構造特殊三角形，巧解向量客觀題

曹志棟

【摘要】平面向量解決三角形問題可以讓學生深刻體會到向量在幾何中的作用.本文就向量問題的解決方法幾何法、坐標法、基底法解決三角形問題做以探討.

【關鍵詞】構造；特殊三角形；平面向量；客觀題

平面向量的運算性質使其具有數的屬性、其可度量性又使其具有幾何特征，所以平面向量具有數形二象性，所以它也在數與形之間作為一個“中間人”的角色，起著橋梁作用.三角形是我們認識過程中所接觸到的第一個封閉圖形，并且其他平面圖形都可看作是三角形的衍生物，幾何度量中的角度、長度、面積等都可通過三角形來達到深刻認識，三角形也就成了高中數學各板塊知識的戰場，平面向量也不例外，用平面向量解決三角形問題可以讓學生深刻體會到向量在幾何中的作用，用平面向量來解決三角形問題，在三角形問題中考查向量的應用，也就成了高考試題中的常客.

向量問題的解決無非三種：幾何法、坐標法、基底法.而用坐標法解決向量問題首先是要建立合適的平面直角坐標系，坐標系建立的好壞決定運算的繁與簡，我們最好使得幾何圖形的頂點都置于坐標軸上，這在一般的三角形中比較難以辦到，而客觀題的問題特征使得我們可以構造特殊圖形來解答，我們可以構造符合條件的等腰三角形、直角三角形等特殊三角形，使得我們能更容易建立坐標系，然后通過坐標解決向量問題與幾何問題.本文將就此做以探討.

1.已知P為△ABC所在平面上的一點，且滿足AP=15AC+25AB，則△APB的面積與△PAC的面積之比為.

解析本題若用常規方法，則需要根據平行四邊形法則找到點P的位置，然后根據相似三角形分析出B點與C點到線段AP的距離之比，學生在解決的過程中感覺很困難.但若是構造特殊三角形：等腰直角三角形，就會簡單很多.如下述解法.

解構造如圖的等腰直角三角形ABC，并且令AB=5，并建立如圖的平面直角坐標系，則A（0，0），B（5，0），C（0，5）.由AP=15AC+25AB可得P（2，1），而△APB的面積與△PAC的面積之比為即為P點的縱坐標與橫坐標之比，即為1∶2.

2.已知P是△AOB所在平面上的一點，向量OA=a，OB=b，且P點在線段AB的垂直平分線上，OP=c，若|a|=2，|b|=1，則|c·（a-b）|=.

解析構造如右圖的Rt△AOB，令|OA|=2，|OB|=1，直線l為線段AB的垂直平分線，取P點為AB的中點，并建立如圖所示的平面直角坐標系，則A（2，0），B（0，1），P1，12，則c=1，12，a-b=（2，-1），故|c·（a-b）|=32.

3.在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，BC=10，則 AB·AC=.

解析由BM=5，AM=3，聯想到勾股數，令AB=4，構建如右圖的三角形并建立平面直角坐標系，則A（0，0），B（4，0），M（0，3），則C（-4，6），故AB·AC=-16.

本題也可構造以BC為底邊的等腰三角形ABC，然后建立平面直角坐標系，則C（5，0），B（-5，0），A（0，3），則AB=（-5，-3），AC=（5，-3），所以AB·AC=-16.

但要注意不能構造以∠A為直角的直角三角形，此時不滿足直角三角形的性質：“直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半”，需提醒學生構造三角形時，所構造的三角形必須要滿足題目條件.

4.已知△ABC中，角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，且滿足5a2=b2+c2，BE與CF分別為邊AC，AB的中線，則BE與CF夾角的余弦值為.

解析如右圖所示，構造等腰三角形ABC，令a=2，b=c=10，并構建如右圖所示的平面直角坐標系，則B（-1，0），

C（1，0），A（0，3），由此得到E12，32，F-12，32，所以BE=32，32，CF=-32，32，故BE·CF=0.

所以BE與CF夾角的余弦值為0.

評析：學生再用常規方法去做時找不到思路，找不到突破口，顯然構造特殊三角形，將兩條直線夾角問題轉化為向量的夾角問題是比較簡單的.但是也要提醒學生檢驗所構建三角形是否符合條件，在教學中筆者發現有學生構造直角三角形ABC，但這顯然不滿足條件.endprint