軌道非線性能量阱阻尼對其減振性能的影響

王菁菁， 浩文明， 呂西林

(1.湖南工業大學 土木工程學院，湖南 株洲 412000； 2.同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092)

結構控制技術通過對主體結構施加被動或主動的作用力，改變結構主體的剛度或阻尼等，以達到減小能量輸入和加速能量消耗的目的。其中，被動結構控制技術，由于不需要額外能量輸入，概念簡單，被成功應用于大量實際工程之中。調諧質量阻尼器(Tuned Mass Damper，TMD)是最為常見的被動控制方法，一般放置在建筑結構頂層，當TMD頻率調至與主體結構相近時，可通過反向共振減小結構響應[1-3]。但傳統TMD為線性阻尼器，剛度為定值，即只有一個自振頻率。當原結構的頻率由于結構受損、沉降或其他因素發生變化時，TMD減振性能退化，有時甚至放大主體結構的響應[4]。為解決這一問題，有學者提出了非線性的結構控制方法—非線性能量阱(Nonlinear Energy Sink，NES)[5]。從構成元素上看，NES與TMD十分相似，均是附加質量通過彈簧單元和阻尼單元與主體結構相連。但與TMD不同的是，NES中彈簧為非線性彈簧，產生本質非線性的回復力(即回復力中不包含線性成分且不可線性化)。現有NES的力-位移關系呈三次方函數關系，與TMD線性的力-位移關系進行類比，當輸入能量(位移)不同時，NES線性化剛度不同。這使得NES能夠與較廣泛的頻率發生共振，一方面使能量從主體結構單向傳遞至NES(即靶能量傳遞)，一方面耦合主體結構的不同模態，使能量從低階模態傳遞至耗能更快的高階模態[6-8]。

本文所研究的軌道非線性能量阱(Track Nonlinear Energy Sink，軌道NES)是一種新型的NES，由軌道和附加質量組成，通過軌道形狀實現非線性回復力。軌道與主體結構固定，質量塊沿軌道運動。本文將推導軌道NES的回復力表達式、軌道NES系統運動方程，并通過數值模擬考察兩自由度主體結構附加軌道NES的響應。由于軌道NES減振性能對輸入能量大小較敏感，本文又研究了軌道NES阻尼對其減振性能的影響。結果表明，通過調整軌道NES阻尼，可以有效改善軌道NES的剛度魯棒性和能量魯棒性。

1 軌道非線性能量阱

軌道NES通過質量塊沿特殊設計的軌道運動產生非線性回復力，其物理模型可借由帶輪小車沿軌道運動表示(見圖1)。假設質量塊不發生轉動且與軌道保持接觸，則軌道NES的自由體受力圖可表示為圖2。其中，mN為NES質量，uN和vN分別為NES相對于軌道的水平位移和豎向位移，z為軌道的水平位移，h(uN)為軌道的形狀函數，和vN相等，可以通過uN表示。FNomal是NES作用在軌道上的法向反力，θ為軌道切線角度，可通過對軌道形狀函數h(uN)求導得到，g為重力加速度。

圖1 軌道NES示意圖Fig.1 Configuration of track NES

軌道NES的運動方程可以用拉格朗日方法得到[9]

(1)

其中，軌道NES的動能為

(2)

且有

vN=h(uN)

(3)

圖2 軌道NES自由體受力圖Fig.2 Free body diagram of track NES

軌道NES的勢能為

V=mNgh(uN)

(4)

此處暫不考慮軌道NES阻尼，對式(2)和式(4)求偏導并展開，可得

(5)

(6)

(7)

(8)

將以上各展開項帶入拉格朗日方程，可得NES的運動方程

(9)

除去運動方程中慣性力項和軌道加速度作用的外力項，可求得軌道NES的回復力表達式為

(10)

由該表達式可知，軌道NES的回復力與質量塊的運動狀態、軌道形狀和形狀函數的導數等有關，較以往NES的三次方回復力-位移關系更復雜，且軌道NES在同一位移處可能產生不同的回復力。這些特點使得軌道NES能夠產生較以往NES更強的非線性回復力。

