淺談矩陣的運算

吳惠仙

【摘要】矩陣是線性代數(shù)最基本的工具，也是工科專業(yè)后繼課程的常用工具，但對于剛進大學校園的學生來講是個無比抽象的概念，特別是對它的運算感覺從天而降、莫名其妙.本文從與數(shù)的運算做比較來理解矩陣的幾個主要運算.

【關鍵詞】矩陣；逆矩陣；分塊矩陣

一、引言

線性代數(shù)是大學理、工、經(jīng)管、醫(yī)、農(nóng)等學科所有專業(yè)必修的一門重要數(shù)學基礎課.而矩陣是線性代數(shù)最基本的概念，也是最重要的工具.只要把矩陣的運算、矩陣的分塊、矩陣的初等變換與矩陣的秩等都弄懂了，線性代數(shù)就學好了一大半.而作為一名剛進入校園的大一學生，對線性代數(shù)，感覺很是困惑，就會問教師：矩陣究竟是什么東西？矩陣的乘法規(guī)則為什么這樣定義？矩陣到底有什么用？……一系列問題.我們都說“矩陣是線性空間里的變換的描述”“矩陣是線性空間里躍遷的描述”等，這些說法對大一的本科生來講未免過于抽象.至于矩陣的應用有多廣，等他們學了后繼課程自然也能明白.本文主要從矩陣與實數(shù)的比較來理解矩陣的運算.

二、矩陣的運算與數(shù)的運算

我在上課時常常跟學生說，矩陣其實就是數(shù)的推廣，其中一行一列的矩陣就是數(shù).所以矩陣這個用括號括起來的數(shù)表，本身沒有任何意義，只不過是個符號罷了.如同數(shù)字“1”本身也沒有任何意義，但它可以表示一根粉筆、一本書、一個教室等，不同的場合有不同的含義，正因為如此，才體現(xiàn)出了“數(shù)”的重要性和使用的廣泛性.矩陣也一樣，只不過比“數(shù)”更高級一點，使用的范疇也更高深一些，中學課程用不到，但在大部分工科專業(yè)的后繼課程都會有所接觸.

下面我們從與數(shù)的運算做比較來理解矩陣的幾個主要運算.

1.矩陣的線性運算.包括矩陣的加法與數(shù)乘運算.這兩種運算很簡單，加法就是兩矩陣對應位置的元素相加，數(shù)乘是矩陣的每個元素都乘這個數(shù)，所以這兩種運算與數(shù)的加法、乘法相比差異不大，只是量的增多而無質(zhì)的變化，從而線性運算的八條運算法則也容易被學生接受.

2.矩陣的乘法.乍一看會顯得很不自然，讓學生們難以接受.這時我們講完乘法定義后，需要先舉幾個簡單的例子讓學生們熟練熟練，這個乘法到底是怎么算的.順便得到矩陣乘法不滿足的幾個常見的運算規(guī)則（如，交換律、消去律、含零因子，這幾條在以后需要反復強調(diào)）.到這時學生們心里會更納悶了，既然這樣為什么還要這樣定義乘法，像加法似的相應位置的元素相乘不是很方便？所以，接下來我們需要舉幾個例子說明下這樣定義乘法的意義，如，前面一直出現(xiàn)的線性方程組用矩陣乘法怎么表示，兩個線性變換的和如何用矩陣的乘法來表示，等分塊矩陣講了后更能體現(xiàn)矩陣乘法的便利.

3.逆矩陣運算.引進逆矩陣實質(zhì)上是希望在某些方陣中可以做除法，其方法是類似數(shù)中的倒數(shù)的概念.我們做如下比較：

（1）方陣A可逆|A|≠0（數(shù)中：a有倒數(shù)a≠0）.

（2）設A為可逆矩陣（|A|≠0），且AB=0，則B=0（設a≠0，且ab=0，則b=0），即沒有零因子.

（3）設A為可逆矩陣（|A|≠0），且AB=AC，則B=C（設a≠0，且ab=ac，則b=c），即消去律成立.

（4）設A為可逆矩陣（|A|≠0），則AX=B有唯一解 X=A-1B（設a≠0，則ax=b有唯一解x=a-1b），即含可逆矩陣的矩陣方程可解.

（5）設0為n階零矩陣，E為n階單位矩陣，則對任意n階方陣A有A0=0A=0，AE=EA=A（對任意數(shù)a滿足a0=0a=0，a1=1a=a），即零矩陣與單位矩陣在矩陣乘法中的特殊性.

注：矩陣只有逆矩陣運算而沒有除法運算，因為矩陣不滿足交換律，不然AB=A-1B還是AB=BA-1.

4.分塊矩陣的乘法運算.分塊矩陣的線性運算與轉(zhuǎn)置運算很簡單，重點與難點是分塊矩陣的乘法.但分塊矩陣的乘法非常有用，等學了向量這一章后，更能體現(xiàn)出矩陣分塊的便利.分塊矩陣的乘法關鍵有兩點：分塊前，前矩陣的列數(shù)與后矩陣的行數(shù)相同；分塊后，前分塊矩陣的列數(shù)與后分塊矩陣的行數(shù)相同.只要滿足這兩個條件就可以隨便分塊（當然盡量為了運算方便），其中最常見的是按行分塊與按列分塊，因為按行或按列分塊后，得到的子塊是向量，就可以與后面的向量知識點相結(jié)合.

三、總結(jié)

矩陣的運算，特別是矩陣的乘法與矩陣的分塊，對于大一學生來講很難理解，但只要掌握了以上幾點，對學習線性代數(shù)就能達到事半功倍的效果.

【參考文獻】

[1]陳維新.線性代數(shù)簡明教程[M].第2版.北京：科學出版社，2001.

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