動摩擦作用下含間隙碰撞振動系統的動力學分析

張艷龍， 唐斌斌， 王 麗， 杜三山

(1. 蘭州交通大學 機電工程學院，蘭州 730070；2. 蘭州城市學院 數學學院，蘭州 730070)

含摩擦及間隙的碰撞振動機械系統普遍存在工程應用中，如制動振動與尖叫、沖擊旋轉鉆井、裝于滑動軸承上的大型高速轉子的油膜振蕩、離合顫振、機器人關節處的摩擦誘導振動、噪聲控制等。摩擦及間隙構成的強非線性系統，吸引了眾多國內外學者致力于建立不同的力學模型和摩擦模型，來研究摩擦及間隙對系統動力學的影響。文獻[1]研究簡化制動系統在周期激勵下的周期運動，通過非光滑動力學系統的理論討論了在不連續邊界的運動轉換；文獻[2]從一類軸承模型中簡化出含間隙及摩擦的單自由度碰撞振動系統，進行動力學分析發現黏著的存在，并且可以用來預測螺栓的松動；文獻[3]研究單邊約束的兩自由度塑性碰撞振動系統，分析分段特性、擦邊奇異性和參數變化對碰撞振動系統的影響；文獻[4-5]利用含有干摩擦的Filippov振動系統研究滑移分岔和混沌動力學行為；丁旺才等[6]結合Lyapunov指數數值仿真分析了兩自由度干摩擦振動系統的動力學響應得到系統經周期運動失穩通向混沌的道路；錢大帥等[7]利用諧波平衡法研究了干摩擦振子雙黏著運動響應的級數形式解及對黏滑邊界的分析。上述文獻建立和研究不同含有靜摩擦及間隙的力學模型，分析和解釋工程中的振動和噪聲。

隨著研究的深入，建立起更加系統的摩擦模型，描述不同實驗觀察到的摩擦現象是研究摩擦不穩定性的一個重要組成部分，不同摩擦模型決定了摩擦力的本質特性。靜摩擦模型主要取決于摩擦接觸表面的相對速度，如經典的庫倫摩擦模型，Stribeck摩擦模型[8]等；動摩擦模型其摩擦力不僅與運動速度和正壓力有關系，還與運動物體與接觸面之間的內部變量(如兩接觸表面的粗糙度)有重要的關系，典型的動摩擦模型如Lugre動摩擦模型[9]及Dankwoicz動摩擦模型[10-13]。多數文獻以靜摩擦模型作為摩擦力來源分析系統中含摩擦的動力學行為，將本身具備動力學特性的摩擦模型引入系統中較少。為了研究傳動帶表面粗糙度對摩擦、整個振動系統的影響，本文引入Dankwoicz動摩擦模型(將表面粗糙度簡化為鬃毛剛度(Bristle Stiffness)和鬃毛阻尼(Bristle Damping)，從而更加接近實際工況)，利用數值仿真，探討單自由度含間隙及動摩擦系統存在的摩擦誘導振動現象，從而分析摩擦在強非線性含間隙的碰撞振動系統的動力學行為。結果表明，系統存在摩擦誘導黏滯擦邊分岔和摩擦周期倍化分岔等分岔形式。摩擦誘導振動在相空間的存在形式復雜多樣，從相圖可得出，摩擦誘導振動存在穩定周期運動、概周期摩擦誘導黏滯擦邊振動、摩擦誘導黏滯混沌振動等摩擦運動現象。將動摩擦模型運用到此類系統模型中可以更好地描述摩擦誘導振動現象。

1 力學模型

圖1 含摩擦的碰撞振系統力學模型Fig. 1 Vibro-impact system with friction mechanical model

1.1 運動方程和摩擦模型

系統運動方程為

(1)

質塊為M的振子在|X|=D處發生碰撞，碰撞后速度發生改變，構成具有非光滑特性的非線性系統，根據碰撞定律可得

(2)

Dankowicz動摩擦模型不同于僅取決于速度的靜摩擦模型，動摩擦模型深入到微觀，從宏觀和微觀兩方面探討摩擦性質，動摩擦模型本身具有動力學特性，能夠更加深入地描述兩物體接觸面之間的摩擦狀態，應用到此類力學模型中能夠更全面地反映出摩擦誘導振動特性。支配摩擦力的方程為

(3)

(4)

狀態變量Y的運動由式(5)支配

(5)

1.2 系統無量綱及運動過程分析

取無量綱參數及變量為

系統運動的無量綱微分方程為

(6)

(7)

Dankowicz動摩擦模型無量綱為

(8)

(9)

(10)

(11)

