程序性知識典型錯題的成因分析及教學策略

夏春峰

【摘 要】程序性知識典型錯題是學生在運用數學“怎么做”知識時發生的錯誤。這類知識的錯誤在實踐和研究中占大多數，究其原因，一方面是沒有理解陳述性知識的意義，另一方面是沒有掌握程序性知識本身。學生如果沒有掌握這類知識，必將影響其策略性知識的掌握和運用。對此，在研究中梳理和剖析程序性知識典型錯題的表現及成因，并提出相應的教學策略。

【關鍵詞】程序性知識；典型錯題；歸因分析；教學策略

程序性知識是有關“怎么辦”的知識，主要涉及概念和規則的應用。作為小學數學程序性知識，是關于小學數學領域“做什么”“怎么做”的知識，其思維條理化為數學程序性知識的主要特征，演繹、推理為主要表現方式。

什么是數學程序性知識典型錯題？我們認為，學生在運用數學程序性知識解題時，在口答、書面作業或檢測中反映出來的錯誤率較高（全班的錯誤率≥15%）的數學錯題，稱之為程序性知識典型錯題。程序性知識典型錯題可以從錯誤出現的人數多、頻率高、糾正難等幾個維度去判斷鎖定。據不完全統計，程序性知識典型錯題在各類知識典型錯題中占60%以上。所以，梳理、分析和應用程序性知識典型錯題對改進小學數學教學有著十分重要的作用。

一、程序性知識典型錯題的成因分析

在實踐中，我們發現產生程序性知識典型錯誤的主要原因有以下這些方面。

（1）“怎么做”的程序目標不明。程序性知識是關于“怎么做”的知識，在“怎么做”前首先需要明確“做什么”的程序目標，偏離了目標，那“怎么做”的程序就毫無意義了。

【典型錯題1】甲、乙兩人跑同樣長的一段路，甲要16分鐘，乙要20分鐘，甲跑得速度比乙快百分之幾？

學生錯解：（20-16）÷20=20%

顯然，學生把所要解決的問題“甲跑得比乙快百分之幾”，誤解成了“甲跑的時間比乙少百分之幾”，這里的“甲跑得比乙快百分之幾”實質上是“甲跑的速度比乙跑的速度快百分之幾”。對“做什么”理解有誤，那也就是偏離了“怎么做”的程序目標。

（2）“怎么做”的信息提取有誤。程序性知識在明確“做什么”的程序目標后，需要圍繞目標的達成和解決，選擇有用的信息執行“怎么做”。

【典型錯題2】在直徑為9米的圓形花壇外面有一條寬1米的環形小路。這條小路的面積是多少？

學生錯解1： 學生錯解2：

學生知道，求圓環（小路）的面積是外圓的面積減去內圓的面積，然后，在選擇外圓或內圓的半徑時，出現了錯誤。“錯解1”把“（9+1）÷2=5.5米”當作了圓環的外圓半徑，“錯解2”先把“9÷2=4.5米”當作外圓的半徑，而把環寬的一半“1÷2=0.5米”當作了內圓的半徑。造成這一信息提取錯誤的根本原因是對“小路寬1米”也就是對環寬的理解不到位。

（3）“怎么做”的程序規則不清。程序性知識在“怎么做”時，需要遵循有關“規則”來做，如果學生對有關“規則”理解不清或掌握有誤，那么在“怎么做”時就會發生“規則錯誤”。這種錯誤往往發生在計算法則、運算順序、定律、性質、計算公式等的運用上。

【典型錯題3】計算：32+20×3

學生錯解：32+20×3=52×3=153

這一錯誤就是違背了“先乘再加”這一“規則”，而主要原因是學生對這一“規則”的不理解和沒掌握。

（4）“怎么做”的程序環節缺失。程序性知識在“怎么做”時需要環節緊扣，步步推進，如果缺失某一環節往往就會發生錯誤。

【典型錯題4】用簡便方法計算：[49]×2.8+7.2÷[94]

學生錯解：[49]×2.8+7.2÷[94]=[49]×[94]×（2.8+7.2）=1×10=10

從上述的典型錯解中，可以看出學生知道可用乘法運算定律來簡算，但由于缺失了把“7.2÷[94]”先轉化為“7.2×[49]”這一環節，使得學生為“湊整”而違背運算規則來所謂的簡算。如果提醒和強化學生在簡算前先把“7.2÷[94]”轉化為“7.2×[49]”，那么，學生能一下子判別接下去的環節可用乘法分配律來簡算。所以，對此類錯題的教學需要強化“轉化”這一前置環節的引導和訓練。

（5）“怎么做”的程序思維僵化。程序性知識的“怎么做”往往是有程序的，有“規則”可循，然而如果程序思維僵化，套用“規則”，就往往會產生“重外形，輕本質”的錯誤。

【典型錯題5】一個運動場如下圖，兩邊是半圓形，中間是長方形。這個運動場的周長是多少米？

[o][100m][32m]

