pq階完全群的一個簡明刻畫

蔡琦++余露

【摘要】本文我們利用Sylow定理給出pq階完全群的一個完全分類，其中p，q是素數.

【關鍵詞】完全群；Sylow定理；分類

【基金項目】本工作由國家自然科學基金11561078資助.

一、前言

完全群是群論中一類特殊的群，關于完全群的分類問題，至今尚未完成，也較受關注.完全群中一個著名的問題是由G.A.Miller提出的是否存在奇數階完全群的問題，該問題于1975年被R.S.Dark解決.除此之外，也存在大量已被證明是完全群的例子，如，Wielandt證明了任何一個非交換單群的自同構群是完全群，Holder證明對稱群Sn是完全群（n≥3且n≠6）.在部分國外期刊上，完全群分類問題在解決廣義脈沖方程的精確解、非線性波動方程、時滯微分方程等問題上得到了廣泛的應用.

針對完全群分類問題的研究，國內一些學者也做了很多這方面的工作.在1981年鄭燕生證明了定義在Galois域上的某一類上三角矩陣在n≥3的情況下，其自同構群是可解完全群[2].查建國于1982年發表的文章中，通過李型群得出一類可解完全群[3]，于1983年發表的論文中，通過對稱群得出另一類完全群[4].1984年任永才將奇數階Abel群全形是完全群的條件推廣到無限Abel群[5].田東代于1994年證明了無限完全群的一個充要條件：G是所有以它為正規子群的大群的直積因子.黃平安于1996年給出了判斷完全群的幾個準則，并得出如下幾個結論：（1）階為p2q（pq都是奇素數）的完全群；（3）不存在階為pqr（p，q，r都是素數）的完全群[6].

本文的目的是確定pq（p，q都是素數）階完全群的分類.我們先利用Sylow定理對pq階群歸類，得到pq階群可分為以下三類：直積Zp×Zp，循環群Zpq和亞循環群Zp∶Zq（其中，p=tq+1）.然后確定這些群的全自同構群，再由完全群的定義確定全體pq階完全群，在此基礎上得到如下結論：

定理pq階完全群只有3次對稱群S3.

為便于描述，下文的p，q都是素數.用Aut（G）表示群G的自同構群，Inn（G）表示群G的內自同構群，Z（G）表示G的中心.

二、預備知識

為了本文結果，以下首先給出完全群以及Sylow定理的描述.

定義1設G是有限群，如果Z（G）=1，且Aut（G）=Inn（G），則稱群G為完全群.

Sylow定理（[1，定理2.2.1、定理2.2.2]）若G是有限群，則G中Sylow-p子群的個數np滿足：

（ⅰ）np≡1（modp），

（ⅱ）np|G，

（ⅲ）任意兩個Sylow-p子群共軛.

根據Sylow定理，顯然可以得到如下兩個簡單的推論：

推論1若p||G|，則G中必含Sylow-p子群.

推論2若P是G中唯一的Sylow-p子群，必為正規子群.

群的分類問題一直都是有限群中的一類基本問題，通常人們在同構的意義下進行分類.此外還涉及群的合成，如，群的商群、直積、半直積等擴張，這樣的表示方式有助于深化我們對有限群本身的理解.本文也不例外，除了構建pq階有限群與剩余類加群的同構外，還需要借助一定的直積以及半直積分解.

下面將給出直積分解的概念[1]：

定義2群G稱為其子群N，H的直積，如果滿足：

（1）NG，HG；

（2）G=NH；

（3）N∩H=1.

此時記為G=N×H.

為了便于本文討論，下面給出兩個與交換群相關的引理：

引理1（[1，定理1.3.12]）階為p2的群必為交換群.

引理2（[1，定理1.4.7]）交換群可分解為若干循環子群的直積.

以下給出半直積（可裂擴張）的定義：

定義3（[1，定理3.3.9]）假設N和H是兩個群，若存在一個同態映射α：H→Aut（N），則利用N，H和α，可定義一個新群G如下：G={（a，x）|a∈N，x∈H}，

G中乘法定義為（a，x）（b，y）=（abα（x）-1，xy）.

G稱為N和H的半直積，也記為G=N∶H.

