歸納與類比是發(fā)現(xiàn)的重要工具

蔣夏軍

【摘要】歸納與類比不但是形式邏輯的重要思維方法，而且也是數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)教學(xué)方法的重要思維方式.歸納是發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)，類比是發(fā)現(xiàn)的源泉，它們是教學(xué)中發(fā)現(xiàn)的重要工具.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思維方式；數(shù)學(xué)教學(xué)方法

歸納與類比不但是形式邏輯的重要思維方法，而且也是數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)教學(xué)方法的重要思維方式.同時(shí)在科學(xué)研究中，也是發(fā)現(xiàn)真理的重要工具.歸納、類比具有創(chuàng)造性.通過它們得到的猜想，可以作為進(jìn)一步研究的起點(diǎn)，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題.

一、歸納是發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)

首先，歸納是根據(jù)特殊數(shù)量關(guān)系推斷出一般的數(shù)量關(guān)系，故由歸納所得結(jié)論超越了前提所包含的內(nèi)容，它有發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)；其次，歸納所得的結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì)，常需用證明來(lái)完成；第三，由于歸納的前提是單個(gè)的，所以歸納是建立在觀察、經(jīng)驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)的基礎(chǔ)上，有發(fā)現(xiàn)真理的認(rèn)知論意義，有具體到抽象的認(rèn)知功能.

在數(shù)學(xué)教學(xué)方法論中，由24+4=20與34+4=85都是合數(shù)，由于“人生有限，數(shù)目無(wú)窮”，可歸納出一般規(guī)律：當(dāng)整數(shù)n>1時(shí)，形如n4+4的數(shù)都是合數(shù).然后再進(jìn)行一般性證明：n4+4=（n2+4）2-（2n）2=（n2+2+2n）（n2+2-2n）.

數(shù)學(xué)王子高斯說(shuō)：“在數(shù)論中由于意外的幸運(yùn)頗為經(jīng)常，所以用歸納法可萌發(fā)出極漂亮的新真理.”

求一個(gè)自然數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)之關(guān)鍵是將這個(gè)自然數(shù)分解質(zhì)因數(shù)：24=23×3，24的約數(shù)個(gè)數(shù)是（3+1）（1+1）=8個(gè)；200=23×52，200的約數(shù)個(gè)數(shù)是（3+1）（2+1）=12個(gè)，由歸納可發(fā)現(xiàn)求任何自然數(shù)a=Pa11Pa22…Pann的約數(shù)個(gè)數(shù)（用T（a）表示）T（a）=（a1+1）（a2+1）…（an+1）.當(dāng)然其一般性還需證明.

如果自然數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)公式知道了，那么如何求自然數(shù)的所有約數(shù)的乘積呢？任用歸納發(fā)現(xiàn)：6=2×3有T（6）=4個(gè)約數(shù)：1，2，3，6.用P（6）表示6的全部約數(shù)的乘積，P（6）=36，而6T（6）=36.若再觀察、實(shí)驗(yàn)便得一般抽象的規(guī)律：自然數(shù)a=Pa11Pa22…Pann的一切正約數(shù)的乘積P（a）=aT（a）.

若不了解一般規(guī)律的證明方法，則仍可采用歸納的方法發(fā)現(xiàn)：6的四個(gè)約數(shù)既是1，2，3，6，又可寫成61，62，63，66，則1×2×3×6=6×6×6×61×2×3×6，可推出（1×2×3×6）2=64，得到P（6）=6T（6）.前面發(fā)現(xiàn)的一般規(guī)律可證明如下：令di是a的任一正約數(shù)，則adi也是a的正約數(shù)，a的一切正約數(shù)的乘積P（a）=d1d2…dT（a）=ad1·ad2…adT（a），推出（d1d2…dT（a））2=aT（a）.最后得P（a）=aT（a）.

歸納的類型有不完全歸納法、完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法，本文只介紹不完全歸納法.由于歸納所得結(jié)論不一定是真理，所以有舉反例的說(shuō)法.費(fèi)爾馬曾經(jīng)考查過22n+1型的數(shù)，叫作費(fèi)爾馬數(shù)，當(dāng)n=1，2，3，4時(shí)，費(fèi)爾馬數(shù)都是質(zhì)數(shù).但是歐拉證明了第5個(gè)費(fèi)爾馬數(shù)225+1=37×641卻是個(gè)合數(shù).由數(shù)學(xué)教學(xué)方法論，教給學(xué)生舉反例是一種訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的好形式.

