基于動力反共振結構的周期細直梁縱向局域共振帶隙研究

劉扭扭， 張振果， 徐時吟， 華宏星

(1. 上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240; 2. 上海交通大學 振動、沖擊及噪聲研究所，上海 200240)

梁類結構是各類機械系統的基本構件，是振動與噪聲傳遞的重要載體，其振動隔離問題一直是廣大學者關注的焦點。Kushwaha等[1]，通過類比光子晶體，首次提出利用具有彈性波帶隙的周期性復合材料或結構(聲子晶體)來抑制帶隙范圍內彈性波的傳播。

聲子晶體帶隙形成機理包括布拉格散射型和局域共振型兩大類型[2-3]。傳統的聲子晶體帶隙產生機理為Bragg散射機理，帶隙產生的原因是周期變化的材料特性與彈性波之間的耦合作用[4]，第一帶隙的中心頻率約為c/2a， 其中c為彈性波在基體材料中的波速，a為周期結構的晶格常數。在材料結構已知的條件下若想獲得低頻帶隙必須要選取大的晶格常數，一般不可能在晶格常數為幾厘米或更小的情況下得到1 kHz以下的低頻帶隙，因此在實際使用中受到諸多限制。

Liu等[5]首次提出了局域共振帶隙機理，突破了傳統布拉格帶隙機理的限制，可以在較小的晶格常數條件下獲得較低的低頻帶隙。郁殿龍[6]通過理論和實驗研究驗證了局域共振帶隙的存在，并構造出了具有低頻禁帶的一維縱向小尺寸聲子晶體結構；在此基礎上肖勇[7]對彈性波的縱向隔振機理進行了較全面的分析。

Flannelly[8]利用慣性耦合能夠產生反共振頻率的特點，提出了一種動力反共振的隔振結構，Rita等[9-11]將其用于航空航天工業領域。Ivovich等[12]把這種隔振器用來隔離從機器傳遞到基礎的低頻振動，Platus[13]采用相同的原理設計了液壓杠桿系統，可以克服機械杠桿不能實現的大杠桿比結構。Yilmaz等[14]系統的分析了動力反共振的動力學特性。其原理示意圖如圖1所示，由于杠桿可以放大ma的慣性力，相當于增加系統的等效質量，因此采用相同的參數它會產生更小的共振頻率。

本文擬結合周期結構局域共振帶隙機理和動力反共振結構的慣性耦合機制，構造出一種具有低頻局域共振帶隙的周期結構。

首先介紹基于動力反共振周期結構的局域共振帶隙計算的理論，并通過有限元進行驗證；進而討論參數對局域共振帶隙的影響因素及其規律，最后從等效質量和等效剛度的角度闡明動力反共振結構作為局域共振子的優勢。

1 細直梁的局域共振帶隙計算

1.1 基于傳遞矩陣法的帶隙計算

如圖1所示為新型共振子結構，將其沿均質桿縱向周期布置，如圖2所示。其中每個振子的剛度為k，杠桿上的懸掛質量為ma，主質量為m，晶格常數為a。作如下假設：

(1) 共振子與梁連接的部分為剛性點連接且無質量；

(2) 杠桿為剛性無質量桿，僅考慮懸掛慣形體的質量；

(3) 各個鉸鏈的阻尼和摩擦均不計；

(4) 彈簧為無質量、線性且無阻尼的彈簧；

(5) 主質量為剛性塊；

(6) 不考慮基座的質量；

(7) 振動為小振動。

令細直梁未變形時的軸線為u軸，垂直于軸線的坐標為v軸。

梁縱向振動的運動方程為

(1)

式中：u(x,t)為縱向位移；E為彈性模量；A為橫截面積。

圖1 單個共振子示意圖Fig.1 Schematic diagram of a single resonator

圖2 無限長細直梁局域共振周期結構Fig.2 An infinite beam with a periodic array of local resonant resonators

共振子結構將桿分為n段， 取其中第n段梁為例，式(1)的解可寫為

(2)

第n個共振子振動方程為

x=Xe-iωt

(3)

式中，X為第n個振子的振幅。

在第n段和第n-1段細直梁的連接處滿足位移連續、力平衡條件

(4)

式中，F為共振子傳遞到桿上的力。

對共振子進行動力學分析， 第n個振子動能和勢能可分別表示為

(5)

(6)

其中，z,x,u滿足如下關系

z=(1-α)u+αx

(7)

以及α=l1/l2為杠桿比。

聯立式(5)～式(7)，利用拉格朗日方程可以得到

(8)

聯立式(2)、式(3)和式(8)可得

(9)

則該共振子傳遞到桿上的力F為

(10)

將式(10)代入式(4)中第二式可得到

(11)

其中，

(12)

把力F的表達式(10)代入式(4)并寫成矩陣的形式

Kψn=Hψn-1

(13)

梁在x方向上是無限周期結構， 矢量ψn滿足Bloch定理[15]

ψn=eiqaψn-1

(14)

