借助核心素養中的邏輯推理尋求解題途徑

尤為軍

摘 要：數學核心素養是高中新課程標準改革過程中一個閃光的詞匯，是學生在高中數學學習中需要養成的一種能力。解題思路的尋求和解題過程的書寫離不開邏輯推理，本文主要介紹幾種常用的邏輯推理方法來尋求解題思路。

關鍵詞：數學核心素養;解題途徑;邏輯推理

中圖分類號：G633.63????????? 文獻標識碼：A???? 文章編號：1992-7711（2018）20-067-1

高中數學課程標準提出，數學學科核心素養應當包含數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析等要素。邏輯推理是高中數學六大核心素養之一，具體表現為發現和提出命題、掌握推理的基本形式和規則、探索和表述論證的思路和過程、構建命題體系、表達與交流等幾個方面。

如何探求解題思路，這是一個十分重要的問題，也是一個老課題。以往人們大多根據已有的經驗從思維的角度總結了不少真知灼見。本文從核心素養中邏輯推理的角度來探討這個問題，試圖得到另一種探求解題途徑的思考方式。

一、分析法和綜合法是尋求解題途徑的基本方法

尋求解題途徑，首先要深刻理解已知條件，要注意挖掘那些隱含著的已知條件，并充分運用所有已知條件，其次要結合已知條件，用分析法由未知（即所求的結論）找需知，再找需知，……最后找出結論和已知條件之間的聯系。如果需知就是已知，解題途徑就找到了。

例1 如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點，求證：AB1⊥面A1BD。

分析：由“已知”想“未知”，由△ABC為正三角形，取BC中點O，連結AO，可知AO⊥BC。又因正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，可知AO⊥平面BCC1B1。連結B1O，又因在正方形BB1C1C中，O，D分別為BC，CC1的中點，可知B1O⊥BD，進而可知AB1⊥BD。

由“未知”想“已知”，欲求證：AB1⊥面A1BD，需求證：AB1垂直于面A1BD中兩條相交直線，而已知在正方形ABB1A1中，AB1⊥A18，只需證AB1⊥BD或者AB1⊥A1D。

最后，因為需知AB1⊥BD已是已知，證明的途徑順利找到。

二、聯想與類比是尋求解題途徑的重要方法

類比是一種相似，聯想是一種既有目的又有方向的想象。在數學解題中，能恰到好處地利用已有知識，聯想類比，是尋求正確解題途徑的重要方法。

例2 設函數f（x）=-cos2x-4tsin2cosx2+4t3+t2-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，將f（x）的最小值記為g（t）。求g（t）的表達式。

分析：題目給定的條件信息是函數解析式f（x）=-cos2x-4tsin2cosx2+4t3+t2-3t+4，又給定的數學符號，我們首先聯想到它是三角函數復合而成的函數，解題中顯然要用三角函數的知識，到底要哪些知識呢？目標是求函數的最小值，于是我們聯想到已熟悉的基本題型：正弦型函數y=Asin（ωx+φ）+b或者是二次型函數y=asin2ωx+bSinωx+c，再根據給定的條件信息，選擇了正弦倍角公式，將其化為正弦型函數f（x）=（sinx-t）2+4t3-3t+3求最小值，于是思路溝通。

三、轉化與化歸是尋求解題途徑的有效手段

化歸與轉化，就是在研究與解決數學問題時，采用某種手段，將問題通過變換使之轉化，進而達到解決問題的目的。一般總是將復雜問題轉化為簡單問題，陌生問題轉化為熟悉問題，未解決問題轉化為已解決問題，等等。

例3 若不等式x2+px>4x+p-3對一切0≤p≤4均成立，試求實數x的取值范圍。

分析：若視x為主元來處理，既繁且易出錯，實行主元的轉化，使問題變成關于p的一次不等式，使問題實現了從高維向低維轉化，解題簡單易行，即由x2+px>4x+p-3，知（x-1）p+x2-4x+3>0，令g（p）=（x-1）p+x2-4x+3，則要使它對0≤p≤4均有g（p）>0，只要有g（0）>0g（4）>0，這樣思路就暢通了。

四、特殊法和實驗法是尋求解題途徑的重要手段

特殊法和實驗法就是通過特殊形式和具體形式來發現問題的答案或者解決原問題的思路，這是解決原問題的一個重要手段。

例4 在數列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n（n∈N*），其中λ>0，求數列{an}的通項公式。

分析：顯然這個數列不能一眼看出解題思路，我們只能先求出前幾項來找規律，尋求解題方法。a2=2λ+λ2+（2-λ）2=λ2+22，

a3=λ（λ2+22）+λ3+（2-λ）22=2λ3+23，

a4=λ（2λ3+23）+λ4+（2-λ）23=3λ4+24。

由此可發現數列{an}的通項公式為an=（n-1）λn+2n。以下就可以用數學歸納法證明了，這樣思路就暢通了。

解答數學問題，關鍵在于掌握尋求解題思路的方法，少走彎路，以盡快獲得最佳的解題思路。運用邏輯推理常常容易得到解題思路，因此，邏輯推理是數學的“命根子”，是數學教學活動的核心，也是培養科學素養的重要途徑。

邏輯推理核心素養的習得，可以使人們的交流合乎邏輯，提高交流的效率和效果。在數學教學活動中，教師注重邏輯推理核心素養的培養，有利于學生理解一般結論的來龍去脈、形成舉一反三的能力;有利于學生形成有論據、有條理、合乎邏輯的思維習慣和交流能力;有利于學生提高探究事物本源的能力。