學生錯解：3.14×32×2+（100+32×2）×2=528.96（米）

從上述典型錯解中，可以看出這是一種明顯的套用圓的周長和長方形周長計算公式的程序僵化，改變這一僵化思維的關鍵是要真正理解“這個組合圖形周長”的含義。

二、程序性知識典型錯題的教學策略

對于程序性知識典型錯題的教學，要從兩方面入手，一方面是典型錯題出現前的提前干預；另一方面是學生錯誤產生后的改錯糾錯。

（一）提前防錯的干預策略

提前防錯是指教師預設學生可能產生的錯誤，在學生做題前，提前干預，將錯誤阻止在“萌芽”狀態，使學生頭腦中構建起“怎么做”的正確思路和方法。提前干預的策略有：

1.加強陳述性知識教學，為“怎么做”夯實程序基礎

陳述性知識是關于“是什么”的知識，在小學數學中主要是指概念、法則、公式、性質、定律等，而這些知識是關于程序性知識“怎么做”的基礎。比如，學生對于乘法分配律都沒有理解和掌握，那他怎么會運用這個定律進行有關的簡算呢？所以，陳述性知識是程序性知識的基礎，只有知道了“是什么”，才能知道“怎么做”。

2.范例教學，為“怎么做”提供程序規范

程序性知識在操作活動或心智活動時，有著一定的思維操作程序，因此程序性知識典型錯題教學，可采取范例教學法，幫助學生掌握其思維操作程序。所謂范例教學法，是指學習時按照課本提供的范例，將數學程序性知識的思維操作程序一步一步地展現出來，然后根據這種程序逐步掌握程序性知識關于“怎么做”的心智活動。

小學數學課本中的例題就是關于“怎么做”的范例，所以加強例題的思維操作程序教學顯得十分重要。如“解方程”例3（人教版教材五年級上冊第68頁），課本中展示了如何解形如“a-x=b”此類方程的思維操作步驟：第一步是等式兩邊加上相同的式子；第二步等式兩邊互換位置；第三步等式兩邊同減9，就得到x=11；第四步把x=11代入原方程中進行檢驗。學習時只需要明確范例所反映的此類方程的解題程序和方法，并按照這種程序和方法進行求解即可掌握此類解方程的程序性知識和技能。

3.預設錯例，為“怎么做”實施防錯策略

教師根據教學規律、教學經驗和知識的重難點，可以對學生在“怎么做”時可能會產生的典型錯誤做出預設，通過預設學生的典型錯例，改進教學，實施提前干預。

【典型錯題6】求下圖平行四邊形的面積。

[10.8cm][10cm][8cm]

學生錯解1：10.8×8

學生錯解2：10×8

從上述典型錯例中可知，對于平行四邊形面積的計算方法，必須關注“底”和“高”的對應問題，因此，教師在推導平行四邊形面積計算公式的新授課時，可以切入預設性錯誤，先讓學生大膽設想，下面平行四邊形的面積怎么計算？學生可能有三種預設性方法，其中2、3種是預設性錯誤。

先來猜猜這個平行四邊形的面積可以怎么求？

[高4米][底6米][鄰邊5米]

預設1：用“底×高”計算：6×4=24（平方米）

預設2：用“底×鄰邊”計算：6×5=30（平方米）

預設3：用“鄰邊×高” 計算：5×4=20（平方米）

這三種方法，哪種才是計算平行四邊形面積的正確方法呢？通過探究使學生真正理解平行四邊形面積的計算方法是“底×高”，就是必須“底×所在底上的高”。

（二）錯誤生成的糾錯策略

學生有些錯誤是難以預設的，為此，當學生錯誤生成后，教師更多地需要采取有效的糾錯策略，促進學生數學知識的意義建構。學生錯誤生成后，首要的是尋找錯因，只有使學生明確了錯誤原因，才能對癥下藥，改錯糾錯。尋找錯因，教師可以從以下幾方面入手。

1.目標有否偏失：“做什么”的問題，我把握了嗎

一些問題限于學生的理解能力和認知水平，往往使學生對問題的把握失誤，從而造成了解決問題目標的偏失。

【典型錯題7】右圖是某學校教師喜歡看的電視節目統計圖，喜歡看“新聞聯播”的人數比喜歡看“焦點訪談”的多幾分之幾？

學生錯解：28%-15%=13%

學生以為求喜歡看“新聞聯播”的人數比喜歡看“焦點訪談”的多幾分之幾，就是把喜歡看“新聞聯播”的占28%和喜歡看“焦點訪談”的占15%相減就行了。針對這一典型錯解，教師可讓學生說說問題“喜歡看‘新聞聯播的人數比喜歡看‘焦點訪談的多幾分之幾”表示求什么人數占什么人數的幾分之幾，使學生對問題有一個正確的了解，糾正偏離“做什么”的程序目標。

2.信息有否誤讀：“怎么做”的信息，我讀透了嗎

【典型錯題8】學校有一個正方形花壇，四周種了一圈綠籬，綠籬總長28米。這個花壇的面積是多少？

學生錯解：28×28=784（平方米） ，答：這個花壇的面積是784平方米。

學生在閱讀理解提取信息時，把“四周種了一圈綠籬，綠籬總長28米”這一信息當作花壇的邊長了，所以造成了上述的錯解。

3.程序有否出錯：“怎么做”的程序，我到位了嗎

有些程序性知識典型錯例，是由于學生“怎樣做”的程序不到位造成的。

比如，前面的“典型錯題4”，用簡便方法計算：[49]×2.8+7.2÷[94]，錯誤的出現往往是沒有先把“7.2÷[94]”轉化成“7.2×[49]”這一前置環節而造成的。所以，針對這一錯解，要讓學生先轉化，然后觀察數據特點，應用相關的運算定律進行簡算。

總之，程序性知識典型錯題是學生在運用數學“怎么做”知識時發生的錯誤，這類知識的錯誤在實踐和研究中占大多數。我們只要把握這類錯題關于“怎么做”程序性的錯因，進而預設錯因，巧用錯例，改進教學。

（浙江省紹興市上虞區百官小學 312300）endprint