借助幾何直觀 促進數學理解

【摘要】幾何直觀是指借助幾何的形象關系來研究問題的方法，線段圖便是解決百分數實際問題的幾何直觀之一。在數學教學中巧妙利用線段圖，有助于學生表征問題的成分和結構，將抽象的數量關系轉化為對數量關系的直接感知，以達到對數學問題結構性的理解。

【關鍵詞】線段圖；幾何直觀；數學理解

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）65-0068-02

【作者簡介】楊穎芳，江蘇省無錫市玉祁中心小學（江蘇無錫，214183）副校長，高級教師。

幾何直觀是指利用圖形描述和分析問題的方法，“幾何”二字應理解為研究工具，而“直觀”是指研究問題的方式和手段。幾何直觀的研究對象不僅包括幾何學范疇，還包括數量之間的關系。正如數學家徐利治先生指出的：幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知。作為一種幾何直觀，線段圖是由幾條線段組合在一起，用來表示實際問題中的數量關系，幫助人們分析題意，解答問題的一種平面圖形。在數學學習中，學生可借助線段圖來表征問題的成分和結構，將抽象的數量關系轉化為對數量關系的直觀感知，以達到對數學問題結構性的理解，從而促進問題的解決。幾何直觀理念對數學教學具有重要價值，教師要注意引導學生將抽象的數學問題與直觀的線段圖有機結合，幫助學生打開思維的大門。下面，筆者以“百分數實際問題”的教學為例，談談線段圖的實踐運用。

一、教材分析

蘇教版六上“百分數”單元的例10、例11是兩道稍復雜的實際問題，已知一個數的百分之幾是多少，求這個數。教材是循著理解題意—分析數量關系—列方程解答—檢驗反思的線索編排的。為了幫助學生理解題意，教材先呈現不完整的線段圖，引導學生根據題意把線段圖填寫完整，并初步感知題目中條件和問題之間的聯系，這一過程讓學生在符號語言（數）與圖形語言（形）之間建立了聯系。

二、教學實施

以例10的“理解題意”“分析數量關系”兩個教學環節為例，下文呈現幾何直觀在這個環節的具體運用：

出示例10：馬山糧庫要往外地調運一批糧食，已經運走了60%，還剩48噸。這批糧食一共有多少噸？（學生自主讀題后說說題中的已知條件和問題）

師：根據哪個條件可以找到單位“1”？是把哪個數量看作單位“1”？

生：根據“已經運走了60%”，把一批糧食的噸數看作單位“1”。

師：60%是已知量48噸相對應的百分率嗎？（生說不對應）看來這道百分數實際問題比較復雜，光看文字敘述，你能馬上求出這批糧食一共有多少噸嗎？（大部分學生搖著頭說有點困難）

師：面對這種復雜的百分數實際問題，同學們有什么建議？（學生不約而同地說可以畫線段圖） 師：這個線段圖怎么畫呢？（在師生對話中教師在黑板上呈現線段圖，見圖1）

由于學生已經具有解決簡單分數、百分數實際問題時畫線段圖的經驗，所以習慣于把分率或者百分率標在線段的下方，把具體的數量標在線段的上方，這樣畫有助于學生區分分率和具體的數量。

師：有了線段圖，你愿意看著原來的文字思考，還是愿意看線段圖思考？為什么？

生1：看線段圖思考，線段圖能把題中的意思都表達清楚，且非常簡潔明了。

生2：從線段圖上我一眼就看出已經運走的60%，是一批糧食的60%，48噸所對應的百分率應該是1-60%。

生3：看著線段圖，我知道了“一共的糧食數-運走的糧食數=還剩的48噸”。

師：是啊，線段圖將抽象的數學問題直觀化了，借助線段圖，變“看不見”為“看得見”了，數量關系一目了然。

對學生而言，純文字形式呈現的復雜的百分數實際問題相對比較抽象，大部分學生很難直接看出題中的數量關系。此時，學生遇到困難，教師順勢引入線段圖的解答方法。在具體教學環節中，出示例題后，教師并未直接指導學生馬上畫圖，而是讓學生真真切切地感受“這道百分數實際問題比較復雜，光看文字敘述，不能馬上求出這批糧食一共有多少噸”，以此誘發學生畫圖的需要。待線段圖完成后，教師啟發學生思考“你愿意看著原來的文字思考，還是愿意看線段圖思考？為什么？”學生自然而然就感受到“線段圖能把題中的意思都表達清楚，非常簡潔明了”“48噸所對應的百分率應該是1-60%”，進而明晰解題思路：一共的糧食數-運走的糧食數=還剩的48噸。在這一教學過程中，教師精選習題，巧設思維障礙，這樣方可幫助學生充分體會線段圖在描述數學問題、探尋解題思路等方面的價值和作用。

三、課后延伸

借助線段圖來幫助學生理解抽象數量關系的方法不能僅在新課講授上使用，更要在課后開展有針對性的訓練，以增強學生主動使用線段圖解決實際問題的意識，不斷積累借助圖形直觀分析和解決問題的經驗，感受幾何直觀在解決問題中的作用。其中教材的“練習17”“練習與測試”題組訓練值得關注。

（1）一根繩子剪去20%，正好剪去3米。這根繩子原來長多少米？

（2）一根繩子剪去20%，還剩12米。這根繩子原來長多少米？

這兩道題都是把一根繩子的長度看作單位“1”，題（1）中剪去的20%是3米對應的百分率，題（2）中20%卻不是12米對應的百分率。下面是兩位學生的解題情況：

練習中，當教師沒有把畫線段圖作為解題的硬性規定時，學生通常都會出現上述兩種情況，一種是“老師不作畫圖要求就不畫圖”，另一種是主動將數譯成形。前者的解題質量通常非常低，這時教師不能簡單認為這是因為學生粗心所致，而應該去充分關注“差錯”背后的真正原因——他們在答題時并未理解抽象的文字敘述，不能理清數量之間的關系，從而導致機械模仿；而采用第二種方法的學生已經能夠根據實際問題靈活畫圖，進而解決實際問題，他們已經進入良性循環的狀態。

當然，線段圖只是幾何直觀中的一種形式，幾何直觀在數學中無處不在，直觀本身不是目的，而是手段。因此，教師在數學教學中應讓學生借助直觀，以實現由“表”及“里”的理解。