淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的妙用

趙靜涵

摘 要：中學(xué)數(shù)學(xué)中有許多數(shù)形結(jié)合的例子，如點(diǎn)與實(shí)數(shù)對、函數(shù)與圖像、曲線與方程等。在解題中利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可將抽象的教學(xué)語言與直觀的圖像有機(jī)結(jié)合起來，發(fā)展形象思維和抽象思維并使之轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì)（思維的獨(dú)創(chuàng)性、靈活性、準(zhǔn)確性、廣闊性）以及培養(yǎng)我們創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神的目的。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合 數(shù)學(xué)思維 創(chuàng)新

數(shù)學(xué)是研究事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，“數(shù)”與“形”雖然研究的對象和使用的方法不盡相同，但它們之間卻有著內(nèi)在的聯(lián)系。就在平面直角坐標(biāo)系中而言，便有點(diǎn)與實(shí)數(shù)對，函數(shù)與圖像，曲線與方程的有機(jī)結(jié)合，因此數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，宇宙間萬事萬物元不是“數(shù)”與“形”的和諧統(tǒng)一。所以數(shù)學(xué)教學(xué)中突出數(shù)形結(jié)合的思想方法是充分把握了數(shù)學(xué)的精髓和靈魂。

所謂數(shù)形結(jié)合的思想方法，其實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，發(fā)展形象思維和抽象思維并使之相互轉(zhuǎn)化。通過對圖像的處理，發(fā)揮直觀對抽象的支柱作用，實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體表象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀，通過數(shù)理解形，加深對形的認(rèn)識(shí)與思考，更有助于解形。

筆者在做作業(yè)中曾碰到這樣一些題：

例1.解不等式︱3x-2︱+︱3x+1︱<6（x∈R）

解法一：分類討論，當(dāng)x≤時(shí)，原不等式可化為2-3x-3x-1<6， x>， ∴

當(dāng)

∴

當(dāng)x>時(shí)，原不等式可化為3x-2+3x+1<6， x<， ∴

解法二：令z=3x，可使問題轉(zhuǎn)化為研究橢圓︱Z-2︱+︱Z-1︱=6內(nèi)長軸上點(diǎn)的變化范圍，因橢圓長軸頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為和，所以<3x<，即

很明顯，在平時(shí)的解題中利用數(shù)形結(jié)合的思想方法有效的培養(yǎng)了我們的創(chuàng)新意識(shí)，使得解題思路簡潔明了。

例2.求值：cos5°+cos77°+cos149°+cos221°+cos293°

解法：觀察角的變化，前后相差72°，正好是正五邊形的一個(gè)外角，因此作一個(gè)邊長為1的正五邊形A1A2A3A4A5（如圖1），且A1A2與x軸的夾角為5°，則A1A2=（cos5°，sin5°），A2A3=（cos77°，sin77°），A3A4=（cos149°，sin149°），A4A5=（cos221°，sin221°），由A1A2+A2A3+A3A4+A4A5+A5A1=0，知cos5°+cos77°+cos149°+cos221°+cos293°=0.

該解法巧妙的應(yīng)用了向量作出幾何圖形，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的創(chuàng)造性和和諧美。

下面就數(shù)形思想能優(yōu)化我們數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，培養(yǎng)我們創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神，粗淺的談一下自己的看法。

一、數(shù)形結(jié)合，能優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

提高數(shù)學(xué)思維能力，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)之一。數(shù) 形結(jié)合思想能引導(dǎo)我們創(chuàng)設(shè)新的情景，開拓新的思路，直現(xiàn)易懂，方 法簡捷、誘人深思。

1.由數(shù)思形，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的獨(dú)創(chuàng)性

例1，某輪船公司每天中午各有一對輪船在紐約和哈係之間相對開 出，途中所化的時(shí)間來去都是七晝夜，問今天中午從哈佛開出的船在途中會(huì)遇到幾艘船迎面而來？

分析：這是在十九世紀(jì)的一次國際 數(shù)學(xué)會(huì)議上，法國數(shù)學(xué)家柳卡向在場的 數(shù)學(xué)家們提出的一個(gè)他稱為“最困難”的問題， 當(dāng)時(shí)竟難住了在場的數(shù)學(xué)家們，答案莫衷一是。事后，才有人實(shí)驗(yàn)性地 畫了 一個(gè)簡單到連小學(xué)生也能明白的圖 形，才宣告問題的解決。”最困難”問 題的解決竟如此簡潔，正是發(fā)掘了問題 所潛藏的形”的因素，充分發(fā)揮了圖 形的“形象”的作用。