對振子M作簡單的受力分析，令Fnf表示合力，由彈簧彈性力、阻尼力、摩擦力及簡諧激振力作用在振子上，其表達式為

(12)

如果當振子第i次接觸約束面時，振子與帶的相對速度為零或在零附近波動，振子所受合力小于零

(13)

質塊將會在約束面處發生顫振或黏滯，直到振子所受合力的方向發生改變，振子重新回到振動狀態。

如果當振子第i次接觸約束面時，振子與帶的相對速度為零或在零附近波動，振子所受合力大于等于零

(14)

質塊M將不會在約束面處發生顫振或黏滯，振子所受合力會將質塊M從顫振或黏滯狀態拉離約束面，在此類情形下，系統易發生擦邊誘導振動行為。

2 Dankowicz動摩擦模型對系統的影響

2.1 摩擦誘導黏滯擦邊振動

選取系統參數①：ξ1=1，σ=0.01,ξ2=4,k0=1,δ=0.000 1,fR=4,γ=3 000,p0=3,α=0.6μβ,v=0.1,R=0.8,β=100,y∞=2 000,σ1=10,d=0.2, 以激振頻率ω作為系統控制參數，系統運動全局分岔圖如圖圖2所示，分析Dankowicz動摩擦模型對系統產生的摩擦誘導黏滯擦邊振動的影響。圖3(a)呈現出當激振頻率到ω=3.7，系統發生周期1-1-1-0運動，發生反對稱無摩擦黏滯振動；系統發生周期2-2-2-1黏滯振動，系統的運動狀態變成穩定的單周期運動，周期數、碰撞次數及摩擦誘導振動次數減少，如圖3(b)所示；隨著系統控制參數變化到ω=2.5，圖3(c)呈現出系統發生周期2-2-3-2摩擦誘導黏滯擦邊振動，發生此類動力學行為，由于振子與帶的相對速度為零或在零附近小幅度顫振且振子的運動位移接近約束面，恰好合力方向發生改變，振子開始以相反方向運動，發生振子與約束面擦切，其運動狀態由式(14)決定；系統在運動過程中發生周期6-10-10-5摩擦誘導黏滯振動如圖3(d)，當質塊運動到約束面處，在①處發生顫振黏滯，其運動狀態由式(13)決定，直到振子所受合力的方向發生改變，振子重新回到振動狀態。隨著不同控制參數ω的變化，從相圖反映出Dankowicz動摩擦模型對系統動力學行為的復雜影響。

圖2 系統運動全局分岔圖Fig. 2 System global bifurcation diagram

圖3 系統運動相圖Fig.3 System phase diagram

2.2 摩擦誘導黏滯混沌振動

選取系統參數②：ξ1=1，ξ2=1,k0=1,σ=0.01,μ=0.3,δ=0.000 1,γ=3 000,fR=3,d=0.2,R=0.8,p0=2,α=0.6μβ,v=0.1,y∞=2 000,σ1=10,β=100,以激振頻率ω作為系統控制參數，分析Dankowicz動摩擦模型對系統產生的摩擦誘導混沌振動的影響。數值仿真呈現出系統的摩擦誘導振動相圖如圖5(a)～圖5(f) 及時間歷程圖5(g)和圖5(h)，系統運動全局分岔圖如圖4所示，發生周期倍化等常規的分岔路徑，黏滯振動在分岔圖上未能直觀地表現出來。然動摩擦模型作用到質塊上，系統的運動軌跡在相圖中從黏滯周期振動通往黏滯混沌振動的現象得到很好的呈現。系統分別在激振頻率ω=2.8和ω=2.78處發生周期運動1-1-1-0和2-2-2-0周期運動，無摩擦黏滯振動如圖5(a)～圖5(b)。相圖5(c)～圖5(g)呈現出摩擦誘導周期黏滯振動通過周期倍化通往摩擦誘導黏滯混沌振動，系統的動力學行為在頻率1.781～2.01變化，呈現出周期數、碰撞次數及摩擦誘導黏滯振動次數同步周期倍化的復雜動力學行為。在圖5(c)～圖5(d)中①處發生摩擦振動碰撞約束面，由式(13)決定，當振子的相對速度為零或在零附近波動，振子所受合力小于零，振子就會滯留在約束面，直到合力方向發生改變。圖5(e)～圖5(f)呈現出摩擦誘導黏滯混沌振動的復雜運動形式，且呈現出不同形式的黏滯混沌運動狀態。圖5(g)和圖5(h)所示的時間歷程圖刻畫了振子周期1-1-3-2摩擦誘導黏滯碰撞振動現象，表明系統存在復雜摩擦誘導黏滯混沌運動。

