淺談高中生數學抽象能力的理解及培養

胡秀

[摘 要] 高中數學常以抽象的形態出現在人們的面前，這反映了數學抽象的一面. 其實，抽象是數學的特質之一，是數學知識構建的必然過程. 作為數學教學，重要任務之一就是讓學生體驗數學抽象的過程，而這就需要教師建立對數學抽象的準確理解，并設計教學讓學生進入到數學抽象的情境中. 將數學抽象置于核心素養的視角下，可以發現數學抽象之于數學學習的意義. 數學抽象能力的有效培養，需以教師對學生抽象過程的關注與把握為基礎.

[關鍵詞] 高中數學；數學抽象；能力培養；教學理解；教學實踐

當我們討論數學學科的特質時，總會提及一個詞語，那就是“抽象”. 經驗意義下的抽象往往表示著這門學科生澀難懂. 筆者作為“數學人”中的一名普通高中數學教師，并不是這樣認為的，因為在筆者看來，正是數學的抽象成就了其具有的天然的抽象美. 問題在于，如果這種美無法為學生感知，那么學生所能感受到的只能是數學的難學，因此高中數學教師一個切切實實的任務，就是要培養學生的數學抽象的能力.

[?] 數學抽象的基本理解

談及抽象，即覺“難”，這顯然是經驗之見. 抽象本是人認識事物的一種重要能力與方法，其是指從眾多的事物中提取共同的、本質的特征而舍棄非本質特征的過程（據說“抽象”一詞本身就源自于拉丁語，有“拖拽”的意思，這倒是非常形象的）. 當我們說數學是研究數與形的學科時，其實已經進入了抽象的境界.

數學抽象毫無疑問，其特點在于抽象的對象具有數學意義，抽象的結果具有數學特質. 高中階段的數學多是抽象的結果，很多數學知識的教學起點與實際事物存在較大的距離，因此讓學習者感覺到“抽象”（這是感覺層面的抽象，非指抽象本義）. 從這個角度講，高中數學教學有時確有向生活回歸的必要，至少要照顧大多數學生的學習感受，以讓他們從形象事物出發，這樣才能更好地構建數學知識.

以“圓錐曲線”為例，蘇教版高中數學教材給出了這樣的教學素材：開普勒發現的行星運動三定律所揭示的行星運動規律（橢圓曲線）、某些彗星運動的規律（拋物線、雙曲線和橢圓）、炮彈的飛行軌道（拋物線）；而到了具體的圓錐曲線這一節，給出的則是一個用平面截圓錐面的情境，以讓學生在對不同截法的分析中得到不同的圓錐曲線.

從數學知識形成的角度來看，這樣的設計是合理的；而從學生思維的角度來看，這樣的設計如果不進行再加工，則對于很多學生來說就將面臨“抽象”的挑戰. 因為當學生大腦中沒有可供抽象的形象對象時，抽象是無從談起的；而當教學的起點就是抽象的對象時，即使是抽象能力已經趨于成熟的高中學生，也會面臨較大的挑戰. 從這個角度講，高中數學教師所建立起的教學視角下的數學抽象的理解，至少應當有一個內涵，那就是為學生的數學抽象提供形象的對象.

[?] 數學抽象能力的培養

基于上一點理解，筆者在教學中努力培養學生抽象能力的時候，就認準必須讓學生的抽象有“物”可依，同時堅信只要基于對形象對象的有效分析，抽象能力的形成就是自然而然的事.

在“圓錐曲線”這一教學內容中，筆者對教材所提供的素材進行了再加工：對于行星的運動，就提供了形象的動畫與圖片，并且通過幾何畫板讓其中的圓錐曲線有效地凸顯出來，以讓學生認識到圓錐曲線在實際生活中的存在. 為了加強學生對圓錐曲線的認知，筆者還重新讓學生進行了一個簡易的數學實驗，即在固定了兩個釘子的木板（也可以固定在黑板上），讓學生沿一根兩端系于釘子上的繃緊了的細線描出一個橢圓來. 這樣的教學環節耗時不多，但卻可以有效地豐富學生對圓錐曲線的形象認知，從而也就為其后的數學抽象奠定了基礎.

