二次函數(shù)與一元二次方程之間關(guān)系的教學(xué)設(shè)計(jì)

王云杰

摘 要?本文主要對二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系進(jìn)行了詳細(xì)的分析與論證，使學(xué)生感受函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，增加對二次函數(shù)的感性認(rèn)識，讓同學(xué)們領(lǐng)會解函數(shù)題時(shí)的樂趣，深刻理解二者的必要性，進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)在生活中的廣泛應(yīng)用。

關(guān)鍵詞?一元二次方程;二次函數(shù);關(guān)系

中圖分類號：B032.1 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）15-0217-01

關(guān)于一元二次方程？，因?yàn)椋臄?shù)值不定，方程的根有三種情況，可能有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，可能有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，可能沒有實(shí)數(shù)根。上述內(nèi)容是能夠通過函數(shù)圖像和軸交點(diǎn)的有關(guān)問題來解答，它們與各項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的數(shù)值有關(guān)。本文通過總結(jié)二者之間的關(guān)系進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，對于以后的教學(xué)和學(xué)習(xí)提供幫助。

對于一方程????????????（ ???）的根就是二次函數(shù)???????????（????）圖像與??軸的交點(diǎn)。

①Δ時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根 ????，則說明拋物線與?軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，0），（ ?，0）;

②Δ時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，就是函數(shù)圖像的頂點(diǎn)，坐標(biāo)為（ ??，0）;

③Δ時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根，二次函數(shù)與軸沒有交點(diǎn)。

二次函數(shù)（）

① ????，二數(shù)????????????圖像開口向上，當(dāng)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo) ??????時(shí)，拋物線與??軸必定有交點(diǎn);

②?????，二次函數(shù) ???????????圖像開口向下，當(dāng)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo) ??????時(shí)，拋物線與軸肯定有交點(diǎn);

一、教材學(xué)情分析

二次函數(shù)是描述變量之間關(guān)系的重要的數(shù)學(xué)模型，從教材編排上看，二次函數(shù)所占比例較大，是初中階段所學(xué)函數(shù)內(nèi)容的重點(diǎn)，這將是學(xué)生在學(xué)習(xí)了幾種初等函數(shù)之后對函數(shù)有關(guān)內(nèi)容的進(jìn)一步理解和學(xué)習(xí)。

二、第一課時(shí)

（一）教學(xué)前的準(zhǔn)備

1.教學(xué)目標(biāo)：通過對二次函數(shù)的定義幫助學(xué)生學(xué)會通過圖像來解決一般的函數(shù)問題。

2.教學(xué)重點(diǎn)：（1）理解二次函數(shù)與一元二次方程具有怎樣的聯(lián)系。（2）學(xué)會用一元二次方程根的判別式Δ來判定交點(diǎn)數(shù)。

3.教學(xué)難點(diǎn)：二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與一元二次方程的根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。

（二）教學(xué)過程

1.引入：回顧二次函數(shù)的一般式的圖像和性質(zhì);

2.提出問題，解決問題

例1：下列二次函數(shù)的圖像與軸有交點(diǎn)嗎？若有，求出交點(diǎn)坐標(biāo)？另對比能得出相應(yīng)的二次的根嗎？

① ??????????② ??????????③

教師活動：引導(dǎo)學(xué)生分析問題，畫出函數(shù)圖像，解出答案

學(xué)動：在老師的引導(dǎo)中思考怎么將題目中的條件轉(zhuǎn)化到圖像上，運(yùn)用數(shù)形題。

教師活動：提問并總結(jié)。

（1）每個(gè)函數(shù)圖像與軸有幾個(gè)交點(diǎn)？學(xué)生：2個(gè)，1個(gè)，0個(gè)。

（2）一元二次方程和有幾個(gè)根？然后驗(yàn)證一下方程有實(shí)根嗎？學(xué)生：2個(gè)，1個(gè)，無實(shí)根。

教師活動：二數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)與一元二次方程的根之間有什么關(guān)系？

教師：二次函數(shù)，當(dāng)給定的值時(shí)，可轉(zhuǎn)化為一元二次方程。

3.鞏固練習(xí)。

三、第三課時(shí)

（一）教學(xué)前的準(zhǔn)備

1.教學(xué)目標(biāo)：讓學(xué)生透徹熟悉的運(yùn)用來判斷拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并且函數(shù)給定相應(yīng)的值時(shí)能夠判斷出相應(yīng)的一元二次方程的根的個(gè)數(shù)。

2.教學(xué)重點(diǎn)：熟練使用一元二次方程的判別式Δ

判斷二次函數(shù)?????????????與軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

（二）教學(xué)過程

1.引入：教動：引導(dǎo)學(xué)生通過圖像回顧二次函數(shù)與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與一元二次方程系。

2.提出問題，解決問題

例2：在一座城市的某廣場地下上有一個(gè)壓力大方向斜向上的噴泉，速度為40m/s，噴出的水的路線是一條拋物線，如果不計(jì)空氣阻力，則水的高度h與時(shí)間t之間有一定的關(guān)系，其關(guān)系式為。（h單位：m，t單位：s）請考慮下列問題，運(yùn)用所學(xué)的知識進(jìn)行解答。

（1）水的高度能否達(dá)到15m？如果能，需要多少時(shí)間;如果不能，說明理由。（2）水的高度能否達(dá)到20m？如果能，需要多少時(shí)間;如果不能，說明理由。（3）水的高度能否達(dá)到20.5m？為什么？（4）水從噴泉口射出到落回地面要用多少時(shí)間？

學(xué)生活動：在老師的引導(dǎo)中，思考怎么樣將題目中的條件轉(zhuǎn)化到圖像上，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，最后列出方程，求解。

教師活動：引導(dǎo)學(xué)生將二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系應(yīng)用到題目中。

學(xué)生活動：根據(jù)教師的引導(dǎo)解答題中的問題。