2 系統運動方程

將軌道NES置于一n個自由度的主體結構末端。主體結構為樓房結構模型，即各樓層質量通過剛度單元和阻尼單元串聯，頂層質量通過非線性剛度單元(軌道)和阻尼單元與軌道NES連接(見圖3)。在這里，軌道NES的阻尼簡化為黏滯阻尼，用以模擬可能存在的材料阻尼和摩擦阻尼等。

圖3 軌道NES系統模型示意圖Fig.3 Phenomenological Model of track NES system

圖3中，mi為第i個自由度的質量，ki為第i個質量的對應彈簧剛度，ci為第i個質量的對應黏滯阻尼系數，xi為第i個質量相對地面的位移，cN為軌道NES黏滯阻尼系數，xg為地面位移，其他符號含義與圖2相同。同樣，采用拉格朗日方法，系統中的總動能為

(11)

系統中的總勢能為

(12)

非保守力所做虛功為

(13)

分別對總動能、總勢能和總虛功表達式求x1,x2, …,xn和uN的偏導可以得到該系統的運動方程為

(14)

3 軌道NES的優化

本文以某兩自由度主體結構為例，對軌道NES進行數值優化并討論其減振性能。優化使用MATLAB計算軟件，通過建立State-Space模型或采用Differential Equation Editor模塊的Simulink模型進行模擬。優化采用了加權平均的全局搜索方法，考慮了主體結構剛度和輸入能量大小的變化，可分為三步進行：①選定NES軌道形狀函數和NES質量的取值范圍。②對于任意一種NES軌道-NES質量的組合在MATLAB中進行響應模擬。荷載使用脈沖荷載，通過設定主體結構初始速度施加。改變主體結構剛度和輸入能量大小，重復脈沖響應模擬，并對不同情況下的結構響應求加權平均值。③優化的目標為使軌道NES系統與鎖住系統(即軌道NES與頂層無相對位移，與頂層鎖住)位移響應(層間位移均方根)的比值達到最小。該層間位移比值可通過式(15)表示。

(15)

式中：上標w/NES為軌道NES參與減振控制；w/oNES為無軌道NES參與減振控制；rms為最小均方根；max為求最大值。

該主體結構第一、二層質量分別為24.3 kg和24.2 kg，樓層剛度分別為6 820 N/m和8 220 N/m，結構模態阻尼比為0.1%，結構固有頻率分別為1.63 Hz和4.56 Hz。根據類似試驗數據，軌道NES阻尼取為1.6 N·s/m。結構初始速度為0.15 m/s。

為了對比軌道NES和線性阻尼器TMD的減振效果，這里還對同一主體結構附加相同質量的TMD進行了優化，優化后的TMD彈簧剛度系數為210 N/m。

圖4對比了軌道NES系統、TMD系統和鎖住系統在初始速度為0.15 m/s時的頂層位移響應。經過優化的軌道NES和TMD減振效果明顯，5 s內即可降低結構響應約60%。

圖4 0.15 m/s初始速度100%剛度的結構位移Fig.4 Displacements of 100% stiffness structures under 0.15 m/s initial velocity

圖5中，考慮主體結構剛度退化，即主體結構剛度下降50%后對比各系統響應。由于TMD為線性阻尼器，僅能以單一頻率參與工作，此時減振效果較圖4下降明顯。而軌道NES由于振動頻率可變，減振效果依然十分明顯，約10 s左右，結構響應已降至極小，能有效保護主體結構。軌道NES對剛度(頻率)變化展現出優越的魯棒性能。

圖5 0.15 m/s初始速度50%剛度的結構位移Fig.5 Displacements of 50% stiffness structures under 0.15 m/s initial velocity

