數學難點教學之我見

周忠武

【摘要】首先，本文對當前數學教學中對數學難點教學處理中存在的兩種“極端方式”及其弊端進行分析；然后，結合兩個具體案例對這兩種方式存在的不合理因素加以說明；最后，對數學教學難點的教學給出幾點具體的實施建議.

【關鍵詞】數學教學；難點；思維發展；認知障礙

一、數學教學難點

數學教學的難點一般是指學生不易理解和接受的知識，或不易掌握的技能技巧，其本質是數學任務的加工認知障礙.按照維果斯基“最近發展區”理論分析，如果學生已有發展水平與教學要求之間的矛盾比較突出，這時的教學要求就成為教學的難點.[1]

在維果斯基提出的“最近發展區”理論中指出：學生的發展水平有現有水平和潛在水平兩種水平，兩種水平之間的差距就是學生的最近發展區，同時維果斯基還指出這個差距是動態的.所以，我們的教學要以“最近發展區”為基礎，走在學生發展的前面，設置適當的認知障礙，使學生在通過自己主動努力的探索后，達到認知發展的潛在水平，從而發展學生數學思維水平，培養學生數學能力.

然而在當前的數學教育中，數學教師處理數學難點的方式方法卻逐漸地走向了兩個極端，其一是視而不見，其二是過度弱化數學難點.兩種極端都會產生不良影響，下面筆者就針對這兩種極端談談自己的觀點.

第一，教學中不重視數學難點，對數學難點視而不見，沒有引導學生自主地突破數學難點的意識，甚至不相信學生具備解決難點的能力.于是采用一種極其野蠻的方式——視而不見，跳過數學難點的講解，最后學生在數學難點面前只知其然，而不知其所以然.學生不知道該如何去思考解決問題的方法，思維無法鍛煉，能力難以提升，久而久之則更容易造成難點積少成多，以至于在后繼的學習中困難重重.

第二，教學中過度追求簡單，教師以自己的方式將難點化簡切碎了，再將化簡之后的現成的數學知識與技能用平淡的方式“喂”給學生，學生最后輕易地“掌握”了被教師切碎后的“難點”，這一過程看似達到了學生理解該知識難點的目標，實則忽視了學生自身思維的發展以及在數學學習中的主體地位，能力同樣無法提升.學生在完成學習任務后仍處于原有的數學能力水平，長此以往更容易使學生產生思維和學習的惰性和依賴性.

在筆者看來，首先，難點是區分學生學習成績差異的分水嶺，是提升學生數學思維水平和發展想象力、創造力的機遇.作為教師，我們不能忽視難點對學生學習和發展的重要性.此外，難點也是影響課堂教學的有效性的關鍵因素之一，在數學難點的教學中，應該充分尊重學生的主體地位，盡可能地引導學生進行自主探索，突破知識點障礙，而不是用教師自身的思維代替學生的思維.下面筆者分別以一道數學練習和一個數學概念為例，試著對數學難點進行分析.

二、例談數學習題教學中的難點教學

教師在如此給出這道問題的解答過程后，偶爾還會重點強調一下，我們在數學解題的時候對代數式進行加一個數和減一個數是常用的技巧之類的話語.至于為什么在整個式子前面先要加“1”，然后再減“1”？為什么加和減的數字是1，而不是其他數字？教師不做過多講解，甚至無法講解.整個教學環節看似教師達到了解決問題、突破難點的目標，學生似乎也在為學會了一種新的解決問題的技巧和套路而驚喜.但是我們回過頭來細想，在整個教學環節結束后，學生到底學到了什么？教師是否真正有效啟發了學生的思維？學生的思維能力真正得到了提高嗎？是否真正讓學生的“最近發展區”得到發展？

我們都知道數學解題教學的難點在于對解題思路的探尋，但是上述教學環節對解題思路的探索過程卻被蜻蜓點水般的一帶而過，教師甚至強行將自己的思維習慣施加在學生的意識中.的確，如此講解例題可能不會引起學生質疑這種方法的科學性.但是學生心中那隱約存在的疑惑：“為什么要這樣做？我怎么就想不到這種方法？”這些最能提升學生思維能力的教學資源卻被教師的教學忽略了.直接傳授解題模型和套路，看似學生達到了“舉一反三”的水平，實則是“舉三反一”，如此簡單粗暴地對難點視而不見，學生的數學能力其實并未得到提高.

