引導(dǎo)學(xué)生解題反思，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)

羅惠

[摘 要] 習(xí)題課教學(xué)是初中數(shù)學(xué)的重要課型，我們不僅要給學(xué)生提供與考試相匹配的題型讓學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，還要培養(yǎng)學(xué)生的反思意識(shí)和行為，繼而提升學(xué)生的反思品質(zhì)，建立起反思的習(xí)慣，促進(jìn)知識(shí)框架和能力的有效提升.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；反思能力；培養(yǎng)策略

學(xué)生在教師指導(dǎo)下掌握知識(shí)、獲得間接經(jīng)驗(yàn)在很多人的意識(shí)習(xí)慣中早就形成，甚至根深蒂固，學(xué)生源源不斷地接受教師提供的“絕招”“金點(diǎn)子”，然后在教師轟炸式的“題海戰(zhàn)術(shù)”中不斷重復(fù)練習(xí)，他們對(duì)教師所講的知識(shí)或許能產(chǎn)生一定的理解，但因?yàn)槭潜粍?dòng)地接受知識(shí)，且訓(xùn)練的節(jié)奏特別緊湊，所以學(xué)生往往沒有內(nèi)化知識(shí)與反思的時(shí)間，這對(duì)于知識(shí)的吸收、內(nèi)化，自然不可能產(chǎn)生很好的效果.

另外，我們常常發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)現(xiàn)象：學(xué)生解題時(shí)經(jīng)常一題做完便緊接著做下一題，甚至很多學(xué)生做完試題后會(huì)有萬(wàn)事大吉的感覺，其實(shí)這對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的真正內(nèi)化是不夠的，也是不可取的. 數(shù)學(xué)家波利亞曾說過：哪怕是極優(yōu)秀的學(xué)生，面對(duì)已經(jīng)簡(jiǎn)潔論證的問題，也會(huì)再次合上書本找一找是否還有別的事情可干. 事實(shí)上，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)解題進(jìn)行有效反思確實(shí)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力行之有效的好方法.

反思的內(nèi)容

反思是學(xué)習(xí)進(jìn)行到一定階段時(shí)換角度、多層次地對(duì)問題及解題思維過程重新進(jìn)行全面考察、分析與思考. 初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)針對(duì)反思這個(gè)環(huán)節(jié)就明確提出了較具體的要求：教師的教學(xué)應(yīng)經(jīng)常、恰當(dāng)?shù)毓膭?lì)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)回顧與問題反思，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成推理有據(jù)的習(xí)慣，并能反思自身的思考過程；教師的評(píng)價(jià)應(yīng)對(duì)學(xué)生是否存在解題反思進(jìn)行關(guān)注，應(yīng)對(duì)學(xué)生能否將已有經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用到新的問題情境中進(jìn)行關(guān)注性評(píng)價(jià). 反思在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的地位猶如人體心臟般重要，解題過程一般包括理解題目、擬訂方案、執(zhí)行方案、回顧這四個(gè)步驟，回顧即反思，這個(gè)極為重要但又易被忽視的環(huán)節(jié)包含兩個(gè)層面：解題層面的反思與解題后的反思.

1. 解題層面的反思

解題層面反思的主要任務(wù)是復(fù)查檢驗(yàn)，主要包含計(jì)算正確與否、推理合理與否、思維周密與否、解法多樣與否等各方面的內(nèi)容.

為了提高學(xué)生解題層面的反思，我們通常的做法是一題多變.

2. 解題后的反思

解題后的反思主要是對(duì)數(shù)學(xué)題目本身及解題方法重新審視與分析，反思在這個(gè)層面上包含的內(nèi)容更為豐富：

哪些知識(shí)和方法已經(jīng)運(yùn)用于解題？這些知識(shí)與方法之間是如何相互關(guān)聯(lián)的？怎會(huì)想到運(yùn)用這些知識(shí)與方法？難在哪兒？關(guān)鍵點(diǎn)在哪兒？有哪些障礙？如何解決這些難點(diǎn)和障礙？還有更好的方法嗎？還有更簡(jiǎn)單的方法嗎？還有更特殊的方法嗎？更一般性的命題可以采取同樣的方法解決嗎？命題是否可以推廣？條件是否可以減弱？結(jié)論是否可以加強(qiáng)？所有種種蘊(yùn)含了怎樣的數(shù)學(xué)思想？將這些知識(shí)與方法用來解決這一問題，體現(xiàn)了怎樣的解題策略？

……

解題后的反思所涵蓋的思考不僅對(duì)眼前問題的解決具有相當(dāng)積極意義的改進(jìn)與完善作用，而且，這些思考對(duì)于未來問題的解決還能提供具有一定指導(dǎo)作用的信息，教師如果能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行長(zhǎng)期積累，那學(xué)生的數(shù)學(xué)能力一定會(huì)穩(wěn)步提升，且能最終升華為數(shù)學(xué)才華.

為了培養(yǎng)學(xué)生解題后反思的意識(shí)，我們通常的做法是一題多解.

