芻議線性規劃中的一些解決策略

江蘇省南京田家炳高級中學 曾榆茗

芻議線性規劃中的一些解決策略

江蘇省南京田家炳高級中學 曾榆茗

提到線性規劃，不少同學認為這類題目較為基礎、簡單，一旦出現此類題目，分數便是囊中之物。然而，一旦題目稍有一些刁難，不少同學便會掉進陷阱中，接下來，我們來談一談線性規劃中常見的一些模型以及各類模型相對應的解決策略。

一、“X+Y”模型

例 1 已 知 等 差 數 列 {an}中， 首 項 a1＞0， 公 差 d＞0， 若a1+a2≤60，a2+a3≤100，則5a1+a5的最大值為_______。

分析：很多同學會產生疑惑，數列的題目和線性規劃有什么關聯？但是當我們開始嘗試解答時，我們就會發現其中的道理。

解：由題意，∵a1+a2≤60， a2+a3≤100且{an}為等差數列，a1＞0，d＞0，

∴2a1+d≤60，2a1+3d≤100，a1＞ 0，d＞0，

令 a1=x， d=y，

我們可以畫出可行域：

∴當6x+4y=t經過D（20，20）時，t的最大值為200。

∴5a1+a5的最大值為200。

總結：通過這一題，我們可以發現線性規劃不僅適用于函數問題，同時在數列問題上也有它們的影子，而所謂的“X+Y”模型的線性規劃通常是直接寫出它們的表達式，畫出它們的可行域進行求解。

二、“XY”模型

例2 在正項等比數列{an}中，若a1≥1，a2≤2，a3≥3，則a4的取值范圍是_________。

分析：有了例1的經驗，我們很容易根據題目條件得到下列關系：解∵a1≥1，a2≤2，a3≥3，

∴a1≥1，a1·q≤2， a1q2≥3。

令a1=x q=y，

∴目標函數：xy3=t。

到了這一步應該都沒有什么問題，但是接下來許多同學就開始不知所措了，因為我們無法準確地畫出可行域，但是根據例1，我們能得到一些啟發：雖然我們不會畫關于“XY”模型的圖象，但是我們可以想辦法將我們不熟悉的模型轉化為我們熟悉的模型，也就是說將“XY”模型轉變為“X+Y”模型再進行解答，所以我們想到了左右同時取對數進行求解。

解：∵a1≥1，a2≤2，a3≥3，

∴a1≥1，a1·q≤2， a1q2≥3。

令a1=x q=y，

將不等式組左右兩邊同時取對數，我們得到

令lnx=m，lny=n，

由此，我們可以畫出它的可行域：

總結：當我們面對關于“XY”模型的線性規劃時，我們通常將我們不熟悉的“XY”模型轉化為我們所熟悉的“X+Y”模型，通常可以采用左右取對數的做法，然后再根據“X+Y”模型畫出可行域進行解答。

分析：有了前兩題的經驗，對于這道題我們很容易上手：

解：∵5c-3a≤b≤4 c-a，

∴令b為y，a為x，

我們可以畫出可行域進行求解，但面對clnb≥a+clnc這樣的條件，我們很容易轉化為但是下面許多同學就無法繼續進行了，因為我們得到的條件與我們所要求的條件并沒有什么太大的關聯，但是，當我們細心觀察，我們還是可以發現其中的突破口：因為題目要求的是但是我們的條件是關于的，而因此我們可以

解：∵5c－3a≤b≤4c-a，∴令b為y，a為x，

我們可以畫出可行域：

∴ lny≥ x。

∴ y≥ ex，x ∈

通過今天的學習，我們會發現小小的線性規劃也會有千變萬化的題目，但只要我們掌握了其中的方法，將三種模型的解題思路牢記于心，所有的題目都可以迎刃而解！