縱彎模態復合型直線超聲電機定子質心振動研究

付前衛， 姚志遠

(南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016)

直線超聲電機是利用壓電單元的逆壓電效應激發彈性體的超聲振動，通過定子和動子間的摩擦作用，把定子驅動足的微幅振動轉化為動子的直線運動[1-4]。由于其具有直接產生直線運動和輸出力、定位精度高、結構設計靈活、成本低等優點[5-7]，近年來直線超聲電機發展十分迅速，在醫療器械[8]、機器人[9]等領域作為驅動器發揮重要作用。通過建立超聲電機數學模型，分析電機微幅振動以及動力學特性來優化電機結構，提高超聲電機的機械輸出特性是研究的重點，而速度穩定性等機械特征與定子的質心振動有關，本文重點對此進行理論建模分析和實驗驗證。

超聲電機的輸出特性與電機定子的振動模態、接觸界面的摩擦特性、預壓力大小等有關，很難建立一個普適的模型。因此通常引入特定假設，建立一個針對研究對象的適用模型[10]。其中建模的難點之一在于驅動足和摩擦界面之間的接觸模型的建立。文獻[11]沒有考慮定、轉子接觸界面徑向摩擦和黏滯現象，使得模型無法對大力矩超聲電機進行合理分析。文獻[12]較為完整地分析了陶瓷片逆壓電效應激振以及定、轉子摩擦傳動過程，但模型過于復雜，缺乏實用性。陳超等[13]通過闡釋行波型旋轉電機三維接觸驅動機理，建立整機動力學模型，證明了定、轉子在界面徑向滑移所導致的能量損耗對電機輸出性能的影響。王金鵬等[14]通過行波型旋轉電機結構改進，改善了電機接觸界面周向壓力不均現象，降低了空載速度波動率。羅辭勇等[15]利用李雅普諾夫穩定性判據對行波型旋轉電機驅動區間和制動區間進行了分析并討論了其對電機輸出速度、轉矩等的影響?，F有文獻主要關注旋轉電機接觸問題，缺乏對于直線超聲電機相關模型研究的報道。許海等[16]假設直線超聲電機定、動子接觸為彈性體接觸，并將接觸層等效為線性彈簧層，分析了摩擦等對電機輸出特性的影響。而目前研究表明，定子驅動足振幅和接觸層變形量并不相等，接觸層起非線性彈簧作用[17]。以非線性彈簧接觸模型為基礎，對直線超聲電機進行動力學建模、輸出穩定性的研究相對較少。文獻[18]進一步研究了驅動足質點的橢圓運動對電機動子運動的影響規律以及定子質心振動對驅動足橢圓軌跡的影響，解釋了電機的輸出特性與預壓力、摩擦材料剛度等之間的關系。但是文章較多的分析的是定子質心振動對電機輸出特性的影響，而缺少質心振動規律的深入研究，且在對定子質心振動分析時，仍將摩擦材料層等效為線性彈簧層，這與實際接觸情況稍有差別。Li等[19]對直線超聲電機定、動子碰撞振動模型進行黏滯運動分析時，也對定子質心運動進行相應討論，但缺乏實驗驗證。

本文以典型的縱彎模態復合直線超聲電機為研究對象[20-21]，假設定、動子間的定子表面存在彈性層，該彈性層簡化為剛度較大的非線性彈簧層。將縱、彎模態解耦，以一階縱振為例，建立定子法向運動的動力學模型，根據定子質心振動方程解出質心振動穩態解，通過仿真分析得出不同預壓力彈簧剛度、不同預壓力等對質心振動響應的影響以及質心振動對電機性能的影響。最后通過實驗驗證了本文模型的有效性。

1 定、動子接觸模型

本文主要分析定、動子間的接觸，研究定子質心振動的規律，因此，建立電機在接觸面法向的動力學模型。圖1所示的是縱彎復合模態型直線超聲電機的定子，在一階縱振模態下的驅動足法向運動結構原理圖。該結構為夾心式超聲電機，其中壓電陶瓷片安裝在定子中心，夾持位于振動的節點上。

對于旋轉超聲電機而言，由于摩擦材料材質較軟，相關研究的普遍做法是將摩擦材料等效成分布式線彈簧。但直線電機常用的摩擦材料的剛度和硬度都比金屬材質的驅動足大，其粗糙度比驅動足小很多，實際接觸時動足的變形量比摩擦界面的變形量大，且驅動足的變形主要來自于其表面的變形。因此對于直線超聲電機，等效線性彈簧的接觸模型不成立，本文將摩擦材料的摩擦界面看成是一個光滑的剛性面，將驅動足與它的接觸等效成一個帶有彈性層(用分布的非線性彈簧表示)的剛性柱體與一個剛性平面的接觸模型，如圖2所示。

