數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學解題中的應用

幸建

摘 要：數(shù)形結(jié)合方法是高中數(shù)學解題的重要方法，它貫穿高中數(shù)學學習的全過程，在解決數(shù)學問題時把“數(shù)”和“形”有機結(jié)合起來，就可以使抽象的代數(shù)問題和復雜的幾何問題容易解決，因此，掌握數(shù)形結(jié)合方法能提高解題效率。對數(shù)形結(jié)合方法在解題中的應用方法進行了深入探究。

關鍵詞：高中數(shù)學；數(shù)形結(jié)合；解題方法

數(shù)形結(jié)合方法是高中數(shù)學解題的重要方法，其核心就是把抽象的代數(shù)式子和直觀形象的幾何圖形結(jié)合起來研究和解決數(shù)學問題，其應用重點就是把代數(shù)問題與幾何問題進行相互轉(zhuǎn)化，從而使抽象復雜的數(shù)學問題得以輕松解決。利用數(shù)形結(jié)合方法解題，主要分兩種形式：一是“以形助數(shù)”，把某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，揭示數(shù)學問題的本質(zhì)；二是“以數(shù)定形”，把直觀圖形數(shù)量化，使形更加精確。筆者結(jié)合教學實踐，對數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學解題中的應用談幾點

體會。

一、數(shù)形結(jié)合方法在解三角函數(shù)題中的應用

對于某些三角函數(shù)的定義域、值域問題用直接法求解比較麻煩時，如果運用數(shù)形結(jié)合的方法，把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化成幾何圖形問題來解決，就可以方便地找到解決問題的方法。

例1.已知三角函數(shù)y=■，求其值域。

解析：對于這樣的函數(shù)問題，如果直接來求其值域，比較麻煩不易求解。根據(jù)直線的斜率公式k=■，把三角函數(shù)變形為：

y=■，這樣就能把三角函數(shù)y看成是過一個固定點

P（5，-4）和一個動點M（sinθ，cosθ）這兩點之間的直線的斜率k。通過轉(zhuǎn)化就把“數(shù)”的問題變成了“形”的問題。如果假設x=sinθy=cosθ，運用sin2θ+cos2θ=1這個三角函數(shù)的公式，就能得出：x2+y2=1，此時可求出動點M的運動軌跡是半徑為1的圓。這樣就把所求問題變成求定點P和單位圓上的任意一點M連線斜率k的取值范圍問題。可把直線的方程表示為y+4=k（x-5），整理方程可得：kx-y-5k-4=0，然后再根據(jù)根據(jù)圖1可得出：圓心到直線的距離小于等于1，列出式子■≤1，這樣求出k的值即為函數(shù)的值域。通過運用數(shù)形結(jié)合的方法，問題就能輕松解決。

二、數(shù)形結(jié)合方法在解圓錐曲線題中的應用

由于圓錐曲線的定義是用數(shù)和形結(jié)合的方法來對曲線下的定義，在解析幾何解題中數(shù)形結(jié)合的方法應用非常廣泛，也是解決這類題目的最好方法。在這部分內(nèi)容的教學時，要讓學生從數(shù)和形兩個方面來認識和理解曲線問題，這樣就能讓學生對題目有直觀形象的認識的同時，還能掌握問題的數(shù)量關系，使問題容易解決。

例2.已知一個動圓C與一個定圓C1∶（x+4）2+y2=100相內(nèi)切，與另一個定圓C2∶（x-4）2+y2=4相外切，求：這個動圓的圓心的軌跡方程。

解析：要求解出這個動圓的軌跡方程，可以運用數(shù)形結(jié)合的方法，借助圖形的直觀性，根據(jù)題目所給的條件畫出圖形，通過畫輔助線，假設圓心是P，從圖形關系中就能求出圓C的軌跡是一個橢圓。

假設動圓的圓心為P（x，y），其半徑為r。因為定圓C1的圓心是（-4，0），半徑r1=10；定圓C2的圓心是（4，0），半徑r2=2。由于圓C和圓C1內(nèi)切、和圓C2外切，可由此得出（C1P）=10-r，（C2P）=2+r，（C1P）+（C2P）=12>（C1C2）=8，從圖中看出動點到兩個定點的距離的和為定值12，所以a=6，c=4，由此可求出b2=a2-c2=20。最后求出動點的軌跡方程是■+■=1。

三、數(shù)形結(jié)合方法在解不等式題中的應用

在求解不等式問題有時難以找到思路或者計算過程比較麻煩，如果運用數(shù)形結(jié)合的方法就能形象直觀地解答問題或容易找到解題思路。在利用該方法解題時：首先要求出不等式表示的函數(shù)，然后畫出函數(shù)的圖像，再通過函數(shù)圖像和坐標軸的交點或圖像之間的交點來解不等式問題。

例3.某旅行社想租用A、B兩種型號的客車安排900名客人去旅行。A型客車能載客36人，租金為1600元/輛；B型客車能載客60人，租金為2400元/輛。旅行社要求租車的總數(shù)不超過21輛，而且B型車不多于A型車7輛。求：最少的租金是多少？

解析：可假設旅行社租用A型車x輛，B型車y輛，總租金為z元。則可以列出題目所給的線性約束條件是x+y≤21y-x≤736x+60y≥900，并且x≥0，x∈Ny≥0，y∈N，所求的目標函數(shù)是z=1600x+2400y。畫出這幾條直線的圖形就可以看出，符合要求的區(qū)域范圍，從圖中可以看出：目標函數(shù)z=1600x+2400y在經(jīng)過A（5，12）點時，能取得最小值，把A點的坐標值代入z函數(shù)中，可求出z=1600x+2400y=1600×5+2400×12=36800（元）。用這種方法把不等式問題進行轉(zhuǎn)化，問題就很容易解決。

總之，數(shù)形結(jié)合的方法對高中數(shù)學解題非常有幫助，教師在教學中應注重對數(shù)形結(jié)合的思想和方法的運用，讓學生掌握其本質(zhì)并能靈活加以運用，就能提高數(shù)學解題效率。

參考文獻：

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編輯 姚曉媛endprint