在筆者看來，我們對該題的講解不妨從數學自身發展史這個角度去思考我們的教學.我們知道幾乎所有的數學知識（雖然不是全部知識，但至少是重要的知識）都是由猜想開始然后經過證明或反駁而構成的.數學的歷史也可以說是證明或反駁猜想的歷史.猜想有時由反例否定，有時由新理論給予肯定的證明.[2]面對這道題大多數學生最初都處于一籌莫展的狀態，于是我們可以引導學生進行嘗試和猜想.如何嘗試？如何猜想？如何發現？我們認識事物往往是由事物的部分估計事物的整體，這就是數學思想方法中的歸納推理.東北師范大學史寧中老師也曾經說過：“就人對世界的認識而言，歸納推理是一種比演繹推理更為‘自然的思維模式.”[3]

于是，首先考慮特殊的情況，從特殊到一般，當n=1時，我們可以得出f（1）=1，然后繼續嘗試可以得到f（2）=5，f（3）=23，f（4）=119，f（5）=719，于是這道題就轉化成了一道找1，5，23，119，719，…這些數字規律的數學練習題.或許學生獨自面對這些數字，難以找出規律，但是我們可以發揮學生集體的智慧，讓學生之間相互討論，產生思想的交流和碰撞.高中的學生在經歷多次小學和初中找數字規律的訓練經驗基礎上，會有部分思維活躍的學生知道2，6，24，120，720，…這些數字滿足n！的規律，不難得出答案的猜想應該為（n+1）n！-1.

得出猜想后，如果要使得猜想成立就必須驗證猜想是否成立，是否有意義.我們都知道歸納推理有助于學生發現知識，而演繹推理有助于驗證知識.先通過歸納推理發現命題，再通過演繹推理驗證命題，也符合數學的歷史發展.那么接下來的問題就是引導學生運用演繹推理去證明這個猜想，即證明1+2·2！+3·3！+…+n·n！=（n+1）·n！-1，從分析法的角度出發，學生應該很自覺地想到把等號右邊的“1”轉移到等號左邊，這就是我們之前為什么要先加“1”后減“1”以及加的數字為什么是“1”的原因，接下來讓學生自行證明1+1+2·2！+3·3！+…+n·n！=（n+1）·n！也不是一件難事.在問題解決后，教師不妨再引導將利用答案f（n）=（n+1）n！-1驗算f（1）=1，f（2）=5，f（3）=23，f（4）=119，f（5）=719或者將n賦予其他的值.這樣我們的思維又變成了從一般轉回到了特殊的過程.如此還可以教育學生用辯證的眼光看數學，看世間事物.

上述教學環節的設計，不僅調動了學生思維的主動性和積極性，更讓學生掌握了探索知識的基本思維過程，即嘗試、歸納、猜想、驗證.因此，從這個角度看，我們數學教師有必要學習有關猜想和發現的規律，掌握正確的猜想、發現和證明的基本方法.

三、例談數學知識教學中的難點教學

下面我們再以函數的單調性的概念教學為例談談數學難點的教學.函數的單調性概念的本質主要有兩個方面——“形”的變化和“數”的表達，整個概念的教學體現了數學抽象從現實到數學的過程，前者為數學抽象的第一階段，即基于現實到數學概念的抽象，是從感性具體上升到理性具體思維的過程；后者為數學抽象的第二階段，即基于數學邏輯的抽象，它使我們的數學概念符號化、形式化和公理化，這是從理性具體到理性一般的過程.第一次抽象體現數學的本質，第二次抽象體現數學的嚴謹.筆者聽過許多教師和師范生教學函數的單調性的概念時都或多或少存在一些問題.