圖1 電機定、動子法向接觸物理模型Fig.1 Stator and rotor normal contact physical model

圖2 電機定、動子等效接觸模型Fig.2 Equivalent contact model of motor stator and rotor

圖2(a)表示的是驅動足未受力時的情形，圖2(b)表示的是驅動足在下端受到一個分布力f的作用，彈性層在x方向上產生的變形量記為x，它們之間的關系由一個三次多項式函數[22]表示

f(x)=a3x3+a2x2+a1x

(1)

式中：a1=42.3;a2=-0.123;a3=44.2。

2 定子動力學建模

本文進一步將接觸模型中的彈性層部分簡化為一個非線性彈簧，如圖3所示為整個定子的法向振動過程。

圖3 定子法向運動模型Fig.3 Normal motion model of stator

圖3(a)表示未施加預壓力和電場時的定子的情況，圖3(b)表示通過給預壓彈簧一個壓縮量為定子施加一個預壓力，此時驅動足的位移為δs，整個定子受力平衡。圖3(c)表示在圖3(b)的基礎上再給定子施加一個激勵電場，激發出定子的縱振模態(定子的變形量為Δl)。由于定子頂端的等效非線性彈簧的剛度要比預壓彈簧的剛度大得多，致使定子在伸縮的過程中，定子的質心也產生振動，即定子的法向運動由定子縱振運動和質心的運動疊加而成。則點P(驅動足表面以下部分的質心)的位移可由定子在l處的縱振位移和質心的位移疊加而成

u(t)=u1(l,t)+uc(t)

(2)

式中：u1(l,t)為定子在處的一階縱振的位移，參考系為定子本身，坐標原點為O′， 時間t=0時，驅動足質點P的一階縱振位移ul(l,0)定義為點P的位置0點；uc(t)為質心C的位移，參考系為地面，時間t=0時，為位移0點，質心位于坐標原點O處；u(t)為點P的位移。摩擦界面受到的法向壓力可由以下分段函數表示

(3)

式中， 當u(t)+δs>0時，驅動足與摩擦界面接觸，而當u(t)+δs≤0時，驅動足與摩擦界面脫離，顯然，此時摩擦界面所受的法向壓力變為0。

為了研究定子質心的振動，將其簡化為一個單自由度系統，振動過程分析如圖4表示。

圖4(a)表示未施加預壓力和電場時的定子的情況，圖4(b)表示通過給預壓彈簧一個壓縮量δc為定子施加一個預壓力fp(即kδc=fp)，此時，質量塊受力平衡。圖4(c)表示給定子施加一個電場后，質量塊上端受到來自于摩擦界面產生的時變法向壓力，造成質量塊受力不平衡，從而使質量塊產生運動，記質量塊的位移為uc(t)。

圖4 定子質心振動簡化模型Fig.4 Vibration model of center of stator mass

下面分別建立定子一階縱振模態和定子質心振動的動力學方程。首先，由圖3可知定子的一階縱振運動可以等效成一個兩端自由桿在x=l處受到集中力FN(t)作用后的受迫振動，利用能量原理和杜哈梅積分(將集中力化成分布力)可得到定子一階縱振模態的動力學方程

(4)

式中，M1,K1,C1,F1(T),φ1(l)分別為定子在兩端自由狀態下的一階縱振的模態質量、模態剛度、模態阻尼、模態力和x=l處的振型。由圖4不難得到定子質心振動的動力學方程

(5)

圖5 不考慮質心振動的點P位移Fig.5 Displacement of P without considering the center of mass vibration

圖6 考慮質心振動的點P位移Fig.6 Displacement of P considering the center of mass vibration

圖7 摩擦界面所受的法向壓力Fig.7 Normal pressure of friction interface

圖8 法向壓力的頻域分析(FFT)Fig.8 FFT analysis of normal pressure

圖5和6所示的分別是不考慮質心振動時質點P的位移響應和考慮質心振動時的位移響應，穩態情況下兩種位移振幅基本相當，但穩態時的平衡位置卻有較大差異，不考慮質心振動時，點P的穩態的平衡位置位于坐標的原點處，當考慮質心振動時其平衡位置就偏離了坐標原點。這說明質心振動的穩態振幅相對于定子一階縱振模態的穩態振幅小。造成其平衡位置就偏離了坐標原點則假設質心振動可能存在一個靜位移。圖7所示為點P穩態振動下，摩擦界面受到的法向壓力，從圖中可知法向壓力基本上是一個隨時間變化周期函數。圖8所示的是利用FFT對穩態振動下法向壓力信號進行頻域分析。由圖8可知這個信號中主要包含兩個頻率成分，一個是超聲頻率(大約28 kHz)，這個頻率主要和定子的一階縱振模態有關，而另一個相對低一些的頻率成分(大約16 kHz)和質心的振動有關。