其后的數學抽象過程基本是這樣的：首先，利用上述的形象對象進行了抽象，這是面向“現實情境”的抽象，這個抽象過程是在教師利用課件輔助的情形下完成的，因此更多的是為了培養學生從生活到數學的認識；其次，借助于課件完成一個平面截一個圓錐面的抽象過程，盡管這個過程中也借助于課件，但其抽象對象卻是不同的，其抽象對象是一個數學情境. 由于前面有了對實際事物的抽象，因此此處面向數學情境的抽象是可以順利進行的，同時這一步抽象的目標與前面也是不同的，其是為了下一步得出圓錐曲線的一般理解——“截線上任意一點到兩個定點的距離相等”奠定基礎的. 這是本節課抽象的核心！

當前《普通高中數學課程標準》對數學抽象的要求其實是有層次性的：從現實情境中抽象出數學概念；從數學情境中抽象出數學規則與數學問題. 前一層次中學生的生活經驗與生活直覺可以發揮作用，而后一層次中則完全要靠數學直覺和數學推理，高中數學抽象能力的培養，往往在后一個層次中更能得到體現. 事實上，在“圓錐曲線”這一章中，橢圓、拋物線、雙曲線三個典型的圓錐曲線的概念教學是非常重要的，因為概念本身就是抽象的產物，因此概念教學就是抽象能力培養的重要契機，抓住數學概念形成過程中的演繹推理與合情推理并存的特征，可以讓學生在觀察、比較、分析、歸納、演繹中逐步形成以數學語言、數形為描述載體的概念，并在此過程中形成抽象能力.

[?] 作為素養的數學抽象

從學生學習的角度來看，數學抽象是一個過程，如果基于知識形成的線索來看，數學抽象是有一定脈絡的；而如果真正從學生思維的角度來看，數學抽象其實又不是完全可以精確描述的，因為在學生的思維過程中還有許多不為外人甚至不為學生自己所知的默會知識的存在，因而教師所看到的學生的數學抽象過程，實際上只是學生思維的一部分.

談到學生思維中的數學抽象過程，就不能不提及當下重點倡導的核心素養. 數學學科的核心素養是以必備品格和關鍵能力為核心的素養的下位概念，其強調的是包括數學抽象在內的六個核心概念，盡管有研究者對這六個概念能否涵蓋數學學科核心素養的全部提出了異議，但可以肯定的是，數學抽象一定是數學學科的核心素養之一！

當將數學抽象提升到核心素養的層面時，可以看到的是學生在數學學習中思維能力與學習品質的應然提升. 有研究者（如施瓦茨等人）指出，學生在數學抽象的過程中，其思維包括了從識別到整合再到建構的完整過程. 其中，識別是感知能力的體現，融合是數學推理的體現，而建構則是這個過程的核心. 所謂建構，這里是指學生通過數學學習，將新知識納入到原有知識體系當中，以讓自己的數學知識、能力體系更趨完善. 此過程中數學抽象所起的作用是將非數學因素排除，并尋找新的數學知識與原有數學知識體系的聯結點的作用.

數學抽象在發揮這個作用的時候，實際上也就是數學核心素養發揮作用的時候，同時也是學生數學核心素養進一步形成的時候. 根據筆者的教學經驗，此過程中學生對數學語言的運用也是數學抽象能力培養的關鍵. 無論是數學概念還是規律，都是以數學語言的形式出現的，圓錐曲線中“平面內”“定點”“直線”“距離”“常數”“點的軌跡”等，都是基本的數學概念，而不同的組合則可以得到不同圓錐曲線的定義. 學生在運用這些語言的時候，往往大腦中會形成一些表象，表象作為形象思維的加工對象，在此起著輔助學生抽象思維的作用，客觀上促成了學生抽象思維能力的形成. 因此，在高中數學教學中，引導學生錘煉數學語言是一項重要工作，而事實上面對考試等需要，很多時候教師對數學語言的教學是忽視的，這不利于學生數學抽象能力的形成，也不利于數學學科核心素養的培養.

[?] 關注學生的抽象過程

數學抽象能力的培養根本上是要依賴于教師對學生抽象過程的把握，因此關注學生的抽象過程，就成為教師教學研究的一個著力點.

盡管學生在抽象過程中有著豐富的默會知識的運用，但從顯性的過程來看還是可以看出學生抽象過程質量的高低的. 比如說學生對一個平面截一個圓錐面的過程的加工，可以看學生在草稿紙上所涂的痕跡，如果學生能夠隨手畫出橢圓、拋物線、雙曲線等圖形，則說明學生的抽象過程是高效的；但是，不能認為畫不出上述圓錐曲線就認為學生的抽象能力不強，因為學生抽象思維未必是以手下的圖形呈現的，還有可能是語言表達，這就需要教師與學生交流——尤其是在小組合作過程中，教師下沉到小組與學生交流，是能夠把握學生的思維結果的. 這個時候如果遇到學生思維不成熟、表達不精確的情形，那教師就要珍惜這個機會，因為這樣的細節研究可以判斷出學生個體的思維特征，從而判斷其抽象思維能力的水平.

總之，高中數學教學中，數學抽象作為一項數學技能的培養，作為數學核心素養重要組成部分的培養，需要教師重點關注，需要教師結合具體的教學實踐，根據學生有限的表現去猜想、判斷，進而較為準確地把握學生的抽象思維過程，這對于培養學生的數學抽象能力是極有幫助的.endprint