兩機反向旋轉的振動同步系統在遠共振和亞共振狀態下的運動選擇特性

李凌軒, 陳曉哲,2

(1. 東北大學 秦皇島分校 控制工程學院，河北 秦皇島 066004；2. 東北大學 機械工程與自動化學院，沈陽 110819)

Huygnens于1665年最早發現時鐘的自同步現象，從19世紀90年代起，Moler，Appletont，VanderPol等科學家陸續在非線性電路中發現了同步現象[1]。上世紀60年代， Blekhman[2]，利用Poincare-Laypunov小參數法提出了雙激振器自同步振動機的同步理論，開啟了振動同步理論在機械設備中的理論研究和實際應用研究。80年代Inoue等[3]研究了雙電機驅動的平面自同步振動機的3倍頻同步理論。同時期，Wen等采用Hamilton原理推導出了兩激振器自同步振動機械的同步性條件和穩定性條件開啟了國內的研究步伐，其核心是采用積分平均的思想，將復雜的系統運動微分方程轉化為兩個偏心轉子間相位差的微分方程。同時，他還提出在某些非線性系統中可以實現各次諧波的倍頻同步，即2倍頻、3倍頻和n倍頻同步。自此，目前比較廣泛使用的三大類機械工程中的振動同步理論的研究方法形成。在Wen等的基礎上，Zhao等[4-7]改進了平均小參數法，引入兩組擾動小參數并結合Routh-Hurwitz判據提出雙機驅動平面單質體和雙機驅動空間單質體的同步性條件和穩定性條件，并對雙機、三機、四機、單質體以及多質體振動同步系統進行了研究。Zhang等[8-11]依據該理論主要對雙機及三機振動同步系統進行研究，其分析重點在于不同的結構對系統運行的穩態特性，如系統能量分配、相位穩定區間及同步能力與穩定性能力等。此外，侯勇俊等[12-13]對自同步平動橢圓振動同步、雙軸二倍頻振動同步等理論與試驗方面進行了研究。

這些成果主要是研究遠共振工況下的系統的振動同步穩態運動特性，對亞共振工況下的系統的穩態運動規律卻鮮有研究者涉足。這主要歸因于利用亞共振理論設計的振動設備的運動穩定性靈敏較高、結構較復雜、理論設計與計算難度較大，若修護不善易發生共振。然而，由于亞共振設備的具有明顯的節能、降低激振力的同時卻能獲得較大振幅、降低工作彈簧剛度、減少對基礎的沖擊力等優點，目前隨著反共振同步機械、亞共振機械的在工程中的運用，對于振動同步系統的各個工況下的穩態運動特性(尤其是在亞共振工況下)的理論研究迫在眉睫。

本文將以反向旋轉的雙激振器直線布置的振動系統為例，主要利用Hamilton原理對其在亞共振與遠共振兩種工況下的穩態相位差、能量耗散情況等穩態特性進行研究，并在理論研究的基礎上設計了相應的實驗系統來驗證理論研究的正確性。這些研究成果可以為振動同步設備(尤其是亞共振振動同步機械)的設計提供理論依據和實驗參考。

1 力學模型

對工程機械中雙機反向旋轉的同步系統的機械結構部分進行簡化，得到如圖1所示力學模型。它由兩個反向旋轉的三相異步振動電動機組成激振器分別驅動，其中，o為機體中心，o1和o2分別為兩個激振電機的旋轉中心，oxy為固定坐標系。選擇q=[x,y,ψ,φ1,φ2]T為廣義坐標，求出建立拉格朗日方程所需的系統的動能T、勢能V和能量逸散函數D0后便可得到該系統的運動微分方程式，見式(1)。

圖1 兩機反向旋轉的振動同步系統的力學模型Fig. 1 Mechanical model of synchronization system driven by exciters in opposite directions

(1)

2 系統的頻率俘獲條件及穩定性分析

2.1 系統的頻率俘獲條件

當振動系統實現頻率俘獲從而達到兩個激振電機的同步運轉的穩定狀態時，系統的穩態運動必然具有周期性特征，這意味著它們的角速度是周期性變化的。假設系統穩態運行時兩激振器的周期分別為T1和T2，則兩個電機在最小公倍周期T0期間內轉速的平均值ωm0必然是常數

(2)

并忽略阻尼比對振動系統振幅的作用，按線性系統疊加原理得到系統在方向的穩態響應，見式(3)。

(3)

2.2 系統的振動同步條件

(4)

在一個振動周期內，Hamilton作用量可表示為

(5)

由Hamilton原理，即系統Hamilton作用量的變分與作用在系統上的非有勢力所作的虛功在一個周期內積分和的值為零，即

(6)

式中：Fi為廣義力；qi為廣義坐標。取φi為廣義坐標，將式(6)代入式(5)可得

(7)

式中：ΔTe=Te1-Te2；Δfd=(fd1-fd2)；H=E/2；D即為同步性能指數，由于|sin 2α|≤1，振動系統實現自同步的條件為振動系統的俘獲力矩H大于或等于兩電機剩余電磁轉矩差的絕對值ΔTe-Δfdωm0，即|H|>|ΔTe-Δfdωm0|，即同步能力系數|D|≥1。當數D越大時，系統將處于越穩定的振動同步狀態，此時式(7)中兩機相位差值將趨近于0°或180°。

2.3 振動系統同步運轉的穩定性條件

現對根據同步條件所確定的兩種同步狀態的穩定性進行分析。當Hamilton作用量I對2α的二次導數大于零時，可得到該振動系統同步運轉的穩定性條件為

(8)

將式(5)代入(8)，則得到振動系統同步運動的穩定性條件為

Wcos 2α<0

(9)

