用于間接獲取耦合界面頻響函數的變截面頻響探針研究

孟天涯， 王 軍，2， 郭蓓蓓， 張小英， 郭 睿

(1.江南大學 機械工程學院，江蘇 無錫 214122； 2. 江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室，江蘇 無錫 214122)

動態逆子結構分析是機械結構動力學領域中新近發展的一種技術理論方法，與現有的從子結構到系統的模態分析、子結構等正向分析方法不同，它是從系統水平的動態特性反求并分析子結構及其耦合的部件水平的動態特性，具有計算量小、適于中低頻范圍動態分析及建模精度高等特點，尤其適用于復雜耦合機械結構與產品系統的動態質量分析評價與動態故障診斷。

在復雜耦合結構系統的工程應用方面，目前主要是圍繞系統水平的動態響應，將模態綜合技術與動態子結構分析方法結合[1]，將測量或計算獲得的子結構模態進行綜合計算或系統仿真。然而，目前實際工程應用的分析結果能在測試結果的同一量級之內便是很好的了，常因誤差與可靠性問題，仍多以試驗為準。造成計算誤差與結果可靠性問題的原因基本可歸結為：①子結構耦合界面假設與實際裝配系統存在差異，比如復雜耦合界面的非線性因素[2]及自由度的完整性[3]；②對不可拆分的子結構進行測試與分析存在困難，因測試系統精度、測點數目等限制引起的實驗模態測試精度問題等；③由于低階模態會受到高階模態影響而產生的解析計算困難；④理論方法本身的精度限制，以及大量的數值計算尤其是矩陣求逆運算產生誤差等[4-6]。為解決上述問題，研究人員提出了不同的模態綜合技術理論方法，例如簡單子結構的 FEM 計算模態與復雜子結構的實驗模態的綜合方法[7-8]、采用測量的子結構頻響函數(Frequency Response Function，FRF)進行綜合的方法[9]，以及考慮高階剩余模態影響的精確子結構模態綜合和采取模態截斷的混合綜合方法等。

這些方法雖適合于不同的工程應用條件，但計算分析結果只能對系統動態性能進行預測，而不便進行評價和診斷(Trouble-shooting)，而且都存在不同程度的計算效率、精度和結果可靠性問題尚待解決。此外，現有的復雜結構系統動力學分析理論和技術方法基本上屬于動態子結構分析的正問題，即由子結構水平綜合到系統水平的計算分析。而系統水平的動態響應計算有賴于各子結構的精確分析或測試結果以及耦合特性參數的準確辨識，這在實際工程應用中常常遇到困難。

有鑒于此，Lim[10]提出動態逆子結構方法。有別于傳統正向分析，逆子結構方法完全由測量的系統水平頻響函數反向預測各子結構頻響函數及子結構間耦合動剛度，屬于從系統水平分解到子結構水平的問題，由于避免了模態的分析與綜合計算，其工程應用簡便、計算高效、誤差相對較低、中低頻范圍精度較高[11]，適用于不可拆分子結構及其耦合結構環節的動態分析，以及復雜耦合結構系統動態特性的評價和診斷。它在工程中有廣泛的應用前景，對諸如子結構本身極其脆弱，或在裝配狀態與自由狀態差異較大的子結構FRF的間接測試，以及對不可拆分子結構在線狀態的動態特性進行監控和評價等具有廣泛的應用價值。隨后，Liu等[12]將子結構間耦合動剛度矩陣分為非對角矩陣、塊對角矩陣、對角矩陣三種情形，推導了三種情形下的逆子結構分析公式，并對比了逆子結構預測結果。Zhen等[13-14]應用逆子結構方法準確預測了汽車懸置的剛度以及主要子結構的頻響函數，分析了汽車系統各傳遞路徑的貢獻和動態力傳遞率，為汽車減振降噪設計提供了新的思路。Liu等[15]人將汽車劃分為兩個子結構，應用多點耦合逆子結構方法分析了車輛底盤和懸掛對振動傳遞的貢獻。隨后，D’Ambrogio等[16]將逆子結構方法拓展到剛性耦合系統，發展了逆耦合法、直接解耦法等逆向子結構分析技術[17-19]。

