數形結合思想方法的發展歷程研究

尚影

【摘要】中學數學的發展基本上就是圍繞著“數”和“形”這兩大基本概念進行的。縱觀數學發展史，“數”與“形”最初是一體的，隨著社會的進步，人們逐漸把“數”與“形”分離開來，后來人們又發現，數形結合有利于問題的解決，人們又有意識地把“數”與“形”結合起來。

【關鍵詞】數形結合；思想方法；歷史演進

【基金項目】阜陽幼兒師范高等專科學校教學研究校級重點項目“在中學數學教學中有效運用數形結合思想方法的教學研究與實踐”（編號：ZLGC2017JY011）。

一、數形結合思想方法概述

（一）數學思想方法

1.數學思想。人們對“數形結合思想”的論述不盡相同。

丁石孫認為，數學思想主要指數學研究方法的特點、數學與生產實踐的關系，以及數學發展的規律等。

蔡上鶴認為，數學思想是人們通過對生活中數量關系和空間形式的分析而總結出的數學理論的本質。

邵光華認為，數學思想是人們對數學內容的抽象和概括，是數學的本質。

綜上，數學思想是人們總結出的數學的本質。數學思想包括很多方面，其中有數形結合的思想。

2.數學方法。數學方法的表述主要有：數學方法是指解決具體數學問題的策略；數學方法是利用數學知識解決問題；數學方法是人們在實踐中發現的運用數學思想解決問題的手段。

數學思想與數學方法緊密相連，數學思想強調指導思想，而數學方法強調操作過程。

（二）數形結合思想方法

學術界對“數形結合”的解釋各有不同，下面是幾種常見的說法。

張同君在《中學數學解題研究》中認為，數形結合是在問題解決過程中，將數量關系和空間形式進行結合，揭示問題的深層結構，從而達到順利解題的目的。

任樟輝在《數學思維理論》中認為，數形結合是數與形之間整體或局部的遷移。

徐斌艷在《數學課程與教學論》中認為，數形結合是通過抽象思維和形象思維的相互作用，以實現數量關系與圖形性質之間的相互轉化，將數量關系和圖形結合起來研究問題。

數形結合是通過把抽象的數量關系和形象的圖形相互轉化，從而使抽象問題具體化，以利于問題的解決。

數形結合包含兩方面：一是由數及形，利用“形”把問題中的數量關系形象地表示出來，化抽象為直觀，用幾何方法研究代數問題；一是由形及數，利用代數方法研究幾何問題。

二、數形結合思想方法的發展歷程

（一）數學萌芽時期的數形結合

在原始社會，數和形是一體的，不分家的。正如周述岐所說：“天上一個太陽，人的一只手有五個指頭等等。”此時的數形結合是無意識的，這個時期人們還無法對數與形進行區分。

在數學的萌芽時期，人類在生活中經常進行采集、狩獵活動，后來他們逐漸發現一只鳥、一個果子、一棵樹等之間存在共通性，從而拋開事物的物質本身抽象出了數。這就使數的概念從客觀事物中分離出來，“數”與“形”出現人類文明發展史上的第一次分離。隨著生產活動的進一步發展，社會生活出現了頻繁交易，記數變成了必要。記數經歷了手指、石頭、結繩、刻痕等，后來出現了相應的記數系統。記數又一次將數與形結合起來。這時的數形結合是人類有意識的行為。

（二）古希臘時期的數形結合

在古希臘數學中，“形數”被看作某些幾何圖形中點的數目，它們構成了幾何學和算術之間的紐帶。三角形數、正方形數、五邊形數的幾何命名奠定了數形結合的基礎，如下圖所示。

結論1：正方形數是兩個相繼的三角形數之和，如圖4所示。

結論2：第個五邊形數等于第個三角形數的三倍加上，如圖5所示。

數學以幾何學為主要特征的代表作是《幾何原本》，這時人們通常從幾何的角度去研究等價的代數問題，數形結合的思想促進了代數的發展。如，完全平方數的證明，大正方形的邊長為，兩個小正方形的邊長分別為和，由圖可知，大正方形的面積與四部分的面積之和相等，如圖6所示。

再如，二項方程的幾何解法：已知長度分別為，，的三條線段，由平行線分線段成比例，解得方程，如圖7所示；在圓中直徑所對的圓周角為直角，根據相似三角形對應邊成比例，得方程，如圖8所示。

總之，這一時期通常用“形”來研究“數”的關系，畢達哥拉斯學派不接受無理數概念，他們認為有些幾何量不能用“數”來度量。

（三）我國古代數學中的數形結合思想

我國古代數學也體現了數形結合的思想，如三國時代吳國的數學家趙爽對勾股定理的證明就采用了數形結合的思想。

趙爽在《周髀算經》注中對勾股定理的證明：“按弦圖，又可以勾、股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股之差自相乘為中黃實。加差實，亦成弦實。”

設勾股形的三邊分別為，，，由圖和術可得：，將展開，即得勾股定理，如圖9所示。

該證明體現了以形證數、數形結合的思想，為中國古代“數形結合”樹立了一個典范。著名數學家吳文俊認為，在傳統數學中，數量關系與空間形式是并肩發展的。17世紀笛卡爾發明的解析幾何正是這種現象的體現。

（四）笛卡爾時代的數形結合

1637年，法國著名數學家笛卡爾創立了解析幾何，被認為是近世紀代數發展史上的一個里程碑。數軸的建立使代數與幾何聯系到一起，數軸上每個點都代表一個實數，且每個實數都能找到一個點和它對應，即點和實數一一對應。后來，笛卡爾又建立了平面直角坐標系和空間直角坐標系，這樣一來，就可以在坐標系中解決所有的幾何圖形問題，在此基礎上，他創立了“解析幾何學”。解析幾何的創立把代數和幾何統一起來，數學有了數形結合的新思想，自此，“數”與“形”便真的結合起來了。笛卡爾的坐標系曾被恩格斯稱為是“數學的轉折”。

（五）現代數形結合

現代數學研究中，人們常用“形”的術語來描述數量關系，指明其幾何意義。如非線性規劃的各種算法，如果不用幾何意義來描寫，就無法進一步研究。尤其是一些算法的設計，我們通常先設想一個幾何形象，從幾何角度進行研究后，再用解析法加以描述，這完全是“數形”結合的研究過程。可見，數形結合是數學發展的必然，它貫穿于數學發展的全過程。

華羅庚先生在《談談與蜂房結構有關數學問題》中寫道：“數無形時少直覺，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事非。”至此，“數形結合”一詞開始得到大家的普遍認可。

三、小結

數形結合給我們提供了一個解決問題的方法，能將復雜問題簡單化。數形結合思想方法經歷了一個漫長的發展歷程，它是隨著社會的不斷進步而發展起來的，它的每一次發展都代表著人們數學思維方式的改變，是人類文明發展的必然結果。

【參考文獻】

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