探究魔方結(jié)構(gòu) 提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

摘 要：魔方，是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和數(shù)學(xué)思維的有效工具。魔方的開發(fā)研制、整體構(gòu)造、拆裝及完成復(fù)原的過程，都蘊(yùn)含著無數(shù)的數(shù)學(xué)文化。筆者從目前中學(xué)生最感興趣的魔方出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從低階魔方到高階魔方的結(jié)構(gòu)做了深入的研究，發(fā)現(xiàn)二階、三階、四階、五階、六階魔方都可以研發(fā)出正方體的魔方，且每個面的色塊可以大小相同。而七階魔方是呈圓弧狀的魔方，類似凸面包形狀的幾何體。七階魔方的結(jié)構(gòu)為什么是呈圓弧狀的？文章就此問題展開了思考和探究。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；七階魔方

魔方，千變?nèi)f化，是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和數(shù)學(xué)思維的有效工具。自從我校2013屆校友林愷俊（目前中國“盲擰”魔方第一人），強(qiáng)勢登陸江蘇衛(wèi)視《最強(qiáng)大腦》盲擰魔方項目，并順利成功晉級后，魔方再次風(fēng)靡各大校園。我校也不例外，很多學(xué)生紛紛加入復(fù)原魔方的行列，有效激發(fā)了學(xué)生的好奇心和求知欲。

筆者從2006年開始接觸魔方，發(fā)現(xiàn)魔方的開發(fā)研制、整體構(gòu)造、拆裝及完成復(fù)原的過程，都蘊(yùn)含著無數(shù)的數(shù)學(xué)文化。筆者參與開發(fā)了數(shù)學(xué)與魔方校本綜合實踐活動課程，多次在校園開展數(shù)學(xué)與魔方專題講座、魔方游園活動，成立校園魔方社，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，引領(lǐng)學(xué)生個性化發(fā)展，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

一、轉(zhuǎn)換思維角度，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題

愛因斯坦曾說：“提出一個問題往往比解決一個問題更為重要。”學(xué)生拿到魔方的時候，都只是思考如何復(fù)原，很容易忽略魔方的開發(fā)研制和立體結(jié)構(gòu)組成。我們應(yīng)該轉(zhuǎn)換思維的角度，從不同角度、不同側(cè)面去觀察不同的魔方的結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題。

當(dāng)初匈牙利布達(dá)佩斯建筑學(xué)院的厄爾諾·魯比克教授發(fā)明魔方，僅是作為一種幫助學(xué)生認(rèn)識空間立方體的組成和結(jié)構(gòu)，以及鍛煉學(xué)生的空間思維能力和記憶力的教學(xué)工具。他發(fā)明的三階魔方是我們最常見的魔方，且每個面的色塊大小可以相同。觀察、對比后來出現(xiàn)的二階、四階、五階和六階魔方，發(fā)現(xiàn)它們的形狀與三階魔方類似，也都是正方體的，并且每個面的色塊大小可以相同。但是唯獨七階魔方不是正方體，而是呈圓弧狀的曲六面體，類似凸面包形狀的。七階魔方的結(jié)構(gòu)為什么是呈圓弧狀的？以下就此問題展開思考與探究。

二、體會探究魔方結(jié)構(gòu)的過程，提升學(xué)生的思維品質(zhì)

我們把二階到七階魔方擺在一起，觀察和對比一下會發(fā)現(xiàn)，二階至六階魔方每個面上的各小正方形形狀、大小相同。設(shè)每格的邊長為1，魔方的每一格的對角線都為。當(dāng)頂層一個面旋轉(zhuǎn)45°時，此時頂層的對角線AC與EF在同一直線上，即AC⊥BD。根據(jù)點到直線的距離垂線段最短可知，魔方的角塊上的頂點A距離中心O達(dá)到最遠(yuǎn)，此時角塊探出的高度AE達(dá)到最大，如下圖示：