上述逆子結構理論的成功應用都建立在測量信息完備的基礎之上，然而在實際應用過程中，由耦合結構復雜及空間局限性導致的測量信息不完備情況經常出現。

針對以上問題，王啟利等[20]將Liu等[21]提出的一種通過彈性桿件獲取頻響函數的方法應用于耦合界面頻響函數的獲取，提出了一種利用頻響探針來獲取該界面處難測頻響的方法。 該頻響探針為一根細長的等截面均質彈性桿，且其質量和體積都遠小于耦合系統的質量和體積。

已有的頻響探針方法雖然可以有效解決耦合界面處由于物理空間限制問題引起的測量信息不完備問題，但在實際的實驗和應用過程中，如果探針過細則難以固定傳感器以及施加激勵，過粗則難以克服狹小的物理空間限制的問題產生了。為了調和這對矛盾，本文提出了一種變截面頻響探針的技術，并且對頻響探針附加質量的影響進行了消除。仿真結果表明該方法可以在克服原有等截面頻響探針缺點的基礎上有效解決耦合界面處由于物理空間限制問題引起的測量信息不完備問題。

1 理 論

1.1 變截面桿的縱向振動

變截面桿縱向振動的通用動力學方程

(1)

其中，

(2)

式中：c為振動在材料中的傳播速度；E為材料的楊氏模量；ρ為材料的密度。

設式(1)可以轉換為

(3)

式中，φ(x)為待定函數。將式(1)和式(3)分別展開得

(4)

(5)

式中，A，φ與u都是對x求導。

比較式(4)和式(5)，得

(6)

即

φ=C1x+C2

(7)

(8)

式中，C1，C2為任意常數。

式(4)和式(5)對應系數成比例，得

(9)

即

(10)

將式(7)、式(8)代入式(10)得

(11)

又有

(12)

將式(12)代入式(11)，分離變量得

(13)

解式(13)得

A(x)=C3(C1x+C2)2,C3>0

(14)

式中，C3為任意大于零的常數。

因有解式(7)和式(14)，所以將式(1)轉化為式(3)是可行的。

取如圖1所示的模型作為研究對象

圖1 均質變截面自由彈性桿示意圖Fig.1 Free body diagram of a uniform bar with variable cross-section

為了表達和計算方便，令

C3=A0

(15)

(16)

C2=1

(17)

得

(18)

圖1中左端點為x=0點，右端點為x=L,A(x)為桿的橫截面積。

(19)

設桿的橫截面形狀為圓形，則有

(20)

(21)

式中：A0為變截面桿較粗一端的橫截面面積；R0為變截面桿較粗一端的橫截面半徑；α為無量綱系數；L為變截面桿的長度。

令

υ(x,t)=φ(x)u(x,t)

(22)

將式(22)代入式(3)，即為經典波動方程，解得

(23)

式中：ω為角頻率；C4，C5和φ是取決于邊界條件和初始條件的常數。

將式(23)代入式(22)，得

(24)

式中，u(x,t)為變截面桿的縱向振動方程式(1)的解。

1.2 變截面桿探針理論

根據如圖1所示的邊界條件

a1=-ω2u|x=0=-ω2C5sin(ωt+φ)

(25)

(26)

a2=-ω2u|x=L=

(27)

(28)

式中，a1，a2分別為變截面桿左端和右端的加速度。

對于變截面桿有

(29)

即

(30)

令無量綱參數

(31)

將式(2)和式(30)代入式(31)，等式兩邊取平方得

(32)

由式(32)得

(33)

聯立方程式(25)～式(28)，且將式(32)，式(33)代入得

(34)

(35)

定義加速度頻響函數

(36)

(37)

用式(35)除式(34)，且將式(36)和式(37)代入得

(38)

