對一道課本習(xí)題的深層次探究

江蘇省太倉市第一中學(xué) 朱雯婷

對一道課本習(xí)題的深層次探究

江蘇省太倉市第一中學(xué) 朱雯婷

數(shù)學(xué)課本是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要依據(jù)與材料，我們的日常教學(xué)都圍繞課本展開，中考試卷中的不少試題也都源于課本中的例題與習(xí)題，很多是對課本例題與習(xí)題的拓展和延伸。因此，教師不僅要研究教材教法，還要善于挖掘教材中例題與習(xí)題的深層價(jià)值，對這些重要的資源進(jìn)行進(jìn)一步探究。筆者對蘇科版八年級上冊第67頁第10題進(jìn)行了深入研究，下面做簡要說明與整理。

一、從一道課本習(xí)題出發(fā)

1．習(xí)題探究，緊抓關(guān)鍵

原題：如圖1，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點(diǎn)A、C、E在一條直線上。AD與BE相等嗎？證明你的結(jié)論。

解析：解題關(guān)鍵在于證明△ADC≌△BEC。由“△ABC和△CDE都是等邊三角形”知，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE，易得∠ACD=∠BCE，由此證明△ADC≌△BEC(SAS)。再由“全等三角形對應(yīng)邊相等”得到AD=BE。

點(diǎn)評：這是初中全等證明中的經(jīng)典類型，常見的，還有將兩個等邊三角形置換成兩個等腰直角三角形等。

2．層層深入，探究整理

圖1

上題圖中還有很多值得進(jìn)一步研究的結(jié)論：

結(jié)論1：如圖2，記AD、BE交點(diǎn)為點(diǎn)O，則有∠AOB=∠DOE=60°。

解析：由“對頂角相等”易證∠AOB=∠DOE，故本題的關(guān)鍵在于證明∠AOB =60°。

解法一：由上題知△ADC≌△BEC，則∠DAC=∠EBC，即∠CAO=∠CBO，∴∠AOB=180°-（∠ABO+∠BAO）= 180°-(60°+∠CBO+∠BAO)= 180°-（60°+∠CAO+∠BAO）= 180°-(60°+60°)= 60°。

解法二：由上題知△ADC≌△BEC，則∠ADC=∠BEC。由外角知∠AOB=∠OAE+∠OEA=∠OAE+∠ADC=∠DCE=60°。

解法三：記BC、AD交點(diǎn)為點(diǎn)F，易證△AFC∽△BFO，故∠FOB=∠FCA=60°。

點(diǎn)評：解法一運(yùn)用“三角形內(nèi)角和為180°”，解法二運(yùn)用“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”。兩種解法在本質(zhì)上是一致的。不論是哪種解法，都用到了△ADC≌△BEC。

結(jié)論2：如圖3，記BC、AD交點(diǎn)為點(diǎn)F，BE、CD交點(diǎn)為點(diǎn)G，則有AF=BG。

圖2

解析：由△ADC≌△BEC知∠DAC=∠EBC；由∠BCA=∠DCE=60°知∠BCA=∠BCG=60°，又∵AC=BC，故△AFC≌△BGC(ASA)，∴AF=BG。

點(diǎn)評：同理，易得：△DCF≌△ECG，DF=EG ，F(xiàn)C=CG。

結(jié)論3：如圖4，連接FG，則有△CF G是等邊三角形。

圖3

解析：由上題知△AFC≌△BGC，則CF=CG，故△CFG是等腰三角形。又∵∠BCG=60°，∴△CFG是等邊三角形。

點(diǎn)評：由此可以發(fā)現(xiàn)，不論兩個等邊三角形的邊長如何變化，都能形成一個新的等邊三角形。

結(jié)論4： FG∥AE。

解析：由上題知△CFG是等邊三角形，則∠FGC=60°，易證∠FGC=∠DCE，故FG∥AE。

點(diǎn)評：有FG∥AE，就能得出圖中許多對相等的角與相似三角形，如∠OFG=∠OAE，∠OGF=∠OEA，△OFG∽△OAE等。

結(jié)論5：如圖5，連接OC，則有OC平分∠AOE。

圖4

圖5

解析：如圖6，過點(diǎn)C作CP⊥AD，CQ⊥BE。

圖6

解法一：由CP⊥AD，CQ⊥BE知∠APC=∠BGC=90°；之前已證明AC=BC，∠CAP=∠CBQ，故△CAP≌△CBQ，可得CP=CQ，又∵CP⊥AD，CQ⊥BE，則點(diǎn)C到∠AOE兩邊的距離相等，故點(diǎn)C在∠AOE的角平分線上，OC平分∠AOE。