圖4 系統運動全局分岔圖Fig. 4 System global bifurcation diagram

圖5 系統的運動相圖和時間歷程圖Fig. 5 Phase and history diagram of system

3 系統關鍵參數對動力學行為影響

選取上述兩組系統參數分別分析了動摩擦對系統動力學行為的影響。系統存在摩擦誘導黏滯混沌振動、摩擦誘導黏滯擦邊振動及概周期摩擦黏滯振動等復雜動力學行為。進一步了解其他關鍵參數對系統動力學特性的影響，如帶速vb和間隙d的影響。

3.1 帶速vb對系統動力學行為影響

此類簡化系統模型中，帶速直接影響振子的摩擦自激振動特性，分析帶速的變化引起系統的動力學變化是必要的，帶速的大小不同，直接決定了摩擦誘導振動的位置及振動的幅值。選取系統參數③：fR=4,p0=3,α=0.6μβ,ω=2.2,y∞=2 000,σ1=10,ξ1=1,ξ2=4,k0=1,σ=0.01,δ=0.000 1,γ=3 000,d=0.2,R=0.8,β=100。以帶速vb作為分岔控制參數，分析帶速vb對系統動力學行為的的影響。數值模擬呈現出系統的全局分岔圖和局部周期倍化分岔圖如圖6(a)～圖6(b)所示；摩擦誘導振動相圖6(c)～圖6(h)表示具有不同周期數及不同振動次數的摩擦相軌跡，不同帶速引起的概周期摩擦誘導黏滯振動，反映出帶速對系統運動的重要影響。圖6(c)給出系統在參數vb=0.1下，發生概周期瞬時摩擦誘導振動；圖6(d)呈現出振子在vb=0.2時振子與帶的相對速度為零，振子發生概周期摩擦誘導黏滯振動，在①處發生顫振碰撞約束面，由式(13)決定；圖6(e)呈現出振子在vb=0.3時，發生黏著顫振運動，摩擦振動次數與周期數一致；隨著帶速增加，圖6(f)呈現出系統發生周期3-3-9-1運動，即發生一次黏滯；圖6(g)呈現出系統在vb=0.5時，發生概周期摩擦誘導黏滯振動；隨著帶速的進一步增加，圖6(h)呈現出vb=0.7時的周期3-3-8-3黏滯振動。

圖6 帶速對系統黏滯振動響應Fig. 6 Belt velocity on sticking vibration of system

3.2 間隙d對系統動力學行為影響

機械系統中，制造、裝配及運動等原因造成系統中不可避免的存在間隙，系統中含有間隙構成了系統運動具有非光滑特性的非線性動力學行為，探討間隙對系統的影響是關鍵的。以系統參數1為基礎，以間隙d分岔控制參數，分析d系統運動的動力學行為影響。系統的全局運動分岔圖如圖7(a)所示，從分岔圖看出系統隨間隙d變化復雜，沒有出現常規的分岔路徑，隨間隙d化時存在的摩擦誘導黏滯振動以相圖的方式呈現，圖7(b)呈現出系統在間隙d=0.1時，振子發生周期1-2-5-1黏滯振動；圖7(c)展示出間隙時，系統運動在①處發生概周期瞬時摩擦誘導擦邊振動，其運動狀態由式(14)決定；隨著間隙增大到d=0.4時，系統呈現出周期1-1-1-0無摩擦振動如圖7(d)。間隙d對系統動力學行為有著復雜的影響。

圖7 間隙對系統黏滯振動響應Fig.7 Clearance on sticking vibration response of system

4 結 論

研究一類由阻尼和彈簧組成的含有非光滑特性間隙和摩擦的非線性動力學系統。其中，摩擦由本身具有動力學特性的Dankowicz動摩擦模型支配。利用數值仿真方法，給出振子運動判斷條件，分析系統含摩擦產生的摩擦誘導振動動力學現象。數值仿真結果表明，系統呈現周期摩擦黏滯振動運動經倍周期分岔通向混沌道路的演化過程，及存在不同運動形式的摩擦誘導黏滯混沌振動。系統存在復雜多樣的摩擦誘導振動形式，穩定周期摩擦振動、概周期瞬時摩擦振動、概周期摩擦黏滯振動及摩擦誘導擦邊碰撞振動等。另外，振子所受合力及速度的變化，當振子第i次發生碰撞時，若振子的合力小于零，振子會滯留于約束面處，發生顫振碰撞；若振子所受的合力大于等于零時，振子發生摩擦誘導擦邊振動行為。以激振頻率為分岔控制參數，當參數大于臨界閾值時，無摩擦黏滯振動發生。動摩擦模型運用到此類系統模型中可以更好地描述摩擦誘導黏滯振動現象。

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