探究魔方結構 提升數(shù)學素養(yǎng)

摘 要：魔方，是培養(yǎng)學生空間想象能力和數(shù)學思維的有效工具。魔方的開發(fā)研制、整體構造、拆裝及完成復原的過程，都蘊含著無數(shù)的數(shù)學文化。筆者從目前中學生最感興趣的魔方出發(fā)，引導學生從低階魔方到高階魔方的結構做了深入的研究，發(fā)現(xiàn)二階、三階、四階、五階、六階魔方都可以研發(fā)出正方體的魔方，且每個面的色塊可以大小相同。而七階魔方是呈圓弧狀的魔方，類似凸面包形狀的幾何體。七階魔方的結構為什么是呈圓弧狀的？文章就此問題展開了思考和探究。

關鍵詞：初中數(shù)學；課堂教學；數(shù)學素養(yǎng)；七階魔方

魔方，千變?nèi)f化，是培養(yǎng)學生空間想象能力和數(shù)學思維的有效工具。自從我校2013屆校友林愷俊（目前中國“盲擰”魔方第一人），強勢登陸江蘇衛(wèi)視《最強大腦》盲擰魔方項目，并順利成功晉級后，魔方再次風靡各大校園。我校也不例外，很多學生紛紛加入復原魔方的行列，有效激發(fā)了學生的好奇心和求知欲。

筆者從2006年開始接觸魔方，發(fā)現(xiàn)魔方的開發(fā)研制、整體構造、拆裝及完成復原的過程，都蘊含著無數(shù)的數(shù)學文化。筆者參與開發(fā)了數(shù)學與魔方校本綜合實踐活動課程，多次在校園開展數(shù)學與魔方專題講座、魔方游園活動，成立校園魔方社，激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣，引領學生個性化發(fā)展，提升了學生的數(shù)學綜合素養(yǎng)。

一、轉換思維角度，引導學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題

愛因斯坦曾說：“提出一個問題往往比解決一個問題更為重要。”學生拿到魔方的時候，都只是思考如何復原，很容易忽略魔方的開發(fā)研制和立體結構組成。我們應該轉換思維的角度，從不同角度、不同側面去觀察不同的魔方的結構，引導學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題。

當初匈牙利布達佩斯建筑學院的厄爾諾·魯比克教授發(fā)明魔方，僅是作為一種幫助學生認識空間立方體的組成和結構，以及鍛煉學生的空間思維能力和記憶力的教學工具。他發(fā)明的三階魔方是我們最常見的魔方，且每個面的色塊大小可以相同。觀察、對比后來出現(xiàn)的二階、四階、五階和六階魔方，發(fā)現(xiàn)它們的形狀與三階魔方類似，也都是正方體的，并且每個面的色塊大小可以相同。但是唯獨七階魔方不是正方體，而是呈圓弧狀的曲六面體，類似凸面包形狀的。七階魔方的結構為什么是呈圓弧狀的？以下就此問題展開思考與探究。

二、體會探究魔方結構的過程，提升學生的思維品質(zhì)

我們把二階到七階魔方擺在一起，觀察和對比一下會發(fā)現(xiàn)，二階至六階魔方每個面上的各小正方形形狀、大小相同。設每格的邊長為1，魔方的每一格的對角線都為。當頂層一個面旋轉45°時，此時頂層的對角線AC與EF在同一直線上，即AC⊥BD。根據(jù)點到直線的距離垂線段最短可知，魔方的角塊上的頂點A距離中心O達到最遠，此時角塊探出的高度AE達到最大，如下圖示：

（n代表階數(shù)，同一顏色小正方塊代表同一層的小塊）

當頂層一個面旋轉45°時，設AE=x，若AE>AO，角塊就會從頂層掉下。根據(jù)正方形的中心對稱性，則CF=x。

1. 探究二階魔方

如圖1，n=2時，AB=BC=2

在Rt△ABC中，由勾股定理得，

AC===2

同理得，AO=

∵AE+CF+EF=AC ∴2x+2=2

∴x=≈0.414<1.414

即AE

2. 探究三階魔方

如圖2，n=3時，同理可得，

x=≈0.621<1.414

即AE

3. 探究四階魔方

如圖3，n=4時，同理可得，

x=≈0.828<1.414

即AE

4. 探究五階魔方

如圖4，n=5時，同理可得，

x=≈1.035<1.414

即AE

5. 探究六階魔方

如圖5，n=6時，同理可得，

x=≈1.242<1.414

即AE

6. 探究七階魔方

如圖6，n=7時，同理可得，

x=≈1.449>1.414

即AE>AO ∴七階魔方的角塊會從頂層掉落。

7. 探究八階魔方

如圖7，n=8時，同理可得，

x=≈1.656>1.414

即AE>AO ∴八階魔方的角塊會從頂層掉落。

綜上所述，我們可以得出結論：（1）六階魔方是每格大小相同的正方體結構魔方的極限。（2）如果七階魔方或者七階以上的魔方做成每格大小相同的正方體結構魔方，角塊在轉動的時候會掉下來。

證明：設魔方有n階時，如圖8，當旋轉頂層一個面45°時，連接AC交MN于E，則AC⊥MN，AB=BC=EF=n。設AE=x，根據(jù)正方形的中心對稱性，則CF=x。

在Rt△ABC中，由勾股定理得，

AC===n

同理得，AO=

∵AE+CF+EF=AC

∴2x+n=n，解得x=

當AE

即<，解得n<4+2≈6.828

∵n∈Z ∴n<7

由此，證明了前述結論。

那么，新問題又出現(xiàn)了，若是七階魔方或者七階以上的魔方要做出正方體形狀，該怎么辦？實體魔方的階數(shù)有上限嗎？學生對這些問題很有興趣，紛紛說出了自己的猜想。其實，此類問題目前已經(jīng)解決，此處只是引導學生深入思考和進行下一步的研究。

三、反思探究過程，提升學生的數(shù)學綜合素養(yǎng)

數(shù)學是思維的體操，我們從當前學生感興趣的玩具出發(fā)，激發(fā)學生思考的欲望，引導學生用數(shù)學的眼光觀察、對比各階魔方（幾何體）的形狀，發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，思考七階魔方為什么要設計呈凸面包形狀，而二到六階魔方結構是正方體？讓學生感受從特殊到一般的數(shù)學邏輯推理過程及巧用方程和列不等式建模的數(shù)學思想方法，使學生感受到數(shù)學的奧秘和情趣，進一步培養(yǎng)學生創(chuàng)造性地解決問題的能力，使其更好地理解數(shù)學學習的意義，從而提升學生的數(shù)學思維能力。

在校園里，探究魔方的數(shù)學綜合實踐活動，不僅帶給學生無窮的樂趣，還帶給他們無限的智慧。學生在探究魔方結構的數(shù)學綜合實踐活動中，通過觀察、對比、操作、思考、交流、猜想、歸納、分析和整理等過程，理解數(shù)學問題的提出、數(shù)學概念的形成和數(shù)學結論的獲得以及數(shù)學知識的應用，同時也拓展了學生的數(shù)學視野，使其感受到數(shù)學的魅力以及能夠很好地領悟學習數(shù)學的思想和方法，逐步培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，使其形成初步的探索問題和解決問題的能力，并形成良好的思維品質(zhì)，提升學生的數(shù)學綜合素養(yǎng)。