基于數(shù)學(xué)思想方法的 初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)研究

摘 要：數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課是對(duì)學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行梳理、鞏固，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)化和規(guī)范化的一種教學(xué)活動(dòng)，是滲透數(shù)學(xué)思想方法的有效途徑。在復(fù)習(xí)課教學(xué)中適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)思想方法，可以有效幫助學(xué)生更快地找到解題的方向，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進(jìn)素質(zhì)教育的全面實(shí)施。文章以北師大版七年級(jí)一元一次方程復(fù)習(xí)課為例，探究在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中融入數(shù)學(xué)思想方法的意義。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；復(fù)習(xí)課；數(shù)學(xué)思想方法

一、基于數(shù)學(xué)思想方法的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)研究的背景與意義

（一）研究的背景

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課是對(duì)學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行梳理、鞏固，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)化和規(guī)范化的一種教學(xué)活動(dòng)，是滲透數(shù)學(xué)思想方法的有效途徑。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課大部分都是對(duì)知識(shí)的簡(jiǎn)單羅列，再設(shè)計(jì)大量的練習(xí)題，讓學(xué)生機(jī)械、重復(fù)練習(xí)，結(jié)果總是事倍功半，不僅沒(méi)達(dá)到知新的效果，還消耗學(xué)生大量時(shí)間和精力，降低學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，也就更談不上數(shù)學(xué)思想方法的滲透了。

（二）研究的意義

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的課程總目標(biāo)是：“通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠獲得適應(yīng)未來(lái)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。”課程目標(biāo)由“雙基”變成了“四基”，體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的重視。如何確切落實(shí)“四基”中的思想方法是個(gè)難點(diǎn)。復(fù)習(xí)課是在教學(xué)過(guò)程中占比例不小的一類課堂教學(xué)形式，是把知識(shí)納入系統(tǒng)的教學(xué)過(guò)程，也是從學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)基本技能飛躍到數(shù)學(xué)思想的有效途徑，有助于學(xué)生真正做到靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)。

二、數(shù)學(xué)思想方法的核心概念

數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法之間有密切關(guān)系。數(shù)學(xué)思想是通過(guò)大量數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程發(fā)展起來(lái)的，是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)、概括；數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體表現(xiàn)形式。也就是說(shuō)，思想是一般思考方法，方法是一般操作形式。在實(shí)際教學(xué)中，兩者通常泛稱為數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)用十分廣泛。

孔子曰：“學(xué)而時(shí)習(xí)之。”復(fù)習(xí)的地位是相當(dāng)重要的。學(xué)生通過(guò)動(dòng)手、動(dòng)口和動(dòng)腦，回憶、整理和歸納知識(shí)，使知識(shí)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)化。數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)性、邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，散落的知識(shí)點(diǎn)之間通常都是有一定的關(guān)系，通過(guò)復(fù)習(xí)把知識(shí)點(diǎn)串在一起，促使縱橫向融會(huì)貫通。

復(fù)習(xí)課要鞏固基本知識(shí)和技能，還要學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。學(xué)生在解決熟悉的、較簡(jiǎn)單的問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律，揭示其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。學(xué)生掌握知識(shí)的同時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)練習(xí)幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)思想方法，再反過(guò)來(lái)指導(dǎo)實(shí)際生活中數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決。因此，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課可以滲透并強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法，而數(shù)學(xué)思想方法可以提高復(fù)習(xí)效率。

三、一元一次方程中的核心數(shù)學(xué)思想方法

（一）轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是一種最基本的數(shù)學(xué)思想，貫穿整個(gè)中學(xué)知識(shí)。一元一次方程中解方程體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，通過(guò)去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)和系數(shù)化為1等一系列轉(zhuǎn)化步驟，把一元一次方程的各種復(fù)雜形式轉(zhuǎn)化為“x=a”這樣的簡(jiǎn)單形式，即把繁雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題。一元一次方程的應(yīng)用也蘊(yùn)含轉(zhuǎn)化思想，在分析題意之后，把實(shí)際的生活情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立方程后，運(yùn)用純粹的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，隨之解決實(shí)際問(wèn)題。