式中，q為波矢(一維時也稱為波數，為標量)。

由式(13)和式(14)可得

|T-eiqaI|=0

(15)

式中：T=K-1H；I為4×4的單位矩陣。

根據式(15)可以得到系統的波矢(±q1或±q2)和ω之間的關系即系統的能帶結構，q的符號代表本征波的傳播方向不同。由于周期性，本文將Re(q)的范圍限定在[-π/a,π/a]區間內。顯然Re(q)描述的是本征波傳播通過單位長度的相位變化，Im(q)描述的是本征波傳播通過單位長度的幅值衰減，則當Im(q)為不同值時所對應的波的衰減程度也將不同，因此可以將本征波的傳播在一個頻帶范圍內劃分為幾個不同的區域：

(a) 當0≤Re(q)≤π/a且|Im(qa)|≠0時所對應的本征波為衰減波，同時經過一個周期后本征波的相位變化介于0和π之間，滿足這個條件的頻帶范圍即為本征波的阻帶即帶隙；

(b) 當0≤Re(q)≤π/a且|Im(qa)|=0時所對應的本征波無衰減，同時經過一個周期后的本征波的相位變化介于0和π之間，滿足這個條件的頻帶范圍為本征波的通帶。

2 數值計算與有限元計算

文獻[4]中提出了一種以彈簧質量為共振子、以有機玻璃為基體材料的一維聲子晶體，并證實了在這種結構下局域共振帶隙的存在性。本文為實現更低的帶隙起始頻率，提出了一種以動力反共振為共振子的一維聲子晶體結構。為了與文獻[4]進行對比，所采用的結構參數及材料常數均與文獻[4]中保持一致。

梁的長度取為0.8 m，彈性模量E=4×109Pa，密度為ρ=1 000 kg/m3，b=10 mm和h=5 mm；振子主質量為30 g，懸掛質量為20 g，彈簧剛度為k=106N/m，杠桿比取α=2。

利用式(15)可以計算得到無限周期結構細直梁在0～1 500 Hz內的能帶圖如圖3所示。利用節1中判斷帶隙的方法，由圖3可以判斷出在這種結構下系統的帶隙，為：473～1 234 Hz。文獻[4]在相同的參數條件下的帶隙為690～3 228 Hz。顯然，本文所提出的共振子周期結構，帶隙的起始頻率比文獻[4]中的低了超過200 Hz,帶寬要小于文獻中的帶寬，但實際工程中，比如潛艇軸系的縱向隔振中，往往需要隔離的是低頻振動而且往往帶隙并不需要這么寬。

(a) 實部

(b) 虛部圖3 無限周期結構的細直梁能帶結構的波矢實部和虛部Fig.3 Complex band structure of longitudinal wave vector real part and imaginary part

作為驗證，本文利用有限元軟件ANSYS建立了該結構的有限元模型以分析計算在有限周期結構條件下，彈性波的傳播特性。圖4所示為10個周期的細直梁的有限元模型圖。在梁的左端施加縱向單位位移，使得梁的縱向彈性波沿X軸傳播，在10個、20個、30個、40個振子的條件下通過計算右端響應得到彈性波的傳播帶隙，結果如圖5所示。

圖4 細直梁的局域共振周期結構有限元模型Fig.4 Finite element model of uniform beam with ten unit cells

由圖5可以看出在上述兩種情況下，細直梁帶隙出現的位置基本一樣，均為：469～1 225 Hz，與無限周期結構的解析結果吻合較好，證明了解析解的正確性。計算結果表明：隨著振子數量增加，彈性波在帶隙范圍內的衰減也逐漸增加，證明了在細直梁上周期性安裝這種共振子可以使彈性波產生帶隙。值得關注的是，彈性波只在帶隙起始頻率處有明顯的衰減，之后隨著頻率的增加，彈性波衰減幅度明顯減小，這也正是局域共振帶隙的特點。

圖5 細直梁局域共振的位移傳遞函數Fig.5 Transfer function of local resonant beam

3 參數分析

如圖1所示，動力反共振結構要比文獻[4]中所提的彈簧質量共振子結構更為復雜，擁有更多的參數。第二節的算例給出了在特定參數條件下動力反共振結構的能帶結構，在此基礎上，本節將進一步研究動力反共振結構的參數變化對一維聲子晶體的能帶結構的影響。

動力反共振結構包括：剛度k，主質量m，懸掛質量ma及杠桿比α。由于k已定，本節將通過兩個算例分別對杠桿比α以及主質量m和懸掛質量ma的分配進行分析。

算例一中，保持質量分配不變，考察杠桿比α對帶隙的影響規律。根據定義α≥1，這里分別取α為2，3，4，5；利用式(15)可以計算出在這幾種情況下的能帶結構，由于通過波矢的虛部就可以完全表示出帶隙的位置、寬度以及衰減的幅值，因此在此僅列出式(15)中波矢的虛部解，結果如圖6所示。