為什么說(shuō)歸納是發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)呢？我們從特殊的、具體的數(shù)量關(guān)系發(fā)現(xiàn)一般的、抽象的規(guī)律，正是數(shù)學(xué)教學(xué)的一條基本原則，即具體與抽象相結(jié)合.“特殊性寓于一般性之中”，一個(gè)具體特殊的數(shù)量關(guān)系不足以說(shuō)明一般抽象的、我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律性，但無(wú)數(shù)個(gè)具體特殊的數(shù)量關(guān)系可抽象出我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.

二、類比是發(fā)現(xiàn)的源泉

首先，類比是以舊有的認(rèn)知為基礎(chǔ)，喻出新的結(jié)果；其次，它是從一種事物的特殊屬性推測(cè)出另一種事物的特殊屬性；第三，類比的結(jié)果是猜測(cè)性的，不一定是真理，但它卻有發(fā)現(xiàn)的功能.類比可分為嚴(yán)格的類比與不嚴(yán)格的類比，縱向類比與橫向類比，其中縱向類比又分為結(jié)構(gòu)類比、降維類比和簡(jiǎn)化類比.

如下題：已知a，b，c，d均為自然數(shù)，且a+b+c+d=9，試證a3+b3+c3+d3≠100.若不會(huì)證明，則可以構(gòu)造一個(gè)比較簡(jiǎn)單的類比問題（即降維類比或簡(jiǎn)化類比）：若a，b，c均為自然數(shù)，且a+b+c=5，試證a2+b2+c2≠14.

對(duì)于這個(gè)簡(jiǎn)化類比問題，可用反證法來(lái)證明：若a2+b2+c2=14，則a2+b2+c2-（a+b+c）=14-5=9，即（a2-a）+（b2-b）+（c2-c）=9，可化為a（a-1）+b（b-1）+c（c-1）=9.由于等式左邊的三項(xiàng)均為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，當(dāng)然能被2整除，但右邊的9不能被2整除，由此推出矛盾.這個(gè)矛盾說(shuō)明a2+b2+c2≠14.如果利用簡(jiǎn)化類比問題的操作、方法和思想來(lái)證明原來(lái)的問題，并不是困難的事.

由于類比是發(fā)現(xiàn)的源泉，可用類比發(fā)現(xiàn)更多的數(shù)學(xué)規(guī)律性：

若a，b，c，d，e均為自然數(shù)，且a+b+c+d+e=14，試證a5+b5+c5+d5+e5≠1 000.

波利亞說(shuō)：“得知許多類似情況的類比結(jié)論比得自較少情況的類比結(jié)論更強(qiáng)，但是這里質(zhì)量仍然比數(shù)量更為重要.清晰的類比模糊的相似更有價(jià)值，安排有序的例子比隨意收集的情況更能說(shuō)明問題.”

三、歸納與類比是教學(xué)中發(fā)現(xiàn)的重要工具

為了培養(yǎng)開拓、創(chuàng)新型人才，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要大膽地使用歸納與類比發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

如，如果方程ax2+bx+c=0的兩根之比為2∶3，求證：6b2=25ac.

對(duì)于這道題如果教師用歸納、類比的思維方式，可以得到一系列新的發(fā)現(xiàn).變1：如果方程ax2+bx+c=0的兩根之比為5∶7，求證35b2=144ac.變2：如果方程ax2+bx+c=0的兩根之比為m∶n，求證mnb2=（m+n）2ac.

如果使用特殊思維方式，還可得出：變3：如果方程ax2+bx+c=0的兩根相等，求證b2=4ac.

由于條件b2=4ac與此方程的兩根相等是充分必要條件，還有一系列規(guī)律.變4：試證方程ax2+bx+c=0的兩根之比為m∶n的充要條件是mnb2=（m+n）2ac.

在數(shù)學(xué)教學(xué)方法論中，歸納發(fā)現(xiàn)、類比聯(lián)想所得結(jié)論是成串的，它兼有思維、認(rèn)知、創(chuàng)造、發(fā)明的功能，而且有利于培養(yǎng)創(chuàng)造性人才.它有“發(fā)現(xiàn)真理”和“證實(shí)真理”的雙重意義.endprint