顯然G=N∶H的充要條件是G=NH，N∩H=1，NG，H≤G.

最后，引理3、引理4給出下文將涉及的剩余類理論的相關知識：

定義4設m是正整數，r是整數，若r模的m階等于f（m），則稱r是模m的一個原根（其中，f（m）是歐拉函數）.

引理3將Zp視為模p（p是素數）的剩余類時，必存在原根r，使得r關于乘法可以生成Zp的簡化剩余類，即〈r〉=（Zp，·），其中Zp=Zp＼{0}.

引理4若ab≡0（modp），有b≡0（modp-1）；

若ab≡0（modp），有a≡0（modp）或b≡0（modp）.

三、主要結果的證明

現對pq階群進行分類.

若p=q，由引理1及引理2知G可分類為Zp2或Zp×Zp.

令p≠q，由推論1知有p階子群N≌Zp和q階子群H≌Zq，則G=NH且N∩H=1.

令G中p階子群的個數為np，q階子群的個數為nq，則由Sylow定理知：

np|q，np≡1（modp）， 且nq|p，nq≡1（modq）.

不妨令p>q，則有np=1，

此時NG，

若HG，則G=N×H≌Zp×Zq=Zpq.

若HG，

令N=〈a〉，H=〈b〉，b-1ab=ak，

則akq=（b-1）qabq=a，

akq-1=1，

kq≡1（modp），

q|p-1.

故有p=tq+1，

此時G≌Zp∶Zq.

故G可分類為Zp×Zq，Zpq和Zp∶Zq（其中，p=tq+1）.

Zp×Zq，Zpq是交換群，不可能是完全群.故只需討論Zp∶Zq（其中，p=tq+1）中完全群的情形.

下面定理給出了群Zp：Zq的自同構群.

定理群G=Zp∶Zq的自同構群Aut（G）=Zp∶Zp-1.

證明令r是p的原根，定義：

σ：a→ar，b→b，

τ：a→a，b→ab.

顯知〈σ〉≌Zp-1≤Aut（G），〈τ〉≌Zp≤Aut（G），

aσ-1τσ=a，bσ-1τσ=bτr，bτ-1σσ=a1-rb=bτ1-r.

知〈τ〉〈σ，τ〉，〈s〉〈s，t〉，

又〈σ〉∩〈τ〉=1，有Zp∶Zp-1≌〈σ，τ〉≤Aut（G）.

下證Aut（G）=Zp∶Zp-1，事實上，

若有ε∈Aut（G），

由〈a〉charG，G＼〈a〉中只有q階元.

故可令ε：a→ars，b→aibj，

若j≡1（modq），則ε=σsτi∈〈σ，τ〉；

若j≡1（modq），必存在l∈Zp使τl：a→a，bj→a-ibj.

此時ετl：a→ars，b→bj，

則ετlσp-s-1：a→a，b→bj，

此時ak=b-1ab=（b-1ab）ετlσp-s-1=b-jabj=akj

k（kj-1-1）≡0（modp）kj-1≡1（modp）

j≡1（modp-1）≡1（modq）.

與j≡1（modq）矛盾，故有Aut（G）=Zp∶Zp-1，證畢.

由完全群的定義，G是完全群必有

Aut（G）=Inn（G）≌G，

結合定理則有p（p-1）=|Zp∶Zp-1|=|G|=pq

p=q+1，

而p，q是素數，有p=3，q=2.

顯然Z3∶Z2=D6=S3是完全群，故S3是唯一的pq階完全群.

【參考文獻】

[1]徐明耀.有限群導引（上）[M].北京：科學出版社，1987.

[2]鄭燕生，柳放，楊德榮.一類有限階可解完全群[J].數學研究與評論，1981（2）：7-20.

[3]查建國.由李型群得出的一類可解完全群[J].數學雜志，1982（1）：11-22.

[4]查建國.從對稱群得出的一類完全群[J].中國科學技術大學學報，1983（1）：29-38.

[5]任永才.論完全群的一個定理及其推廣[J].四川大學學報（自然科學版），1984（2）：25-29.

[6]黃平安.關于完全群的幾個準則[J].長沙電力學院學報（自然科學版），1996（1）.