圖6 不同杠桿比下細直梁局域共振的波矢Fig.6 Wave vector of local resonant beam with different lever ratio

由圖6可以看出：當α取2，3，4，5時系統的帶隙所在的頻率范圍分別為：473～1 233 Hz；344～675 Hz；268～462 Hz；218～349 Hz。隨著杠桿比的增加帶隙的起始頻率逐漸減小，帶寬也越來越小，但是最窄的情況仍有131 Hz，滿足實際需求；同時由波矢虛部的幅值可以知道隨著杠桿比的增加縱波在帶隙內的衰減能力越來越弱，但是在衰減峰值出卻沒有這樣的規律。

算例二中保持杠桿比α=2不變，考察質量分配對帶隙的影響規律。在本文中分別取m=40 g, 30 g, 20 g和ma=10 g, 20 g, 30 g，利用式(15)可以計算得到如圖7所示的能帶結構。

圖7 不同質量分配時的能帶結構Fig.7 Band structure with different mass assignment

由圖7可以看出，質量分配不同時帶隙的位置、衰減能力及帶隙的寬度都發生了較大的變化：當m=40 g，ma=10 g時的帶隙為553～1 488 Hz, 當m=30 g，ma=20 g時的帶隙為473～1 228 Hz當m=20 g，ma=30 g時的帶隙為421～1 183 Hz。

因此，在實際中要根據需要，可通過靈活地選取杠桿比和質量分配來得到理想的隔振性能。

4 帶隙機理解釋

通過變換方程式(8)可以得到：共振子的極點、零點分別為

由第二節的結果可以知道，帶隙的衰減峰值所對應的頻率約為480 Hz。把相同的參數帶入極點表達式，得到的共振子極點頻率與局域共振帶隙衰減峰值對應的頻率一致，說明局域共振帶隙產生的原因與動力吸振器相似。同時從極點表達式可以看出，當采用相同的參數時，兩種共振子的極點頻率卻不相同，動力反共振結構的極點可以通過調節杠桿比來改變，帶隙的位置也將會隨之發生改變。由于這個特點使得動力反共振在作為共振子均勻沿桿的縱向周期布置時能夠產生初始頻率更低的局域共振帶隙。

由第二節算例的結果可以看出，在相同的參數條件下，由動力反共振構成的周期結構產生的局域共振帶隙要窄于文獻[4]中的結果。文獻[7]對一維桿的局域共振帶隙機理進行了深入研究，分析了共振子參數變化對帶隙的影響規律。但本節給出的是在共振子參數給定的條件下，通過定義等效質量和等效剛度兩個參數，并比較兩種共振子等效參數的差異，給出了造成這一現象的原因。

如上所述，利用式(2)和式(10)定義了如式(16)和式(17)的動力反共振的等效質量和等效剛度。同理，式(18)和式(19)中給出了彈簧質量的等效質量和等效剛度。

(16)

(17)

(18)

(19)

計算時采用第二節中的結構參數，可以得到這兩種共振子的等效質量和等效剛度隨頻率變化的曲線，分別如圖8和圖9中所示。

圖8 兩種共振子的等效質量Fig.8 Effective mass of two resonator

由圖8和圖9的結果可以看出：動力反共振結構的等效參數存在共振峰和反共振峰，而彈簧質量結構的等效參數只存在共振峰值。共振峰值與前述的極點表達式的計算值一一對應，且動力反共振的共振峰值所對應的頻率要小于彈簧質量結構的值，從另外一個方面說明了動力反共振結構可以產生初始頻率更低的局域共振帶隙。而動力反共振結構等效參數中存在的反共振峰值，使得由它所組成的周期結構的局域共振帶隙結束的早，即相對文獻[4]中的由彈簧質量所組成的一維聲子晶體，由動力反共振結構組成的周期結構產生的局域共振帶隙要窄。

圖9 兩種共振子的等效剛度Fig.9 Effective stiffness of two resonator

5 結 論

本文提出了一種具有低頻局域共振帶隙的新型細直梁周期結構，通過能帶結構和傳輸特性的理論與數值研究，主要結論如下：

(1) 基于動力反共振結構的局域共振細直梁，可通過調節杠桿比產生初始頻率低的局域共振帶隙，且隨著周期數目增多，縱向彈性波在帶隙內衰減增大。

(2) 在動力反共振保持與文獻[4]中振子質量相同的情況下，杠桿比α值越大所產生的局域共振帶隙的起始頻率越小，且有利于低頻隔振，但是帶寬會減小。

(3) 在保持杠桿比不變的情況下，動力反共振的懸掛質量ma越大產生的帶隙起始頻率越小，但同樣會減小帶隙的寬度。

梁類結構的減振降噪是振動與噪聲領域所研究的主要對象之一，本文所采用的動力反共振結構，能夠實現小尺寸低頻寬帶減振，為聲子晶體在低頻隔振領域的應用，如潛艇軸的縱向隔振，提供了理論基礎。

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