解法二：CP是△ADC中AD邊上的高，CQ是△BEC中BE邊上的高，而△ADC≌△BEC，易證CP=CQ。由此，可證OC平分∠AOE。

點(diǎn)評：對比兩種解法，顯然解法二更簡單。縱觀前5個結(jié)論，每一個結(jié)論都直接或間接地用到了△ADC≌△BEC，這是本系列問題的根本所在。

結(jié)論6：圖5中度數(shù)為60°的角共有13個。

解析：圖5中的三個等邊三角形中共有9個角的度數(shù)為60°。由結(jié)論1知∠AOB=∠DOE=60°，則∠AOE=120°，又∵ OC平分∠AOE，∴∠AOC=∠EOC=60°。故共有13個度數(shù)為60°的角。

點(diǎn)評：由以上分析可知，不論兩個等邊三角形的邊長如何變化，都有∠AOC=∠EOC=60°。此系列問題含有多個“動中取靜”的結(jié)論，可在幾何畫板中動態(tài)演示并度量，以增強(qiáng)感性認(rèn)識。

解析：設(shè) AC=x，F(xiàn)G=y，則 CD=CE=a-x，DG=CD-CG=CDFG= a-x-y。 由FG∥AE知，當(dāng)時(shí)，y有最大值當(dāng)兩等邊三角形邊長相等時(shí)，線段FG有最大值

點(diǎn)評：本題采用方程與函數(shù)思想解決，用代數(shù)方法巧妙地解決了動點(diǎn)問題。

3．變化引申，拓展升華

拓展1：如圖7，已知點(diǎn)C為線段AE上一個點(diǎn)，△ABC與△CDE都是等邊三角形。

（1）求證：AD=BE；

（2）若把原題中“△ABC與△CDE

都是等邊三角形”換成“四邊形AFBC與四邊形CDHE都是正方形”（如圖8），此時(shí)AD與BE的數(shù)量關(guān)系如何？

圖7

圖8

解析：不難證明△ADC≌△BEC，從而得AD=BE。

點(diǎn)評：本題第一問即為課本習(xí)題，第二問是從三角形到四邊形的拓展與推廣，更進(jìn)一步可得：直線AD⊥直線BE。

拓展2： 如圖9，△ABC與△CDE都是等邊三角形，BE與AC交于點(diǎn)F，AD與CE交于點(diǎn)G，直線BE與直線AD交于點(diǎn)O，連接OC。

求證：（1）∠AOB=∠DOE=60°；

（2）OC平分∠BOD。

解析： 易證△BCE≌△ACD，模仿結(jié)論1的證明，即得∠AOB=∠DOE=60°；模仿結(jié)論5的證明，即得OC平分∠BOD。

點(diǎn)評：本題是原題的拓展，將“點(diǎn)A、C、E在一條直線上”這一特殊情況一般化。

拓展3：如圖10，點(diǎn)A、C、E在同一直線上，點(diǎn)B、D在直線AE的同側(cè)，BA=BC，EC=ED，∠ABC=∠CED，直線AD、BE相交于點(diǎn)O。

（1）若∠ABC=60°，則 ∠AOB=___________；

（2）若∠ABC=90°，則∠AOB=___________；

圖9

圖10

解析：（1）即為結(jié)論1，易證△ADC≌△BEC。（2）易證△ADC∽△BEC，故∠AOB=∠OAC+∠OEC=∠OAC+∠ODC=∠DCE=45°。（3）與（2）證法相同，∠AOB=90°

點(diǎn)評：第一問就是結(jié)論1，第二問是第一問的變式，第三問是前兩問的推廣，要求學(xué)生“動中取靜”展開研究。

二、讓例題習(xí)題成為數(shù)學(xué)知識與方法生長的土壤

在升學(xué)壓力巨大，各地齊抓教學(xué)質(zhì)量的大背景下，我們都在嘗試提高本門功課的教學(xué)質(zhì)量。如何真正做到在不加重學(xué)生負(fù)擔(dān)的前提下，提高教學(xué)質(zhì)量？ 這應(yīng)該成為每一位數(shù)學(xué)教師的追求。

以教材例題習(xí)題為依托進(jìn)行變式教學(xué)，組織學(xué)生深層研究與拓展發(fā)散，是對教材再創(chuàng)造的一種形式，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效途徑，同時(shí)也是提高單位時(shí)間內(nèi)教學(xué)效率、減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)的一種行之有效的教學(xué)方法。