定理：角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.

如圖2，若PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E，且PD=PE，則點P在∠AOB的平分線OC上.

思考1：如圖3，若PD=PE，但沒有“PD⊥OA，PE⊥OB”這個條件，能不能判定OC是∠AOB的平分線呢？

思考2：如圖4，若PD=PE，且OD=OE，能不能判定OC是∠AOB的平分線呢？

5.出示例題，應用定理。

已知：如圖5，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P.

解答：（1）點P在∠A的平分線上嗎？

（2）點P到三邊AB，BC，CA的距離有什么關系？

（3）若設點P到邊BC的距離為r，∠A、∠ABC、∠ACB所對的邊為a，b，c，你能用a，b，c，r表示△ABC的面積嗎？

二、數學思考

1.課堂引入，滲透類比思想。

等腰三角形、線段中垂線的研究思路應該說是研究角平分線的最好方法，因此，上課伊始，授課者通過復習等腰三角形、中垂線的有關內容，提出“對于角，我們在上節課中已經學習了它的尺規作圖，接下來該如何研究呢？”在類比中自然引入課題，使學生自然而然地明白這節課該干什么.這種“類比思考，引入課題”的方法符合學生的最近發展區和認知規律，找準了新知識的生長點和切入點，為新知識的學習鋪設了綠色通道.

2.定理探究，滲透類比思想。

幾何定理探究的一般規律是：“發現定理—證明定理—應用定理”.教學中，授課者通過類比等腰三角形、中垂線的探究思路，讓學生動手操作發現“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”這一結論，然后以“問題驅動”，通過小組合作完成對性質的探索與證明，最后以“請大家思考，它的逆命題如何寫？是真命題還是假命題？”引入學生對判定定理的自主探究與思考.因為學生已經有了對等腰三角形、線段中垂線的活動經驗的積累，加之三角形全等判定的學習，所以課堂上，學生活動開展順利，角平分線性質與判定的獲得自然.而且，學生在知識遷移、類比思考中再次獲得了研究幾何性質與判定的一般經驗，培養了學生的探究意識，分析問題、解決問題的能力，進而培養學生的直觀想象、邏輯推理等數學核心素養.

3.定理應用，滲透美育教育。

應用定理是幾何定理教學中必不可少的一個環節，課堂中，授課者通過對例題的變式，不但實現了鞏固定理的目的，而且讓學生在動手操作中感受數學之美，滲透美育教育.

例題教學時，授課者通過把“證明”變為三個問題串，使問題變得淺顯易懂，增強了學生解答問題的自信心，拓寬了學生的數學思維.特別是在問題（2）的解答中，當學生發現發現：“點P到三邊AB，BC，CA的距離相等”結論后，老師讓學生“以P為圓心，P到邊BC的距離為半徑畫圓，看看有什么發現？”學生通過畫圖，興奮的叫了起來：“哇，整個圓都在三角形的內部，而且和各邊只有一個公共點.”不僅為九年級學習三角形的內切圓作了充分而必要的準備，而且學生很容易與前面學過的三角形的三條中垂線交點作的三角形的外接圓做類比.正如法國著名雕塑家羅丹所說“世界上并不缺少美，只是缺少發現美的眼睛.”這句話同樣適用于數學教學，特別是幾何教學.此時不僅滲透了數學的美，而且激發了學生學習數學的興趣.

總之，本課教學過程中，教師通過創設類比情境、適當提問，引領學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題，教師給出研究思路，學生沿著教師預設的思路進行研究，讓學生不知不覺中發現、提出、分析和解決的全過程，對問題解決活動經驗的積累，幾何圖形研究經驗的積累，發展能力，具有積極的意義.再加上與線段中垂線課時安排完全類似，一以貫之，所以從學生課堂上的反應看他們并不吃力.

三、教學建議

教學永遠是一門遺憾的藝術.本節課授課者雖然做的非常完美，但仍存在值得商榷的問題.《義務教育數學課程標準》（2011年版）提出實現“人人學有價值的數學，人人都能獲得有必要的數學，不同的人在數學上得到不同的發展”的目標.其實現的基本途徑是從學生自己熟悉的生活背景中發現數學，掌握數學和運用數學，體驗數學與周圍世界的聯系以及數學在社會生活中的作用及意義.因此教師要改變傳統的教學方式，聯系生活實際，讓學生在數學活動中獲得生活經驗.寓數學知識于學生喜聞樂見的活動之中，使抽象的教學知識以直觀形象，豐富多彩的客觀事物為載體.這節課所選的不論是例題，還是練習，甚至于連作業都是純粹的數學題，無疑是脫離了實際生活.如果在導入新課之前創設情境“如圖6，為了促進我縣經濟發展，縣政府決定要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個魔幻城，要使這個魔幻城到三條公路的距離相等，應在何處修建？”或者在練習中設計一個思考題：“如圖7，要在我校后面的S區建一個超市，使它到兩條路的距離相等，且離兩公路交叉處100米，應建在何處？（比例尺為1：10000）”

這樣才能夠讓學生體會數學來源于生活，又服務于生活，體驗數學的內在價值，感受到數學知識就在身邊，生活中充滿著豐富的數學問題.

另外，教師還應增加開放性的問題，給學生充分自主、自由、開放的探究空間.讓學生享受自我探究，自我創造的快樂，發展學生研究數學問題的能力和自主創新能力.如在練習中可以設置這樣的問題：“如圖8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，則（1）圖中相等的線段有哪些？相等的角有哪些？（2）那條線段與DE相等？為什么？（3）若AB=10，BC=8，AC=6，求AE的長和△BED的周長.”

參考文獻

[1]鄭燕紅.吳增生.且行切思，發展“四能”.中國數學教育.

[2]張東.有理數減法法則教學探究性思考.中國數學教育.