圖6中，考慮增加初始速度至0.32 m/s，即增加系統的輸入能量后對比各系統反應。TMD系統與鎖住系統均為線性系統，輸入能量大小的改變不影響兩者的反應比例關系。但此時軌道NES的性能受到影響，這是由于軌道NES的頻率特性隨輸入能量大小而變化，當初始速度偏離優化中采用的初始速度時，軌道NES不能保持最優的減振效果。為探索解決軌道NES對輸入能量較敏感的問題，本文將重點考察軌道NES阻尼對其能量魯棒性的影響。

為進一步說明軌道NES的頻率特性隨輸入能量大小而變化，圖7顯示了軌道NES系統和鎖住系統的加速度響應小波變換圖。在約1.5 Hz和5 Hz處的能量曲線分別與主體結構的一階和二階頻率相對應，陰影深淺表示能量大小，即顏色越深表示此處能量越大。觀察可知，開始階段能量較大，軌道NES系統中相當一部分能量通過高頻運動(5～20 Hz)消耗，而隨著系統中能量的減小，軌道NES的振動頻率也發生變化。而鎖住系統中，結構只在兩基本頻率處發生振動，且兩頻率處所分布能量的比值不隨時間(能量減少)而改變。

圖6 0.32 m/s初始速度100%剛度的結構位移Fig.6 Displacements of 100% stiffness structures under 0.32 m/s initial velocity

圖7 軌道NES系統和鎖住系統的加速度小波變換Fig.7 Wavelet transform of accelerations of the track NES and the locked systems

4 對軌道NES阻尼的討論

為了全面考察軌道NES阻尼對其減振性能及對結構剛度和輸入能量魯棒性的影響，本文分別計算了初始速度為0.07 m/s、0.15 m/s和0.32 m/s時軌道NES系統與鎖住系統的層間位移均方根比值。同時，在不同初始速度下，考察主體結構剛度的八種不同取值(為原始剛度的50%～120%)。各初始速度下軌道NES阻尼與層間位移比的關系見圖8～圖10。為了在圖中更清晰地表達結果，圖8～圖10僅繪制了4種剛度下層間位移比。表1中列出了更為完整的結果。由圖8～圖10可知，當初始速度和結構剛度一定時，存在一個最優阻尼值使軌道NES的減振性能最佳，即可通過調整軌道NES阻尼改善其減振性能。

圖8 0.07 m/s初始速度下的層間位移比Fig.8 Storey drift ratio at the initial velocity of 0.07 m/s

圖9 0.15 m/s初始速度下的層間位移比Fig.9 Storey drift ratio at the initial velocity of 0.15 m/s

圖10 0.32 m/s初始速度下的層間位移比Fig.10 Storey drift ratio at the initial velocity of 0.32 m/s

表1 不同初始速度和主體結構剛度組合下的最優阻尼

表1列出了不同初始速度和主體結構剛度組合時，對應最小層間位移比的軌道NES阻尼值。總體來說，與主體結構剛度相比，最優阻尼隨初始速度變化產生的波動較大，這一點與軌道NES對輸入能量較敏感的特點相符，同時說明將調整NES阻尼作為改善手段的可行性。在初始速度方面，以0.15 m/s為基準初始速度，當初始速度增大或減小時最優阻尼值均呈現增大趨勢。在主體結構剛度方面，對于具備相當振動能量的系統，主體結構剛度較小時最優阻尼值較大，剛度較大時最優阻尼值較小。

圖11對比了使用原阻尼值的軌道NES系統、使用最優阻尼值的軌道NES系統以及鎖住系統在初始速度增至0.32 m/s的結構位移響應。由圖可知，阻尼經過優化的軌道NES減振性能大為提高，僅3 s內位移降至鎖住系統響應的20%。阻尼優化后軌道NES對輸入能量發生變化結構的減振效果有顯著提高。

圖11 0.32 m/s初始速度阻尼優化前后的結構位移Fig.11 Displacements before and after the damping optimization under 0.32 m/s initial velocity