（n代表階數(shù)，同一顏色小正方塊代表同一層的小塊）

當(dāng)頂層一個面旋轉(zhuǎn)45°時，設(shè)AE=x，若AE>AO，角塊就會從頂層掉下。根據(jù)正方形的中心對稱性，則CF=x。

1. 探究二階魔方

如圖1，n=2時，AB=BC=2

在Rt△ABC中，由勾股定理得，

AC===2

同理得，AO=

∵AE+CF+EF=AC ∴2x+2=2

∴x=≈0.414<1.414

即AE

2. 探究三階魔方

如圖2，n=3時，同理可得，

x=≈0.621<1.414

即AE

3. 探究四階魔方

如圖3，n=4時，同理可得，

x=≈0.828<1.414

即AE

4. 探究五階魔方

如圖4，n=5時，同理可得，

x=≈1.035<1.414

即AE

5. 探究六階魔方

如圖5，n=6時，同理可得，

x=≈1.242<1.414

即AE

6. 探究七階魔方

如圖6，n=7時，同理可得，

x=≈1.449>1.414

即AE>AO ∴七階魔方的角塊會從頂層掉落。

7. 探究八階魔方

如圖7，n=8時，同理可得，

x=≈1.656>1.414

即AE>AO ∴八階魔方的角塊會從頂層掉落。

綜上所述，我們可以得出結(jié)論：（1）六階魔方是每格大小相同的正方體結(jié)構(gòu)魔方的極限。（2）如果七階魔方或者七階以上的魔方做成每格大小相同的正方體結(jié)構(gòu)魔方，角塊在轉(zhuǎn)動的時候會掉下來。

證明：設(shè)魔方有n階時，如圖8，當(dāng)旋轉(zhuǎn)頂層一個面45°時，連接AC交MN于E，則AC⊥MN，AB=BC=EF=n。設(shè)AE=x，根據(jù)正方形的中心對稱性，則CF=x。

在Rt△ABC中，由勾股定理得，

AC===n

同理得，AO=

∵AE+CF+EF=AC

∴2x+n=n，解得x=

當(dāng)AE

即<，解得n<4+2≈6.828

∵n∈Z ∴n<7

由此，證明了前述結(jié)論。

那么，新問題又出現(xiàn)了，若是七階魔方或者七階以上的魔方要做出正方體形狀，該怎么辦？實體魔方的階數(shù)有上限嗎？學(xué)生對這些問題很有興趣，紛紛說出了自己的猜想。其實，此類問題目前已經(jīng)解決，此處只是引導(dǎo)學(xué)生深入思考和進(jìn)行下一步的研究。

三、反思探究過程，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)

數(shù)學(xué)是思維的體操，我們從當(dāng)前學(xué)生感興趣的玩具出發(fā)，激發(fā)學(xué)生思考的欲望，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察、對比各階魔方（幾何體）的形狀，發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，思考七階魔方為什么要設(shè)計呈凸面包形狀，而二到六階魔方結(jié)構(gòu)是正方體？讓學(xué)生感受從特殊到一般的數(shù)學(xué)邏輯推理過程及巧用方程和列不等式建模的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的奧秘和情趣，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性地解決問題的能力，使其更好地理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

在校園里，探究魔方的數(shù)學(xué)綜合實踐活動，不僅帶給學(xué)生無窮的樂趣，還帶給他們無限的智慧。學(xué)生在探究魔方結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)綜合實踐活動中，通過觀察、對比、操作、思考、交流、猜想、歸納、分析和整理等過程，理解數(shù)學(xué)問題的提出、數(shù)學(xué)概念的形成和數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得以及數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，同時也拓展了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，使其感受到數(shù)學(xué)的魅力以及能夠很好地領(lǐng)悟?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)的思想和方法，逐步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，使其形成初步的探索問題和解決問題的能力，并形成良好的思維品質(zhì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。