老瓶常裝新酒 老題邂逅新解

丁永

摘 要：在解題教學中，教師運用變式或是一題多解進行解題教學是常有的事情，也是課堂教學的常用手段之一，尤其是在中考復習中更為常見。中考復習時，筆者在中考指導用書上遇到了一道老題，本想把已有的解法和參考答案展示給學生即可。孰知，在課堂上學生進行思考時，引發了學生思維的激烈碰撞，總結出了出乎意料的多種解法?，F進行整理總結，以圖為今后的解題教學提供研究素材。

關鍵詞：初中數學；解題教學；解題方法

中圖分類號：G633.63 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）23-127-1

一、試題呈現

《南京市中考指導用書（2016版）》第十章專題復習例9。如圖所示：

（1）過△ABC的頂點A能作1條直線把△ABC的面積等分嗎？

（2）過梯形ABCD的頂點A能作1條直線把梯形ABCD的面積等分嗎？

（3）過四邊形ABCD的頂點A能作1條直線把四邊形ABCD的面積等分嗎？

此題收錄在專題一：常見的數學思想方法之化歸與轉化。題目的三問層次遞進，立意很好，化規與轉化思想得到充分的體現。

參考答案

《南京市中考指導用書（2016版）》給出的參考答案如下：

解：（1）如圖①，取BC的中點P，作直線AP，把△ABC的面積等分。

（2）如圖②，取CD的中點M，連接AM與BC的延長線交于點N，取BN的中點P，直線AP把梯形ABCD的面積等分。

（3）如圖③，連接AC，過點D作AC的平行線與BC的延長線交于點N，連接AN，取BN的中點P，直線AP把四邊形ABCD的面積等分。

二、與新解的完美邂逅

1.利用平行間之間距離處處相等

作法：連接AC、BD，取BD中點E，作EF∥AC交BC于點F，直線AF即為所求直線。

思路：由圖①可知，三角形的中線可以等分三角形的面積，所以連接BD，轉化為兩個三角形。取BD中點E，連接AE、CE，則S△ABE=S△ADE，S△CBE=S△CDE，所以S△ABE+S△CBE=S△ADE+S△CDE=12S四邊形ABCD。連接AC，作EF∥AC交BC于點F，則S△AFC=S△AEC，所以S△AFCD=S△ADE+SCDE=12S四邊形ABCD，因此直線AF即為所求直線。

2.巧用數量關系

作法：作DE∥AB交BC于點E，取EC中點F，則直線AF即為所求直線。

思路：因為AD∥C、DE∥AB，所以把梯形轉化為一個平行四邊形和一個三角形，易得AD=BE。取EC中點F，則BF=BE+EF=12（AD+BE）+12EC=12（AD+BE+EC）=12（AD+BC）。

所以S△ABF=12BF·h=12×[12（AD+BC）]·h

=12S四邊形ABCD（h為四邊形ABCD的高）。

3.延長梯形兩腰得三角形

作法：延長BA、CD交于點，取BC中點F，連EF交AD于點G，連接GF并取其中點H，直線AH即為所求直線。

思路：因為AD∥BC，所以△EAG相似于△EBF，所以EGEF=AGBF。同理可得，EGEF=DGCF，所以AGBF=DGCF。又因為F是BC中點，即BF=FC，所以AG=DG，即G為AD中點。所以F、G是AD、BC中點，所以S四邊形ABFG=12S四邊形ABCD，取GF中點H，連接AH并延長交BC于點I。易得，△AGH≌△IFH，所以S△AGH=S△IFH，所以S△ABI=S四邊形ABFG=12S四邊形ABCD。

三、反思與收獲

1.解題是教學過程的基本實踐活動。因為基礎知識要通過解題來鞏固，解題方法也要通過實踐來強化，這道題之所以學生又提出這么多的想法，就是在這樣的解題實踐過程中產生的，同時學生的思維品質在這個過程中也得到了提高、優化。

2.解題是教師專業成長的必不可少的前提。在教學中，教師應該更多地去追求一題多解，這樣才能打開自己的思維。也只有教師有一題多解的意識和能力，才能培養出具備一題多解能力的學生。教師對于解題教學的思考還要進一步深入研究，一題多解的教學意義和實踐意義往往要比講題大很多。

3.以學生為主體，更多的關注學生。對于學生而言，此乃新題，絕大多數學生應該是沒有見過，學生對此題有著全新的思考，老師不應該只關注自己的教學，更應關注學生的思維的形成。此題雖然花了很多時間，但給了學生更多的思考的過程，學生的思維有了更多的碰撞的機會，也就擦出了這么多精彩的火花。endprint