首先，在函數單調性“形”的變化上，從函數圖像抽象出單調性的本質“y隨x的增大而增大（或減?。钡慕虒W過程中，根據皮亞杰的認知發展階段論來說，高中生已經具備了一定的經驗型邏輯運算能力，能用自己的語言描述一個量隨另一個量的變化趨勢，也就是說學生已經具備獨立完成從感性具體到理性具體的過渡能力，能抽象出函數單調性變化趨勢的本質；而且高中生對這一性質并不陌生，在初中學生們都已經涉及這一變化特性.所以，這一“難點”對學生來說并沒多大障礙.然而，隨著現代教育工具的快速發展，許多教師過分追求教育工具對課堂教學帶來的美化效果，這就使得這一“難點”過分直觀化和形象化，以此來彰顯自己的“教學藝術”和計算機操作水平.其結果看似減輕學生思維負擔，突破學生思維障礙，卻無形之中剝奪了學生展開思維想象的機會.

多媒體和實體演示雖能幫助學生思考，看似降低了認知難度，但同時也代替了學生思考，無形之中占用了學生獨立思考自身通過努力能解決問題的資源和機遇，整個概念的抽象概括過程完全被教師和教師的教學工具所包辦，數學難點的價值也喪失殆盡.心理學研究也表明：過分地依賴直觀形象材料，把一切抽象問題都形象化，不利于學生思維從抽象到具體的，從感性到理性的過渡.

其次，我們都知道高中函數單調性最大的難點在于把概念本質“y隨x的增大而增大（或減?。庇脟乐數臄祵W語言和符號描述的過程，即數學的第二次抽象過程.然而，筆者觀摩大量公開課發現，大多數教師都把這一難點所經歷的障礙全給學生鋪平，學生不費吹灰之力地跟著教師的思維完成了這個概念的形成過程.這種方式固然使學生認識函數單調性，然而在整個過程中學生沒有主動參與和經歷數學形成過程，也沒有體驗整個數學形成過程中的各種情感.最后也只是單純地掌握了單調性的定義，增長了數學知識.至于學生的數學能力，仍然停留在原有的基礎上.

《普通高中數學課程標準（征求意見稿）》中在以前的基礎上再次提出了“四基”，即基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗.在實際教學中，如果我們能讓學生自己去探究，適當地留下難點“空白”讓學生去探索發現突破，經歷數學知識形成過程中的各個階段和情感，那么筆者相信學生不僅在數學知識上得到提升增長，更能使數學能力得到鍛煉，還能感受來自數學學習探索過程中不同的數學情感，培養學生不屈不撓、敢于克服困難的生活態度.

四、數學難點教學的建議

在筆者看來，數學難點教學中不僅要考慮突破難點的方法，更重要的是考慮到突破難點的效果.所以，筆者試著對數學難點的教學提出如下建議與讀者共勉.

（一）重視難點，正視難點

數學難點經常出現在數學知識綜合、思想方法豐富的地方，所以數學教學中合理引導學生突破難點是提升學生思維能力的契機.教師應該把數學難點視為鍛煉學生思維、培養學生能力、提升學生“最近發展區”的不可多得的資源來看待.

（二）學生主體，教師引導

教師必須要突出學生在難點探究中的主體地位，不輕易揭示方法和答案，給學生提供充分的思考時間和空間.教師也需要在學生已有的認知基礎上，適當地設置障礙，對難點適當引導，讓學生自己去發現.

（三）把握時機，循序漸進

《普通高中數學課程標準（實驗）》要求：“教材的呈現應為引導學生自主探索留有比較充分的空間，有利于學生經歷觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等過程.”[4]孔子也曾經說過：“不憤不啟，不悱不發.”所以，教師不要急于越位“開講”，化解難點，使學生輕易突破；應將難點留給學生，讓學生進行自主探究，把握學生興趣產生時的最佳動機，待到學生思維無法前行時，再適度引導、點撥，形成有效遷移.

【參考文獻】

[1]韓飛.高中數學概念教學難點突破的路徑[J].中學課程輔導：教師教育，2015（8）：30.

[2]吳東興.數學猜想與歸納[J].江西教育學院學報，1985（2）：30-32.

[3]史寧中.數學思想概論·第4輯·數學中的歸納推理[M].長春：東北師范大學出版社，2015.

[4]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003.