精心設計教案，有效形成概念
——淺談數學概念的教學方法

江蘇省蘇州市吳中區藏書中學 顧米根

精心設計教案，有效形成概念
——淺談數學概念的教學方法

江蘇省蘇州市吳中區藏書中學 顧米根

數學是由概念與命題組成的邏輯體系。現代一些學者認為“數學的學習過程，就是不斷地建立各種數學概念的過程。”所以，數學概念是數學知識的基礎，是數學教材結構的最基本因素，是數學思想與方法的載體。正確理解數學概念，是掌握數學基礎知識的前提。下面結合本人教學實踐，和大家分享一下在數學概念教學過程中的一些做法和體會。

一、生活實際出發，引出概念

【案例1】數軸的概念。

一上課，我就問學生：通過預習，誰能說說什么是“數軸”？學生的回答大多不夠完整。

于是我拿出一根溫度計，將橫放的溫度計來類比數軸，讓學生觀察，歸納畫數軸的三要素。

學生由0℃聯想到數軸中的原點，由橫放的溫度計上的讀數左邊小、右邊大聯想到了數軸中的正方向，由溫度計上大小相等的每一格聯想到數軸中的單位長度。

回顧了畫數軸的三要素以后，我又補充了一點：“數軸是一條直線”。

【點評】在本案例中，通過實物（溫度計）啟發學生用直線上的點來表示數，從而引出數軸的概念。這種形象的講述符合學生的認知規律，使學生容易理解，給學生留下的印象也比較深刻。這樣的例子很多，例如，在講“平行線”時，從“鐵軌、路燈的電線”談起；在講“三角形任意兩邊之和大于第三邊”時，從“抄近路”談起；在講“相似形”時，從“放大照片”談起等等。

二、抓住本質特征，講清概念

用實例引入概念，無疑能加強學生的形象思維，但是如果僅注重實例，而不注意概念的本質抽象，不強調概念的本質特征，還不能真正講清概念。

【案例2】互為補角的概念。

學生易把180°的角叫補角，或把兩個和為180°的角中的一個叫作補角。因此，我在講解時講清其本質特征是“兩個角”，“和為180°”，還強調“互為”的意思。

【案例3】直線、射線、線段的概念。

我在講解上述概念時，講清其本質差異是“端點的個數”，還強調“直線和射線的無限延伸”問題。

【點評】本案例對學生今后學習垂線、角平分線、垂直平分線、射影等概念起關鍵作用，否則，學生容易混淆概念，造成科學性錯誤。比如把“垂線段最短”敘述成“垂線最短”；把“線段的垂直平分線”說成是“直線的垂直平分線”等。

三、從已學的概念，引新概念

數學概念要在數學知識體系中不斷加深認識，從數學概念之間的關系中來學習概念，可以深化對所學概念的認識。

【案例4】二元一次方程的概念。

結合母親節即將到來的時間背景，我一上課就向學生拋出了這樣一個問題：“母親節即將來臨，小麗決定拿出自己的30元零花錢購買一束康乃馨，向母親送上節日的祝福。這束康乃馨由紅色和粉紅色兩種顏色組成。已知紅色康乃馨2元一枝，粉紅色康乃馨1.5元一枝，那么這束康乃馨可以由幾枝紅花，幾枝粉紅色的花組成？”

面對這樣一個問題，學生有些無所適從，無法明確解題的方向。于是，我引導學生設這束康乃馨中有x枝紅花，y枝粉紅色的花，通過引入兩個未知數，并列方程進行求解，學生很快就列出了關于x和y的方程：2x+1.5y=30。

接下來，我請學生判斷這個方程是不是一元一次方程，然后，我讓學生比較一元一次方程和這個方程的特征，歸納出兩種方程的相同點和不同點，從而得出二元一次方程的概念。

【點評】本案例中，通過比較，使學生認識到兩種方程都是一次方程，區別在于未知數的個數不同，從而幫助學生在一元一次方程的概念的基礎上建立二元一次方程這一新概念。

四、數學史的發展，引入概念

【案例5】有理數的概念。

我帶領學生一起回顧了數的概念的發展歷程：

人類是動物進化的產物，最初沒有數量的概念。在漫長的生活實踐中，由于記事和分配生活用品等方面的需要，才逐步產生了數的概念。例如，捕獲了一頭野獸，就用一塊石頭代表，也有用繩子打結來記數，還有的用利器在樹皮上或獸皮上刻痕，或用小棍擺在地上記數。這些方法用得多了，就逐步形成了數的概念和記數的符號。