對于該穩定性條件，若W=0時，振動系統的參數不滿足同步條件，不能實現同步運動。W值的正負取值情況決定了式(9)中穩定性條件中2α的取值范圍。

一般情況下，該類振動系統彈簧剛度kx≈ky≈kψ，固有頻率ωx≈ωy≈ωψ，對式(5)中振動同步的穩定性指數W可進一步化簡為

(10)

3 實驗系統及測量結果

該實驗平臺(見圖2)主要由振動同步實驗臺、信號采集系統、功率分析系統3部分組成。系統的力學結構相關參數見表1所示。

表1 振動系統的力學參數

圖2 試驗設備Fig.2 Experiment equipment

實驗臺的彈性元件選擇的是4個瑞士ROSTA公司生產的AB型彈性振動支撐。信號采集是通過LMS SCADAS Mobile系列數據采集系統來實現，在實驗平臺的左中右3個位置安裝了3個三向加速度傳感器，偏心激振器正面安裝脈沖計數傳感器測試轉速和計算相位差值。系統所消耗的總功率(不包含數據采集儀所消耗的功率)采用HIOKI PW3335型功率分析儀來實現，將其布置在了變頻器的前端。

由表1知本實驗中振動體當量回轉半徑lψ≈0.55 m，略小于系統質心距支撐中心的距離l0。由式(10)知，穩定性指數與兩激振電機之間的距離無關，因此實驗中布置了4臺電機(中間兩臺電機為一組，外側兩臺電機為一組)進行對比實驗。此外，為了驗證系統在亞共振和遠共振情況下能否實現振動同步及其能耗變化情況，在t=20 s時關閉電機1。限于篇幅，圖3～圖7中主要列舉了遠共振和亞共振情況下的實驗結果。其中，圖4和圖6是利用尼康D7100型相機在運動模式下隨機拍攝的振動同步狀態下的實際相位圖。圖7為系統總功率消耗隨時間變化的曲線。

圖3 亞共振情況下實驗結果Fig.3 Experimental results in sub-resonant state

圖4 亞共振工況下兩激振電機的相位圖Fig.4 Phase differences of exciters in sub-resonant state

圖5 遠共振情況下實驗結果Fig.5 Experimental results in super-resonant state

圖6 遠共振工況下兩激振電機的相位圖Fig.6 Phase differences of exciters in super-resonant state

圖7 系統的總功率曲線Fig.7 Total power of the system

圖3(a)和圖5(a)分別顯示了系統處于亞共振和遠共振時的角速度上升情況，系統在開機后迅速達到了同步振動狀態，相位差值的角速度快速穩定。此時系統的在亞共振時相位差穩定在180°附近，見圖3(b)中穩態時的偏心塊的相位差曲線和脈沖信號曲線；當系統處于遠共振狀態時，斷電前系統相位差將穩定在0°附近，斷電后穩定在25°附近，見圖5(b)。采用相機所拍攝的兩激振電機的相位圖也可以看到：在圖4中，激振器1和激振器2相位差值φ1-φ2處于181.1°～195.1°。其中，圖4(a)和圖4(b)為亞共振時中間兩電機的穩態運行時隨機拍攝的相位圖，圖4(c)為外側兩電機的相位圖。圖6顯示遠共振時，遠共振時相差穩定在0°附近，斷電前-2.2°，見圖6(c)，斷電后26.8°，見圖6(a)和圖6(b)。同時，圖4和圖6顯示內側兩組電機與外側兩組電機在亞共振和遠共振時均分別能夠達到穩定運轉狀態，這間接地說明了振動同步傳動的運動選擇特性和穩定性指數的確與兩激振間布置的距離無關。事實上，正如相關文獻所述，激振器回轉軸心至機體質心之距越大系統越容易獲得實現振動同步傳動頻率俘獲力矩。

從圖5(a)和圖5(b)中還可以看出在第20 s斷電后，激振電機的同步轉速隨著相位差的增加而有所下降(從849.8 r/min降低到846.2 r/min)，兩激振電機在頻率俘獲力矩H的調整作用下經過5 s左右達到了新的平衡。此時，力矩H將激振器1的驅動力矩通過機體傳遞給了斷電的激振器2以克服其的負載力矩，這就是文獻[1]中所定義的振動同步傳動狀態。

對比圖3和圖5中的加速度曲線還可以看出，在系統未達到穩定運轉前圖3顯示兩個方向的加速度都是緩慢增加的，而不像圖5所顯示那樣明顯出現過加速度波動現象，這意味著圖3所示的系統穩定運轉時激振頻率未超過系統發生共振的固有頻率，系統處于亞共振狀態。

從圖7的能量消耗曲線來看，在亞共振和遠共振工況下未采用同步傳動方式時總功耗接近，約為248 W，但圖7(b)還顯示了在20 s系統斷電后實現振動同步傳動時，系統總功率下僅為162 W。這意味著振動同步傳動能夠明顯降低系統功耗，以本實驗樣機為例，約35%，此工程意義較大。

事實上，采用數值仿真我們還發現：在亞共振狀態下，若激振器內部阻尼較小，系統也能實現振動同步傳動。而上述實驗卻沒能實現的原因正是由于實驗中所選的振動電機內部阻尼較大。若對亞共振的電機轉速進行調節使系統實現控制同步，這將非常有利于亞共振理論的工程應用。

4 結 論

(1) 建立了一類雙機反向旋轉的振動同步系統的動力學模型，應用拉格朗日方法得到了振動系統的運動微分方程，并利用小參數法求出其穩態響應，然后基于Hamilton原理，推導了該系統的同步性條件和同步運轉的穩定性條件，給出了系統的同步能力指數和振動同步的穩定性指數的計算公式。

(3) 通過實驗對l0

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