1.3 變截面探針附加質量影響的消除

N自由度的質量-彈簧-阻尼動力學公式有

(39)

式中，M,C和K分別為系統的質量、阻尼、剛度矩陣。

不受頻響探針質量影響的耦合系統頻響函數矩陣如下

(40)

當一個頻響探針剛性連接到耦合系統的“j”點時，系統的動力學公式為

(41)

其中，

(42)

式中， △mj為附加探針的質量。

對式(41)進行傅里葉變換得

[-ω2M+iωC+K]Y(ω)=ω2ΔMY(ω)+F(ω)

(43)

式中，Y(ω) 和F(ω) 分別為受頻響探針附加質量影響的位移和力。 式(43)表明ω2△MY(ω) 為探針附加質量帶來的附加力。

由式(43)得

Y(ω)=[-ω2M+iωC+K]-1[ω2ΔMY(ω)+F(ω)]

(44)

將式(40)代入式(44)得

(45)

式(45)等式兩邊同除以F(ω)得

(46)

由式(46)得

(47)

其中，

(48)

假設只有“j”點收到激勵且只有“j”點放置了頻響探針，則有

(49)

當響應通過加速度傳感器測量到，由式(47)、式(49)可得

(50)

(51)

將式(38)代入式(51)得到消除頻響探針附加質量影響后的變截面頻響探針技術理論公式

(52)

2 驗 證

為驗證變截面頻響探針理論的正確性，建立如圖2所示的有限元模型。耦合系統由上下兩個部件構成。上面的部件為A，下邊的部件為B。部件A和部件B通過四個圓柱體剛性連接在一起。部件A上有空隙，變截面探針較細的一端能夠輕易的通過空隙到達耦合界面上耦合點“2”處。部件A、部件B及探針所用材料屬性均為：彈性模量為200 000 N/mm2, 密度為7.85×10-6kg/mm3，泊松比為0.3。變截面探針的長度為100 mm, 變截面系數α為0.5，較粗一端的橫截面半徑為10 mm，較細一端的橫截面半徑為5 mm。因為機械結構一般都為非自由支撐，為模擬實際的機械結構的工況條件，采用可能存在的原裝支撐，將部件B的最左邊的面施加固定約束。首先在點“2”處施加激勵，得到該點處的響應加速度，從而得到該點的頻響函數G22，作為此點加速度頻響的精確值。再將變截面探針較細的一端與耦合系統的耦合點連接，在探針較粗的一端的點“1”處施加激勵且拾振，得到點“1”處的加速度頻響G11。將G11代入式(52)對點“2”的頻響函數進行預測，且與G22進行對比。

圖2 仿真模型圖Fig.2 Models for simulation

其中實線表示測量到的點“2”處的頻響函數，虛線表示測量到的探針較粗一端點“1”處的頻響函數，五角星點表示用變截面頻響探針公式預測的點“2”處的頻響函數。

如圖3所示，用變截面頻響探針公式預測的點“2”處的頻響函數與點“2”處實際測量到的頻響函數幾乎完全吻合。

圖3 仿真結果圖Fig.3 FRFs of simulation

3 結 論

動態逆子結構分析是機械結構動力學領域中新近發展的一種技術理論方法。該理論能夠通過耦合系統的動態響應特性來有效地預測部件的動態響應特性。然而在實際的測量過程中，大多數情況下并不能獲得完備的系統動態響應特性，尤其是當受到耦合系統復雜結構的空間限制時，無法獲取耦合界面處的動態響應信息已成為該技術應用中遇到的典型難題。雖然一種等截面頻響探針技術出現并用來解決該問題，但等截面探針如果過細則無法固定傳感器、施加激勵和過粗難以深入到系統耦合界面的矛盾難以調和。本文提出的變截面頻響探針技術解決了該矛盾，并且消除了頻響探針附加質量對測量結果的影響，用有限元方法進行了驗證。驗證結果表明該技術可以有效地用來獲取復雜耦合系統耦合界面處的動態響應。

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