“代數運算”概念的理解

馮玉明

【摘要】本文通過嘗試用簡潔的語言為初學“抽象代數”的學者講解“代數運算”的概念，通過三個例子解釋了“代數運算”的定義以及與“四則運算”的關系.

【關鍵詞】代數運算；二元運算；概念

一、引言

“抽象代數”課程中的“代數運算”的定義看起來比較簡單，但是對于初學者來說，不太容易理解，本文嘗試用比較淺顯的例子來對這個概念加深理解.

二、“代數運算”的定義

本文中的A，B，D指的是三個集合.

定義1[1]一個A×B到D的映射叫作一個A×B到D的代數運算.

從定義知道，一個“代數運算”就是一個特殊的映射.我們先看下面的例子.

例子1A×B={（1，2），（3，4）}，D={3，7}，定義映射f：A×B→D為

（1，2）→3，（3，4）→7，

也就是f（1，2）=3，f（3，4）=7.

那么，很顯然，這樣定義的映射f是一個從A×B到D的代數運算.

例子2A，B，D的定義和例子1中一樣，定義映射+：A×B→D為

+（1，2）=3，+（3，4）=7.

對照例子1，這種寫法是合理的，這其實就是我們熟知的映射的寫法.

其實，由于“代數運算”是一種特殊的映射，我們習慣用特殊的符號來描寫它，例子2中的符號就比較特殊，其實，就是我們的普通加法，一般我們習慣寫為1+2=3，而不是+（1，2）=3.

通過上面的分析，我們可以知道普通的加法、減法、乘法、除法其實都是一種特殊的映射——“代數運算”，我們通常說的“四則運算”就來源于此.

再看下面這個比較抽象的例子.

例子3A，B，D是三個集合，定義：A×B→D為

（a，b）→d，

也就是d=（a，b）.

上面說過（a，b）只是一種符號，表示元素（a，b）在映射 下的象.以后，我們都習慣性寫作a b，而不再寫為（a，b）.

三、“二元運算”的定義

定義2假如 是集合A×A到A的代數運算，我們就說 是集合A的二元運算，也說集合A對于代數運算 來說是閉的.

通過上面的定義我們知道，“二元運算”是特殊的“代數運算”，也是特殊的映射.我們通常說的，實數上的加法是閉的，就是指加法是R上的“二元運算”，也就是加法是R×R到R上的一個映射.

通過以上分析，現在我們可以說，實數集上的加減乘數“四則運算”是實數集上的“二元運算”，也明白了“實數集對于四則運算來說是閉的”的含義.

四、結語

本文通過舉例，詳細分析了“代數運算”“二元運算”的含義，希望能為初學“抽象代數”的學者貢獻一分力量.

【參考文獻】

[1]張禾瑞.近世代數（修訂本）[M].北京：高等教育出版社，1978.endprint