數的概念最初是從1,2,3,4，…這樣的正整數開始的，只是記數的符號不相同。但“零”的出現稍晚，不過當時“零”不表示“空無所有”，而是表示“零碎”的意思。例如，“一百零一”的意思是：在一百以外，還有一個零頭一。隨著阿拉伯數字的引進，“零”字與“0”對應，有了“0”的含義，記數時表示一個也沒有。

隨著社會的發展，人們又發現了許多具有相反意義的量。例如，增加與減少、前進與后退、上升與下降等，這樣又產生了負數，如：零下5攝氏度，記為-5℃。正整數、零、負整數統稱為整數。

后來，隨著生產、生活的需要，人們發現，僅僅用整數表示是遠遠不夠的。如果分配獵物時，5個人分4種東西，每個人該得多少？于是分數產生了。整數再加上正分數和負分數就統稱為有理數。

【點評】通過數學史的介紹，幫助學生了解每一次數的概念的擴充的背景知識，使學生對于數的分類有一種感性認識，讓學生體會到“生活中處處有數學”，激發學生的數學學習興趣。

【案例6】實數的概念。

通過拼圖操作得到面積為2的正方形，進一步探究這個正方形的邊長，發現有理數“不夠用”，從而引入無理數。

在講解無理數的概念時，我講述了古希臘數學家希帕斯發現無理數的故事。而無理數與希帕斯所在的畢達哥拉斯學派的“世間萬物皆數。這些數不是整數，就是整數之比”的理論相矛盾，為此，希帕斯獻出了自己的生命。

【點評】通過解決數學內部的運算問題，幫助學生理解每一次數的概念的擴充的意義。通過數學史的介紹，幫助學生了解無理數概念的來龍去脈，使學生體會人類理性思維和科學精神的偉大勝利，激發學生的數學學習興趣。

五、采用變式圖形，理解概念

【案例7】鈍角三角形的高的概念。

在講授鈍角三角形的高時，我先照課本上（圖1）的圖形講，接著變化為圖2、圖3的圖形。三角形位置一變，不少學生就不會作鈍角三角形的高了。

圖1

圖2

圖3

【案例8】直角三角形、等腰三角形的概念。

我在講直角三角形、等腰三角形時，先按標準圖形講（圖4），接著變化為圖5、圖6的圖形講。

圖4

圖5

圖6

【點評】 采用變式圖形教學，不但能使學生更好地理解概念，而且使學生容易找到圖形的本質特征。只用標準圖形教學，情況正好相反。強調變式圖形教學，并不是說可以放松標準圖形的教學。恰恰相反，標準圖形是變式圖形的基礎，我們應當在教好標準圖形的基礎上進行變式。

例如，同位角的標準圖形應該是圖7，而不是圖8，圖8只不過是一種特殊情況。在講同位角的概念時，首先要教好標準圖形，不能用特殊圖形來代替一般圖形，更不能用特殊圖形的性質代替一般圖形的性質。如果教師稍有疏忽，就會使學生造成“同位角相等”的錯覺。事實上，即使我們照圖7的情況來講，在今后教到平行線的性質和判定后仍會出現知識的負遷移，仍有不少學生腦子里的同位角僅是圖8中的∠1和∠2。教師在教學中要充分注意這種心理現象，努力抑制或避免負遷移。在講每一個新概念時，都應注意新舊概念之間的比較；在變式時，一定要注意保留概念的本質屬性，變化非本質屬性。

圖7

圖8

概念是進行正確思維的前提和依據。概念教學對整個數學教學起著至關重要的作用。教師在數學概念教學中尤其要精心設計概念的引入環節，促進學生有效地形成概念，完善學生的認知結構，發展學生的思維能力，從而提高數學教學質量。