圖12對比了使用原阻尼值的軌道NES系統、使用最優阻尼值的軌道NES系統以及鎖住系統在主體結構剛度下降50%的結構位移響應。由圖可知，阻尼優化后的軌道NES系統4 s內位移降至鎖住系統反應的20%，優化阻尼對剛度發生變化結構的減振效果亦有顯著提高。

圖12 0.15 m/s初始速度50%剛度阻尼優化前后的結構位移Fig.12 Displacements of 50% stiffness structures before and after the damping optimization under 0.15 m/s initial velocity

由于軌道NES阻尼較其他參數(如軌道形狀等)更容易調節，在未來的研究中，可考慮通過半主動方法或其他變阻尼方法控制軌道NES阻尼的變化，使軌道NES同時具備對頻率和對輸入能量的魯棒性。

5 結 論

本文所研究的軌道NES是一種新型的非線性結構控制方法，通過附加質量沿特殊設計的軌道運動產生非線性回復力。與傳統線性控制方法TMD相比，軌道NES在主體結構剛度發生變化時仍具有較好的減振性能，但同時，其減振性能受輸入能量大小的影響較大。為進一步完善軌道NES，本文考察了軌道NES阻尼對其減振性能的影響。研究發現軌道NES的減振效率與其自身的阻尼有關，當輸入能量大小與優化時輸入能量偏離較大時，可以通過調節軌道NES阻尼使結構響應保持在較低水平。同時，調節軌道NES阻尼對剛度變化結構的減振性能亦有改善。研究可調節阻尼的軌道NES為開發同時具備輸入頻率魯棒性和能量魯棒性的非線性結構控制方法提供了可能。

致謝：

本文中對軌道非線性能量阱的研究得到了美國伊利諾伊大學香檳分校Billie F. Spencer, Jr.教授和田納西大學Nicholas Wierschem教授的悉心指導和幫助。作者在此表示衷心感謝。作者在此表示衷心感謝。

[ 1 ] HOUSNER G W, BERGMAN L A, CAUGHEY T K, et al. Structural control: past, present, and future[J]. Journal of Engineering Mechanics, 1997,123 (9): 897-971.

[ 2 ] SPENCER B, NAGARAJAIAH S. State of the art of structural control[J]. Journal of Structural Engineering, 2003, 129(7): 845-856.

[ 3 ] WEBER F, FELTRIN G, HUTH O. Guidelines for structural control[R]. Structural Engineering Research Laboratory. Dubendorf: Swiss Federal Laboratories for Materials Testing and Research, 2006.

[ 4 ] SUN C, EASON R P, NAGARAJAIAH S， et al. Hardening düffing oscillator attenuation using a nonlinear TMD, a semi-active TMD and multiple TMD[J].Journal of Sound and Vibration, 2013, 332 (4): 674-686.

[ 5 ] VAKAKIS A F. Inducing passive nonlinear energy sinks in vibrating systems [J]. Journal of Vibration and Acoustics, 2001, 123(3): 324-332.

[ 6 ] MCFARLAND D M, BERGMAN L A, VAKAKIS A F. Experimental study of non-linear energy pumping occurring at a single fast frequency[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2005,40 (6): 891-899.

[ 7 ] NUCERA F, IACONO F L, MCFARLAND D M, et al. Application of broadband nonlinear targeted energy transfers for seismic mitigation of a shear frame: experimental results[J]. Journal of Sound & Vibration, 2008, 313(1/2): 57-76.

[ 8 ] NUCERA F, MCFARLAND D M, BERGMAN L A, et al. Application of broadbandn onlinear targeted energy transfers for seismic mitigation of a shear frame: computational results[J]. Journal of Sound & Vibration, 2010, 329(15): 2973-2994.

[ 9 ] CRAIG R R, KURDILA A J. Fundamentals of structural dynamics[M]. 2nd ed. Hoboken: Wiley, 2006.

[10] WANG J, WIERSCHEM N E, SPENCER B F, et al. Track nonlinear energy sink for rapid response reduction in building structures[J]. Journal of Engineering Mechanics, 2015, 141(1): 04014104.