導(dǎo)函數(shù)的特殊性質(zhì)分析

何偉

【摘要】數(shù)學(xué)是我國(guó)教育事業(yè)中最為重要的學(xué)科之一，在許多領(lǐng)域都需要數(shù)學(xué)對(duì)某些參數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，因此，數(shù)學(xué)是一門對(duì)社會(huì)各領(lǐng)域的發(fā)展有著重要意義的學(xué)科.對(duì)于數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，最難的部分在于如何做好前期的學(xué)習(xí)工作，前期的學(xué)習(xí)工作是打牢基礎(chǔ)的重要環(huán)節(jié)，直接影響著后續(xù)學(xué)習(xí)工作的質(zhì)量，導(dǎo)函數(shù)作為數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)部分，是學(xué)習(xí)過(guò)程中較為重要的內(nèi)容.本文主要分析導(dǎo)函數(shù)的特殊性質(zhì)，對(duì)于學(xué)生加深對(duì)導(dǎo)函數(shù)的理解有著較為巨大的實(shí)際意義.

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)函數(shù)；特性分析；具體應(yīng)用

一、引言

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中研究導(dǎo)函數(shù)的特殊性質(zhì)，其方法就是將導(dǎo)函數(shù)的特殊性質(zhì)以及實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，通過(guò)解決實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)闡釋導(dǎo)函數(shù)的特殊性質(zhì).[1]通過(guò)研究導(dǎo)函數(shù)的特殊性質(zhì)，學(xué)生可以更輕松地解決綜合性較強(qiáng)的函數(shù)問(wèn)題，因此，研究導(dǎo)函數(shù)的時(shí)候不僅要把握其作為函數(shù)的本質(zhì)，更重要的是要重視導(dǎo)函數(shù)的特殊性質(zhì).

二、導(dǎo)函數(shù)的特殊性質(zhì)分析

（一）導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性

如果函數(shù)在某一點(diǎn)是連續(xù)的，并且在該點(diǎn)的鄰域范圍內(nèi)均存在導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)的極限值趨向于常數(shù)c，假設(shè)該點(diǎn)為x0，那么函數(shù)在x0處一定可導(dǎo)，這時(shí)候可以說(shuō)明導(dǎo)函數(shù)在x0的鄰域內(nèi)是連續(xù)的.[2]相比于普通函數(shù)來(lái)說(shuō)，導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性可以通過(guò)極限的存在來(lái)確定，而普通函數(shù)則不能夠保證在存在極限的情況下一定是連續(xù)的，主要是因?yàn)槠胀ê瘮?shù)在某一點(diǎn)存在極限可能意味著函數(shù)在該點(diǎn)處沒(méi)有定義或者函數(shù)值不同于極限值.

根據(jù)上述內(nèi)容，可以推論出關(guān)于導(dǎo)函數(shù)連續(xù)性的更多特殊性質(zhì).

如果在a

（二）導(dǎo)函數(shù)的介值性質(zhì)

通過(guò)研究導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性可以發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)函數(shù)一旦不連續(xù)那么肯定就會(huì)圍繞函數(shù)值而振蕩，因此，導(dǎo)函數(shù)無(wú)論是否連續(xù)，都具備介值性質(zhì)，實(shí)質(zhì)就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值應(yīng)該與導(dǎo)函數(shù)的值域具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.

關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的介值性質(zhì)，數(shù)學(xué)教材中給出了這樣一個(gè)定理：假設(shè)函數(shù)f（x）在任一區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，x1，x2是區(qū)間內(nèi)的任意兩點(diǎn)，并且函數(shù)在x1處的導(dǎo)數(shù)值與x2處的導(dǎo)數(shù)值異號(hào)，那么在（a，b）這一區(qū)間內(nèi)一定存在某一點(diǎn)，在該點(diǎn)處函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值為0.[4]通過(guò)這一定理可以引出對(duì)導(dǎo)函數(shù)介值性質(zhì)的分析，也就是導(dǎo)函數(shù)的介值定理：假設(shè)函數(shù)在任一區(qū)間（a，b）內(nèi)是可導(dǎo)的，那么導(dǎo)函數(shù)的值一定是上確界M與下確界m之間的某一數(shù)值.通過(guò)導(dǎo)函數(shù)的介值定理，可以得到導(dǎo)函數(shù)具有回歸性這一特質(zhì)，如果導(dǎo)函數(shù)是連續(xù)的，那么導(dǎo)數(shù)值一定是存在的，即使導(dǎo)函數(shù)不是連續(xù)的，那么導(dǎo)函數(shù)在振蕩的過(guò)程中也是在逐漸接近導(dǎo)數(shù)值.

導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性以及介值性質(zhì)是導(dǎo)函數(shù)最重要的特殊性質(zhì)，在學(xué)習(xí)導(dǎo)函數(shù)的過(guò)程中，必須要重視對(duì)這兩個(gè)重要特質(zhì)的學(xué)習(xí)與思考，通過(guò)解決實(shí)際的數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)加深對(duì)該特質(zhì)的理解與認(rèn)知.在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，做題是學(xué)生們最基本的學(xué)習(xí)方式，能夠幫助學(xué)生將數(shù)學(xué)中的各種定理、推論通過(guò)做題來(lái)進(jìn)行論證，既保證了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，又保證了學(xué)生對(duì)于各種定理、推論的靈活應(yīng)用.因此，導(dǎo)函數(shù)的特殊性質(zhì)需要學(xué)生們通過(guò)習(xí)題練習(xí)的方式做到熟悉并理解，導(dǎo)函數(shù)的學(xué)習(xí)是整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中較為基礎(chǔ)的部分，只有認(rèn)真理解導(dǎo)函數(shù)的特殊性質(zhì)并靈活應(yīng)用，才能保證后續(xù)的學(xué)習(xí)過(guò)程順利進(jìn)行.[5]

三、結(jié)語(yǔ)

由于數(shù)學(xué)是一門對(duì)學(xué)生要求較高的學(xué)科，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中需要投入極大的精力，因此，從事數(shù)學(xué)教學(xué)的教師要比其他教師付出更多的心血.導(dǎo)函數(shù)是數(shù)學(xué)教學(xué)中比較基礎(chǔ)的部分，也是后續(xù)學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)用較多的部分，學(xué)生在學(xué)習(xí)導(dǎo)函數(shù)這一部分教學(xué)內(nèi)容的時(shí)候，一定要重視對(duì)導(dǎo)函數(shù)特殊性質(zhì)的學(xué)習(xí).這些特殊性質(zhì)是解決實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題的捷徑所在，對(duì)導(dǎo)函數(shù)的特殊性質(zhì)了解程度越深，越能夠快速地找到最簡(jiǎn)單的解決方式.

【參考文獻(xiàn)】

[1]閆彥宗.關(guān)于導(dǎo)函數(shù)分析性質(zhì)的討論[J].高等數(shù)學(xué)研究，2016（05）：34-35.

[2]朱彩蘭.原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)比較[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014（04）：125-127.

[3]王小強(qiáng).導(dǎo)函數(shù)極限和連續(xù)的特殊性及其應(yīng)用[J].長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011（12）：12-13.

[4]海紅.導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用[J].武警學(xué)院學(xué)報(bào)，2009（08）：94-96.

[5]許智勇，趙曾云.關(guān)于導(dǎo)函數(shù)極限的研究[J].武漢科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2006（09）：35-37.