向量在解決高中數學問題中的應用

張麗

【摘 要】作為高中數學學科的重要內容，向量不僅具有“數”的量化特性，也具有“形”的方向特性，其在高中生解決高中數學綜合題目中常常可以起到化繁為簡的作用，尤其適用于三角函數、解析幾何和立體幾何等部分數學問題的求解。本文基于高中生視角，就向量在解決高中數學問題中的應用進行了深入探究。

【關鍵詞】高中數學；向量；應用方法

向量是數學領域內非常重要的一個概念和工具，其幾乎涵蓋于高中數學學科的全部內容，可以為高中生解決某些復雜的數學問題提供新的思路和方法，尤其是有助于簡化解題過程，避免大量重復性計算，同時也可以提高解題的準確率和效率。因此，如何才能有效地深化我們高中生對于向量的理解和認識，提高我們運用向量來解決高中實際問題的能力值得深入探討。

1.在平面幾何題求解中的應用

向量不僅是擁有大小的“量化”指標，也是具有方向的“抽象化”指標，這決定了其不僅可以反映點或線段之間的長度大小，也可以對其位置關系進行直觀反映。根據性質的不同，可以將向量分成零向量、共線向量和平行向量。通過分析向量的性質，我們很容易發現其和平面幾何中點和線段之間的大小和位置關系具有很強的相似性，所以如果可以在平面幾何問題求解過程中可以引入向量觀念，那么往往可以使我們高中生更快地找到解決有關數學問題的突破口，有助于提高我們解題的準確度與效率。

例1：已知某三角形ABC的三個頂點坐標分別為A（0，-2）、B（2，0）、C（-3，1），線段AB、AC、BC的重點分比為M、N和Q，試求直線MN、MQ和QN的方程。

解析：如果采用傳統的求解方法，那么求解過程比較復雜，此時如果我們可以巧妙的引入向量知識，那么可以快速明確解題思路和方法。

解：通過題目所給已知條件，可求出M、N和Q三點的坐標為（-0.5，0.5）、（-1.5，-0.5）和（-3，1）。之后可求出MN直線方程，具體就是假設MN上某點O的坐標為（x，y），那么通過列出向量MN和NO平行且共線的關系來進行求解，同理可以按照這種求解思路來依次求解出直線MQ和NQ的直線方程。

由此可見，通過將題目中的線段關系轉化為向量，借助向量的性質，可以快速達到求解有關數學題目的問題。但是在將向量知識應用于平面幾何數學問題求解過程中時，我們高中生必須要搞清楚點和線之間的對應關系，否則容易因線段與向量的轉換錯誤而導致最終解題出錯。

2.在不等式證明題求解中的應用

不等式證明題也是我們高中生解題過程中常見的一類數學問題，其主要是考察我們能否采用科學、合理的解題方法來證明不等式或條件不等式，具體需要我們采用一些恰當的解題技巧來對題目所給出的不等式等已知條件進行變形處理，否則實際的處理難度相對較大。而如果此時在解題期間可以合理引入向量知識，那么往往可以快速簡化問題，提高不等式證明的準確度與效率。

解析：該道題目是一道典型的證明題。通過對題干所給信息進行仔細閱讀即可發現，已知道等式括號內部的部分基本上和向量中數量積保持一致，所以可以假定向量M=（a，b），向量N=（m，n），這時候通過題干信息可以知道M與N之間關系為平行關系，所以結合平行向量的特征與性質可以得出：an-bm=0，之后通過對該式子進行適當變形即可得出a/m=b/n。

由此可見，在證明不等式等相關數學類型題的過程中，可以嘗試將抽象的數字關系轉換為向量關系，通過向量關系來更好地明確有關的不等式關系，這樣可以顯著簡化有關不等式證明的思路，提高我們高中生解題的準確度與效率。但是需要注意的是，要在將向量應用于證明不等式成立類型題目的時候，必須要對所證明不等式的特征進行仔細觀察，密切聯系向量的性質與特征，確保轉化的準確性，否則同樣可能會因轉化問題而導致解題出錯。

3.在方程題求解中的應用

在高中數學學科常見的類型題中，方程解析題是比較普遍的一種類型題，尤其是其中有部分方程題目很難通過直接變形來進行求解，否則可能會陷入解題的重復計算中。而如果可以嘗試在方程解析過程中引入和應用向量方面的知識，那么可以在快速解決有關問題的同時，提高其實際解題的準確度和效率。

綜上所述，向量在平面幾何題、解析方程題以及不等式證明題等高中數學類型題求解中的合理應用，可以顯著優化我們高中生求解相關數學問題的思路，有助于我們快速找到解題突破口，但是需要注意的是要注意結合實際的數學題目，綜合向量的特征和性質來對有關題目已知條件進行合理轉化，從而借此來不斷提升我們高中生的數學解題能力。endprint