線性代數課程結合幾何直觀的啟發式教學法探討

夏春光

摘要：線性代數課程的概念，定理和方法具有很強的邏輯性和抽象性。本文探討線性代數課程中結合幾何直觀的啟發式教學方法。利用對行列式、線性相關性、線性方程組、施密特正交化等重要概念，定理和方法的幾何直觀解釋，教師可激發學生學習興趣，啟發學生自我思考，從而提升學生的抽象思維能力。

關鍵詞：線性代數；啟發式教學；幾何直觀

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1671-1580（2017）09-0046-03

線性代數是高等院校的一門重要的數學基礎課程，此課程的特點是其概念，定理和方法具有很強的邏輯性和抽象性。對于只接受過初等代數訓練的學生來說，普遍感到要深入理解并掌握課程的概念、理論和方法比較吃力。相比較代數理論推導，直觀的幾何解釋更容易被學生所接受。事實上，空間解析幾何實際上研究的是三維線性代數，而一般的N維線性代數可看作是N維的解析幾何。從幾何的觀點來看待線性代數中的概念和理論會顯得更自然，幾何直觀解釋可以讓學生更容易理解線性代數中的抽象概念，比如：線性空間中的基本運算實際上就是向量的線性運算，線性相關的概念可以看作是向量共線、共面概念的推廣，二次型理論源自于二次曲線、二次曲面理論等。

啟發式教學是指教師在教學過程中根據教學任務和學習的客觀規律，從學生的實際出發，采用多種方式，以啟發學生的思維為核心，調動學生學習的主動性和積極性，促使他們生動活潑地學習的一種教學指導思想。啟發式教學的關鍵在于設置問題情境。下面我們以線性代數中行列式、線性相關性、線性方程組、施密特正交化等幾個重要的概念，定理和方法為內容，結合相應的幾何直觀來探討如何進行啟發式教學。

一、幾個概念、定理和方法的幾何直觀解釋

（一）行列式

行列式是線性代數中重要的基本概念，也是求解線性方程組的重要工具。一個重要的幾何事實是：二階行列式表示以它的兩個列向量為邊的平行四邊形的有向面積。在教學中設置關于面積求解的一些問題，學生容易理解，也會更加感興趣。例如在講解行列式性質的時候，可以先讓學生思考如下的問題。

1.延長或縮短平行四邊形的一條邊，保持另一邊不變，其面積是否將擴大或縮小相應倍數？顯然，結論是肯定的。相應的行列式性質是：倍乘行列式的一行相當于倍乘此行列式。

2.兩個平行四邊形同底等高，則它們的面積是否相等？顯然，結論是相等的。相應的行列式性質是：把行列式一行的倍數加到另一行，行列式的值保持不變。

3.將平行四邊形兩條邊的位置互換，則兩條邊的位置關系由逆時針（或順時針）變為了順時針（或逆時針），面積大小是否改變？顯然，結論是不改變。相應的行列式性質是：對掉行列式中兩行的位置，行列式變號，絕對值不變。

這樣很容易讓學生理解三種基本初等變換對應的行列式性質。在教學中可以進一步啟發學生思考三階行列式的直觀幾何解釋：三階行列式表示以它的三個列向量為邊的平行六面體的有向體積。進一步理解行列式的性質。

（二）線性相關性

線性相關性是線性代數課程中最重要的內容之一，也是學生最難以透徹理解的內容之一。涉及的相關概念包括：線性相關，線性無關，線性表出，線性組合等。學生對這些概念往往會產生混淆，涉及到相關證明時經常無從下手。在教學中設置向量的共線、共面問題，學生更容易理解。比如在講解線性相關時，可以先讓學生思考如下問題。

1.在平面直角坐標系中，兩個向量共線，則它們的坐標滿足什么條件？結論是：其中有一個向量的坐標是另一個向量坐標的倍數。在三維直角坐標系中，三個向量共面，則它們的坐標滿足什么條件？結論是：其中有一個向量的坐標是其余兩個向量坐標的線性組合。這兩個問題相應的概念就是線性相關，問題的反面就是線性無關的概念。

2.在三維直角坐標系中，取兩個不共線向量，由此兩個向量線性表出的向量（個數多于三個）滿足什么樣的幾何特點？結論是：他們都在這兩個向量所在的平面上。這解釋了向量組的一個基本性質：假設前一個向量組由后一個向量組線性表出，且前一個向量組個數更多，則前一個向量組必線性相關。

這樣就容易讓學生理解線性相關、線性無關的基本概念，以及向量組表出的基本性質，并且對這些概念之間的區別也更加容易理解。當然，在實際教學中涉及到線性相關、線性無關的證明時，還需要通過一定量的練習教會學生在理解概念的基礎上掌握基本的代數推導技巧。

