從“維恩圖”到“線段圖”

張錦

摘要：數學模型的抽象化，勢必需要具體手段加以輔助。利用維根圖，可以形象而直觀的表示一些對象的整體性，對于構建加法、減法、分數數學模型起到推動作用。利用線段圖的優勢則體現在直觀清晰建立一一對應、等價、多、少等數學模型上。

關鍵詞：韋恩圖；線段圖；數學模型；集合；抽象；形象

數學模型是關于部分現實世界為某種目的的一個抽象的簡化的數學結構。這種抽象化、簡約化，勢必需要用形象、具體的手段做輔助，實現其“拐棍”作用。

我們最先想到的往往是線段圖，其操作簡便易行，且便于分析理解。但對于小學生來說，特別是低年級學生，是否也具有一定的抽象性呢？

在線段圖中，一條線段表示的往往是一個量的多少。一條線段也就是一個整體，這里面也就有了集合思想。這種整體性，有時不如用“維恩圖”更形象。

維恩圖就是把具有某種屬性的一些對象，用封閉的曲線圈起來看作一個整體，這個整體就是一個集合，圈內的對象就是集合的元素。用維恩圖能為學生構建模型起到很好的推動作用。

數學內容有時本身就是一種數學模型。比如：

自然數是表述有限集合“數數”過程的數學模型；

加法是“合并”、“添加”的數學模型；

減法是“拆分”、“減少”的數學模型；

分數是平均分派物品的數學模型。

上面所說的數學模型是否都蘊含“整體與部分”的關系？這種“整體與部分”的關系是否用“維恩圖”更能說明問題？

1.一年級學生“認識10以內的數”，用維恩圖表示6個人，6本書，6支鉛鉛筆……，在此基礎上抽象出“6”，學生抽象出自然數是“非空的、等價的”這一數學模型。

2.對于加法，我們不可能給一年級的學生下定義，下面的維恩圖是否能幫助學生理解？

（1）求下面圖1和圖2一共有多少小正方體，用圖3幫助學生理解“合并”的數學模型。

（2）如果從圖1再增加3個小正方體，變成圖3也能幫助學生理解“添加”的數學模型。

3.減法是加法的逆運算，看看維恩圖又有哪些作用。

（1）圖4，表示的是把一個整體分成兩部分，已知其中的一部分，求另一部分，也就是“拆分”的數學模型。

（2）圖5，表示的是從一個整體去掉其中的一部分，求另一部分，也就是“減少”的數學模型。

7個

4.有了前面的認識，學生對加減混合的學習，也可以利用維恩圖研究：

有了圖6，學生理解4+5-3也就不困難了。

5. 分數是平均分派物品的數學模型。平均分就是要把一個整體平均分，表示這樣的幾份。圖7是否能幫助學生理解呢？

上面所說的都是存在“整體與部分”關系的數學模型。老師們可能會想到，在數學上兩個量的比較，其應用性更為廣泛。比如 ，低年級學生先從“兩個量比多少”開始學起，“比”之后，就有同樣多、誰多、誰少的結果。

圖8，在一一對應中，滲透“等價”的數學模型。

圖9，在一一對應的基礎上，理解○在與△同樣多的基礎上，還多出3個，理解“多”的數學模型。

但隨著數量的增多，利用維恩圖還能發揮作用嗎？比如，35個△和49個○比多少，我們難道用維恩圖真得要畫出35個△和49個○嗎？

如果用簡約化的維恩圖（圖10）幫助學生理解，特別是一一對應、等價、多、少的數學模型建立，其二維性，就不如線段圖直觀、清楚了。這時，線段圖就能很好的發揮作用了（如圖11、圖12）。

這樣，學生利用線段圖更容易“比”，在“比”線段長短的過程中，“比”出誰多誰少，多多少，少多少。

一個量比另一個量多幾（或少幾），需要這樣去“比”，那關于兩個量的“倍數關系”、“分數關系”，就更需要線段圖了（如圖13、圖14）。

教學過程中，需要直觀的輔助手段，給抽象化、簡約化的數學模型提供形象支撐。但選擇的輔助手段合適與否還需要我們深入研究。就像從“維恩圖”到“線段圖”……

參考文獻：

[1] 溫寒江.小學數學教學與創新能力培養[M]. 北京：北京科學技術出版社，2006.1：53—72