（二）模型思想

從學(xué)生本身的生活經(jīng)歷和已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，以解決實(shí)際生活的問(wèn)題為歸宿。將現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后再把數(shù)學(xué)問(wèn)題及其解答合理地返回現(xiàn)實(shí)生活中去檢驗(yàn)的過(guò)程，這就是“數(shù)學(xué)建模”。在教學(xué)活動(dòng)中開(kāi)展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活的數(shù)學(xué)意識(shí)。

四、基于數(shù)學(xué)思想方法的一元一次方程復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)

課題：一元一次方程

課型：復(fù)習(xí)課

課時(shí)：共2課時(shí)

教材：北師大版七年級(jí)（上）

教學(xué)目標(biāo)

1. 知識(shí)與技能：理解一元一次方程及解的概念，正確解一元一次方程，會(huì)用方程解決實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

2. 過(guò)程與方法：通過(guò)觀察、比較、分析和概括等學(xué)習(xí)過(guò)程，培養(yǎng)歸納、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力；提高抽象概括能力；滲透分類、等價(jià)、轉(zhuǎn)化和模型思想，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

3. 情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)用一元一次方程刻畫并解決問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的價(jià)值與魅力。

教學(xué)重難點(diǎn)

1. 重點(diǎn)：滲透一元一次方程中蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化思想和模型思想。

2. 難點(diǎn)：在一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題中滲透模型思想。

（一）區(qū)分等式、方程與一元一次方程的概念

師：請(qǐng)同學(xué)們把下列的式子分類，并說(shuō)說(shuō)分類的理由。

4-1=3 5x+4=13 2y-1<4 7+9=16

x2-11=5 y-3>6 x+y=10 x=2

3x3+6=30 6y+4=2y

學(xué)生活動(dòng)：獨(dú)立完成分類，并能正確說(shuō)出分類的依據(jù)，何為等式、方程和一元一次方程。

師：同學(xué)們，結(jié)合上面的練習(xí)題試著用自己喜歡的方式來(lái)說(shuō)說(shuō)等式、方程和一元一次方程這3個(gè)不同概念之間的聯(lián)系和區(qū)別。

學(xué)生活動(dòng)：先獨(dú)立思考，再進(jìn)行4人小組交流，用不同的方式表示這三者的聯(lián)系和區(qū)別。

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)不同概念的材料對(duì)象進(jìn)行分類，發(fā)展學(xué)生的分類思想。在已學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，辨別等式及不等式，初步形成等價(jià)思想。并以等式為元概念，衍生出方程和一元一次方程的概念，以從屬的角度梳理三者的聯(lián)系和區(qū)別，使知識(shí)系統(tǒng)化。

（二）解一元一次方程

師：我們把方程中未知數(shù)的值叫做方程的解，也就是能使得方程兩邊相等的數(shù)。那求解的過(guò)程就叫做解方程。

學(xué)生活動(dòng)：用自己喜歡的方法解一元一次方程。

例1：解一元一次方程■（x-1）=2-■（x+2）。

【設(shè)計(jì)意圖】允許學(xué)生用不同的方法來(lái)解一元一次方程，引導(dǎo)學(xué)生觀察不同方法的相同之處：每一次轉(zhuǎn)化均使方程形式更簡(jiǎn)單，不同的轉(zhuǎn)化過(guò)程，得到的最簡(jiǎn)單形式“x=a”都是一樣，即“殊途同歸”，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想。

學(xué)生活動(dòng)：獨(dú)立完成解方程的練習(xí)，互相批改、糾正，小組交流，嘗試用自己的語(yǔ)言或圖示來(lái)表達(dá)解題步驟、方法。

【設(shè)計(jì)意圖】在學(xué)生掌握方程解法的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)不同水平梯度的練習(xí)題，可以使得不同基礎(chǔ)層次的學(xué)生得到訓(xùn)練，獲得知識(shí)、技能。這4小題屬于“多題同解”的類型，“帶著不同面具”的方程通過(guò)轉(zhuǎn)化得到的最簡(jiǎn)單形式是一樣的，更進(jìn)一步加深對(duì)等價(jià)思想、轉(zhuǎn)化思想的體會(huì)。

（三）一元一次方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用

例1：小明到小強(qiáng)家需要20分鐘，小強(qiáng)到小明家需要30分鐘。兩人分別從家出發(fā)，小明因事延誤出發(fā)，小強(qiáng)比小明早出發(fā)5分鐘，那么小明出發(fā)后需要幾分鐘兩人才能相遇？