反思的策略

1. 一題多變，引導(dǎo)學(xué)生從解題層面進(jìn)行反思

所謂“一題多變”，即在教學(xué)實(shí)踐中改變題目的結(jié)構(gòu)和呈現(xiàn)形式，給出具有相同實(shí)質(zhì)的題組，讓學(xué)生在解答一類問題的過程中，從多個(gè)視角進(jìn)行分析與反思，找出區(qū)別和聯(lián)系，發(fā)展應(yīng)變能力.

例1 已知函數(shù)y=（3-k）x-2k+18為一次函數(shù)，求k的取值范圍.

變式1 k為何值時(shí)，一次函數(shù)y=（3-k）x-2k+18的函數(shù)圖像經(jīng)過原點(diǎn)？

變式2 k為何值時(shí)，一次函數(shù)y=（3-k）x-2k+18的函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)位于x軸的上方？

變式3 k為何值時(shí)，對(duì)于一次函數(shù)y=（3-k）x-2k+18，y的值隨x的增大而減小？

設(shè)計(jì)意圖 例1是引導(dǎo)學(xué)生反思一次函數(shù)的定義，下面的變式與例1有著聯(lián)系，同時(shí)逐步深入. 變式1將學(xué)生的思維引向函數(shù)圖像和點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式之間的關(guān)系，變式2則引向函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，變式3將學(xué)生的思維引向一次函數(shù)的性質(zhì). 通過例題和變式的訓(xùn)練，學(xué)生的思維得到了有效發(fā)散，學(xué)生的認(rèn)知更加全面.

2. 一題多解，引導(dǎo)學(xué)生解題后進(jìn)行反思

數(shù)學(xué)知識(shí)和方法往往具有多向性，引導(dǎo)學(xué)生在解題后思考有沒有其他的解法，能夠促進(jìn)學(xué)生的思維向更廣闊的方向發(fā)展.

例2 如圖1，在△ABC中，D是AC邊上一點(diǎn)，AD ∶ DC=1 ∶ 2，E是BD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F，求BF ∶ FC.

分析 從知識(shí)的聯(lián)系上來看，線段的比與平行線有關(guān)，同時(shí)也與相似三角形有關(guān)，因此我們可以在學(xué)生運(yùn)用一種方法解決問題后引導(dǎo)其反思其他解決問題的方法.

解法1 （運(yùn)用平行線分線段成比例的性質(zhì)）如圖2，過點(diǎn)D作DM∥AF交BC于點(diǎn)M. 因?yàn)镋是BD的中點(diǎn)，所以BF=FM. 而CM ∶ FM=CD ∶ AD=2 ∶ 1，所以CM=2FM=2BF. 因此BF ∶ FC=1 ∶ 3.

還有沒有其他的方法呢？引導(dǎo)學(xué)生反思后發(fā)現(xiàn)，只要作不同的輔助線，就可以聯(lián)系到不同的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，也能將問題順利地解決.

解法2 添加輔助線，構(gòu)造相似三角形（如圖3），運(yùn)用三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解.

解法3 添加輔助線（如圖4），利用三角形的面積比求解.

波利亞的《怎樣解題》這本書中闡述了這樣的觀點(diǎn)——教師自身必須理解并引導(dǎo)他的學(xué)生產(chǎn)生正確的認(rèn)識(shí)：一個(gè)題目完成并不能代表它徹底完結(jié)，我們總可以繼續(xù)對(duì)其展開研究與洞察，對(duì)任何的解題方法進(jìn)行反思、完善與改進(jìn)，并最終使我們對(duì)答案的理解更有深度. 因此，教師在以解題為主要手段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)著力引導(dǎo)學(xué)生的反思意識(shí)和行為，使學(xué)生經(jīng)常性地對(duì)結(jié)論與已知條件進(jìn)行思考性的聯(lián)系，建立起從不同角度與層面進(jìn)行問題反思的習(xí)慣. 從不同角度思考：由已知條件可以得出哪些結(jié)論？使結(jié)論成立必須滿足怎樣的條件？變式中的題目會(huì)出現(xiàn)哪些可能性？……這些都是教師教學(xué)中應(yīng)該經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生反思的問題. 這些問題蘊(yùn)含了分析規(guī)律、歸納特點(diǎn)等諸多內(nèi)容，能使學(xué)生的思維隨之從不同角度發(fā)散，學(xué)生思維的廣度和深度隨著長(zhǎng)期的引導(dǎo)與訓(xùn)練產(chǎn)生質(zhì)的飛躍. 另外，數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)性往往使得解題方法呈現(xiàn)多樣化，因此，學(xué)生在具備基本解題方法與能力之后，應(yīng)養(yǎng)成進(jìn)一步探究更好解法的意識(shí)和習(xí)慣. 縱橫交錯(cuò)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)也會(huì)因?yàn)閷W(xué)生的這個(gè)良好習(xí)慣更加易于建構(gòu)，舉一反三、觸類旁通，這些學(xué)生學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)也會(huì)越來越平常，其他問題，很多時(shí)候也會(huì)因此得到更加簡(jiǎn)便、迅捷的解答.endprint