（三）線性方程組

線性方程組是貫穿整個工科類線性代數課程的一條主線。其主要問題就是求解線性方程組，由于非齊次線方程組可以由相應的齊次線性方程組的通解加上非齊次線線方程組的一個特解得到，所以問題就轉化為如何求解齊次線性方程組的通解。線性方程組解的結構定理，學生往往理解不夠透徹。初等的觀點是用高斯消元法直接求解，而高等的觀點是認識到解集合是一個線性空間，求解的過程實際上是刻畫解空間的過程。在教學中設置向量的垂直問題，學生更容易理解。比如，可以讓學生思考如下問題。

1.在三維直角坐標系中，與一個給定的非零向量垂直的所有向量有哪些？顯然，這些向量就是與給定向量垂直的經過原點的平面，換句話說，就是以給定向量為法向量的過原點的平面空間。其相應的代數事實是：平面空間中所有向量對應的解就是以這個給定的非零向量為系數的三元齊次線性方程組（只含有一個方程）的所有解，這一方程組的基礎解系就是平面空間的一組基。

2.在三維直角坐標系中，與兩個給定的不共線（即線性無關的）向量都垂直的所有向量有哪些？顯然，由于給定的兩個向量不共線，所以它們確定一個平面，所要找的向量就是與它們確定的這個平面垂直的且經過原點的直線，換句話說，就是它們確定的這個平面的法向量空間。其相應的代數事實是：法向量空間中所有向量對應的解就是以這兩個給定的不共線的向量為系數的三元齊次線性方程組（含有兩個方程，對應給定的兩個向量）的所有解，這一方程組的基礎解系就是法向量空間的一組基。endprint

3.在三維直角坐標系中，與三個給定的不共面的（即線性無關的）向量都垂直的所有向量有哪些？顯然，由于給定的三個向量不共面，所以它們確定一個三維空間，而整個空間就是三維的，所以它們確定的就是整個三維空間。所要找的向量就是與整個空間都垂直的且經過原點的向量，當然只有零向量。其相應的代數事實是：以這三個給定的不共面的向量為系數的三元齊次線性方程組（含有三個方程，對應給定的三個向量）只有零解。

這樣就容易讓學生理解求解齊次線性方程組就是刻畫解空間。在同構的意義下，給出線性空間的一組基就說明刻畫清楚了這個空間，而求出基礎解系就是找出了解空間的一組基。進一步，齊次線性方程組中每個方程的系數對應的向量與解空間的向量是正交的，因而這些向量生成的子空間與解空間是互補的。由此可知：齊次線性方程組系數矩陣的秩（等于上述向量生成的子空間的維數）加上基礎解系中線性無關的向量個數（等于解空間的維數）等于方程未知量的個數（整個空間的維數）。這就是齊次線性方程組解的結構定理的幾何解釋。

（四）施密特正交化

施密特正交化是把一個線性無關的向量組變成一個單位正交向量組的重要方法。在對稱矩陣的對角化過程中，需要對所得到的特征向量進行施密特正交化。其計算步驟中正交化過程的公式，很多學生不理解，導致記不住公式。在教學中設置向量的垂直問題，學生更容易理解。比如，可以讓學生思考如下一些問題。

1.平面上能否找到三個兩兩垂直的非零向量？空間中能否找到四個兩兩垂直的非零向量？顯然，這兩個問題答案都是否定的。相應的代數事實是：N維歐式空間中兩兩正交的非零向量不超過N個。

2.在平面上，取兩個不共線的（起點相同的）向量，考慮其中一個向量在另一個向量（或延長線）上的垂直投射，這樣的垂直投射是線性變換嗎？答案是肯定的，而且這樣的投射稱為內射影。

這樣就容易讓學生理解正交的性質，以及施密特正交化過程，而單位化的過程很容易理解，即延長或縮短向量長度，使得長度變為1。從直觀幾何的角度來看三維線性空間的施密特正交化過程，可以粗略地描述為：將一個仿射坐標系（坐標軸未必兩兩垂直，各個坐標單位長度未必為1）掰成標準直角坐標系（坐標軸兩兩垂直，各個坐標單位長度為1）。

二、結束語

通過上述分析，我們可以看出在線性代數課程教學中設置一些容易理解的幾何問題，諸如本文述及的平行四邊形的面積求解問題（對應行列式的性質），直角坐標系中向量的共線、共面問題（對應線性相關，線性無關的概念），三維空間子空間的正交補空間問題（對應線性方程組解的結構定理），三維空間的向量垂直問題等（對應施密特正交化方法），有助于激發學生的積極性，啟發學生自我思考，從而深刻理解線性代數課程中的相關概念，定理和方法，提升學生的抽象思維能力。

此外，諸如線性方程組的解與空間平面的交的問題，最小二乘法與點到平面最短距離問題，線性子空間的直和與直線與平面位置關系問題，以及二次型的化簡與二次曲面標準化問題，在教學中都可以通過設置適當的幾何直觀問題來提升學生對相關概念，定理或方法的深刻理解。這樣結合幾何直觀的啟發式教學有利于啟發學生的思維，調動學生學習的主動性和積極性，促使學生能更好地掌握線性代數的相關概念，定理和方法，提高教學效果。

[責任編輯：韓璐]endprint