【分析思路】第一步：找出問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，兩人相遇時(shí)走的路程之和就是總路程。題干沒(méi)有給出路程的具體長(zhǎng)度，因此把路程看成單位“1”，則小明的速度為■，小強(qiáng)的速度為■。第二步：用文字等式表達(dá)數(shù)量關(guān)系，有兩種不同的表達(dá)方式，即：（1）小強(qiáng)走的全部路程+小明走的全部路程=總路程，（2）小強(qiáng)單獨(dú)走5分鐘的路程+5分鐘后小強(qiáng)、小明一起走的路程=總路程。第三步：設(shè)小明出發(fā)x 分鐘后兩人相遇，用方程表達(dá)數(shù)量關(guān)系：（1）■（5+x）+■x=1；（2）■×5+（■+■）x=1。第四步：解一元一次方程，檢驗(yàn)解的合理性。

通過(guò)相遇問(wèn)題的情境抽象出路程問(wèn)題，再用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示等量關(guān)系，抽象出（1）■（5+x）+■x=1；（2）■×5+（■+■）x=1模型，也就是建立數(shù)學(xué)模型的第一步，實(shí)現(xiàn)了從“境”到“型”的建構(gòu)過(guò)程。

例2：甲、乙兩個(gè)注水口單獨(dú)注滿一個(gè)水池的時(shí)間分別為2小時(shí)、3小時(shí)。乙注水口先單獨(dú)注水1小時(shí)，這時(shí)甲加入一起注水，還要幾小時(shí)才能注滿水池呢？

【分析思路】第一步：找出問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，甲、乙分別注入的水量之和是水池的容量。題干沒(méi)有給出水池的具體容量，因此把水池容量看成單位“1”，則甲注水的速度為■，乙注水的速度為■。第二步：用文字表達(dá)式表達(dá)數(shù)量關(guān)系，有兩種不同的表達(dá)方式，即（1）甲注入的全部水量+乙注入的全部水量=水池的容量；（2）乙單獨(dú)注水1小時(shí)的水量+1小時(shí)后甲、乙一起注入的水量=水池的容量；第三步：設(shè)需要x小時(shí)才能注滿水池，用方程表達(dá)數(shù)量關(guān)系：（1）■x+■（1+x）=1；（2）■×1+（■+■）x=1。第四步：解一元一次方程，檢驗(yàn)解的合理性。

例1和例2分別是行程問(wèn)題和注水問(wèn)題，但均屬于速度、時(shí)間這一類問(wèn)題，具有共同的特征。通過(guò)觀察變化的情境，不變的思維方式思考問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，抽象出規(guī)律，完成“多境”成“型”的建構(gòu)過(guò)程，即形成模型思想的基本模式，如下圖所示：

【設(shè)計(jì)意圖】實(shí)際生活中的許多問(wèn)題都需運(yùn)用方程來(lái)解決，如行程問(wèn)題、工程問(wèn)題及形積變化問(wèn)題等。一一復(fù)習(xí)所有類型的題目在實(shí)際教學(xué)中是不太可行的，因此通過(guò)行程問(wèn)題和注水問(wèn)題的對(duì)比教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同類型的實(shí)際問(wèn)題有共同的東西，抽象出建模思想。

五、結(jié)束語(yǔ)

基于數(shù)學(xué)思想方法的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)研究對(duì)實(shí)際教學(xué)實(shí)踐有一定作用，由于時(shí)間和經(jīng)驗(yàn)有限，本文研究較為粗淺。在今后的教師生涯中，仍要不斷探索、鉆研，總結(jié)提高。

在復(fù)習(xí)課教學(xué)中適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)思想方法，能有效幫助學(xué)生更快地找到解題的方向，更重要的是它能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進(jìn)素質(zhì)教育的全面實(shí)施。數(shù)學(xué)在其他領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，不管以后從事哪種工作，學(xué)生們腦海中已有的數(shù)學(xué)思維和方法能發(fā)揮獨(dú)特的作用，使學(xué)生們終身受益。

“冰凍三尺，非一日之寒”，基于數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)研究是一項(xiàng)長(zhǎng)期的工作。只要我們循序漸進(jìn)，逐步加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，相信學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)思維能力定會(huì)大大提高。