3 定子質心振動穩態解

由于FN(t)可以近似看成是周期函數， 令FN(t+T0)=FN(t)， 將FN(t)展開成Fourier級數

(6)

將式(6)代入式(5)得

(7)

則不難得到質心的穩態解

(8)

其中，

(9)

(10)

圖9 不同預壓彈簧剛度下質心的位移響應Fig.9 Displacement response of the center of mass under different spring stiffness

圖10所示的是不同預壓力下定子質心的位移響應，圖11是對應的質點P的穩態響應，從這兩幅圖中可以看出當預壓力比較小時，定子質心穩態振動的平衡位置向下偏離其坐標原點的距離比較大，從而造成質點P的穩態振動的平衡位置向下偏離其坐標原點的距離比較大，因此會造成驅動足與滑塊的脫離時間比較長，不利于電機的動力輸出。而增大預壓力后，會使質心穩態振動的平衡位置向下偏離其坐標原點的距離變小。圖12所示的是不同預壓力摩擦界面所受的法向壓力的情況，從圖中可以看出，當預壓力比較小時(fp=10 N)，驅動足在一個周期內的很大一部分時間內都是與滑塊脫離的，可能會造成驅動足的有效驅動力較小。而當預壓力比較大時(fp=40 N)，驅動足在一個周期內的很大一部分時間內都與滑塊接觸，造成驅動足對動子(滑塊)的制動作用時間增長，不利于電機的動力輸出，而且當預壓力繼續增大時(fp=60 N)，驅動足將不與滑塊脫離，這會大大降低電機的動力輸出，甚至造成不能驅動的情況。

圖10 不同預壓力下質心的位移響應Fig.10 Displacement response of center of mass under different pre-pressure

圖11 不同預壓力下質點P的穩態響應Fig.11 Displacement response of P under different pre-pressure

圖12 不同預壓力下摩擦界面所受的法向壓力Fig.12 Normal pressure of friction interface under different pre-pressure

4 實驗驗證

為驗證模型的有效性，利用KEYENCE LK-H150型號高速激光位移傳感器對樣機進行振動測試，采樣頻率為100 kHz。如圖13所示為實驗裝置。定子質心是一個物理概念，無法測量，因此實驗將傳感器激光點照射在定子中部的夾持中點(和定子質心在同一鉛垂面)，該點的位移響應能夠反映出質心振動情況，如圖14所示。

圖13 位移響應測試Fig.13 Displacement response test

圖14 定子質心位移響應測試示意圖Fig.14 Displacement testing schematic of center of stator mass

選用剛度分別為63 750 N/m和9 750 N/m的SWOSC-V材質矩形截面模具彈簧來施加預壓力，在預壓力大小為30 N時，測試點穩態響應如圖15所示。由圖可知，兩種情況下穩態響應的平衡位置偏離坐標原點；兩條曲線采樣點的位移穩態響應平均值的差值僅為0.25 μm，預壓力彈簧剛度對于靜位移B0影響不大。與理論分析結果以及圖9所示位移穩態響應曲線走勢較為吻合。

圖15 不同彈簧剛度下質點穩態響應Fig.15 Center of mass displacement response under different spring stiffness

選用剛度為9 750 N/m的同種彈簧，根據形變量調節預壓力大小分別為10 N，40 N，60 N進行實驗。測試點穩態響應如圖16所示。表1為不同預壓力下位移穩態響應平均值對比，其中理論值選取圖10曲線0.005～0.01 s穩態響應區間對應的平均值。

圖16 不同預壓力下質點穩態響應Fig.16 Center of mass displacement response under different pre-pressure

表1 位移穩態響應平均值

由表1可知，理論值與實驗值均表明不同預壓力對于質心位移穩態響應具有明顯影響。其中，在預壓力較小的情況下，測試點穩態響應偏離坐標原點較大，將對電機的輸出特性具有不利影響，與仿真結果吻合。

5 結 論

本文根據建立的定、動子剛性平面接觸模型和定子法向運動的動力學模型，得出定子質心振動的動力學方程穩態解，發現質心穩態位移中的靜位移使得質心的穩態平衡位置偏離其坐標原點，并分析了其對驅動足的法向運動的影響。模型表明預壓彈簧的剛度對定子質心穩態平衡位置的偏離影響不大，而預壓力對質心振動和驅動足法向運動具有明顯影響，進而影響電機的輸出特性。預壓力太小，造成定子質心穩態平衡位置偏離原點過大，驅動足對滑塊的有效驅動時間太短；預壓力過大時，會造成驅動足與滑塊始終接觸不脫離。文章通過測試不同預壓力彈簧剛度和不同預壓力對定子質心的偏移驗證了動力學模型是有效的，該研究可以為直線超聲電機的動力學建模和結構優化設計提供依據。

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