例2，已知已知a2+b2=1，c2+d2=1，a，b，c，d都是正數(shù)，求證：ac+bd≤1。

分析：要求證的是一個(gè)代數(shù)式不等式，通過觀察很容易聯(lián)想到幾何中托勒密定理：圓內(nèi)接凸四邊形對邊乘積之和等于兩對角線的乘積。于是構(gòu)造一個(gè)直徑為1的圓，從而使命題直觀化。

證明：作直徑為1的圓，其中AC是直徑，B，D是圓上兩點(diǎn)，使AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，如圖，顯然a，b，c，d滿足題設(shè)條件。

由圓內(nèi)接四邊形的托勒密定理有AB· CD+BC · AD = AC · BD≤ ACa （BD≤ AC）

即ac+bd≤1成立。

2.由形化數(shù)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的靈活性。

例3.如圖已知三個(gè)并排的單位正方形

求證：θ1+θ2+θ3=90°

分析：建立如圖高斯復(fù)平面，則Z1，Z2，Z3幅角分別是θ1，θ2，θ3，而θ1+θ2+θ3卻是三個(gè)復(fù)數(shù)Z1，Z2，Z3乘積的幅角，所以欲證幅角為90°，只須證Z1，Z2，Z3是一個(gè)純虛數(shù)即可。

證明：如圖3建立高斯復(fù)平面，則向量Z1，Z2，Z3幅角分別是θ1，θ2，θ3，而Z1=1+i，Z2=2+i，Z3=3+i，∴Z1·Z2·Z3=（1+i）（2+i）（3+i）=10i

∴Z1·Z2·Z3的幅角θ1+θ2+θ3=90°

例4已知ABCD為正方形，以AB為底向形內(nèi)作底角為15°的等腰三角形EAB， 求證：△CDE為正三角形。

分析：考慮到題中有豐富的邊角關(guān)系，不妨運(yùn)用三角函數(shù)來研究。

證明：設(shè)正方形的邊長為a，則△EAB中運(yùn)用正弦定理，

=

得AE= =2asin15°，在△DAE中，運(yùn)用余弦定理

DE2=AD2+AE2-2ADAEcos∠DAE

=a2+（2asin15°）-2·a2·sin15°·cos75°

=a2+4a2（sin15°）2-4a2（sin15°）2=a2

∴DE=a 同理可得CE=a

∴CD = DE=CE

即△CDE為正三角形

3.數(shù)形對照，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的準(zhǔn)確性

例5.已知︱Z-3-4i︱≤6，求︱Z︱的最小值。

分析：在解答此題時(shí)我們?nèi)菀资芩季S定勢負(fù)遷移的作用，輕易相信解法：︱Z︱min=6-︱3+4i︱=1，這是腦中無“形”的表現(xiàn)，只有正確的畫出如圖5，才能找到正確答案︱Z︱min =0

例6，求經(jīng)過圓C1：x2+y2=9和圓C2：x2+y2-14x+33=0的交點(diǎn)且經(jīng)過P（2，1）的圓的方程。

分析：我們在解此題時(shí)往往很自然的使用圓系方程，設(shè)所求方程為x2+y2-9+λ（ x2+y2-14x+33）=0，再將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入后求出λ=2/5，然后再把λ=2/5代回方程得7X2 + 7y2-28x + 21 = 0，此時(shí) 我們便認(rèn)為大功告成了。實(shí)際上這個(gè)結(jié)論不完整的，只要圖形（如圖6）一畫出，就得知原來的這兩個(gè) 圓相外切，它們僅有一個(gè)公共 點(diǎn)，故給定條件實(shí)質(zhì)上是兩個(gè) 已知點(diǎn)P、Q，所求解應(yīng)為圓心 在P、Q兩點(diǎn)的連線的垂直平分線上的圓系方程，如圖PQ的垂直平分線方程為x-y-2 = 0，故所求圓 的方程的圓心可設(shè)為（a， a-2），本題的解為x2+y2-2ax+2（a-2）y+6a-9=0，由此可見，研究“數(shù)”問題，利用“形”就不易出錯(cuò)。

4.數(shù)形滲透，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的廣闊性。

例7.如圖7，設(shè)點(diǎn)A對應(yīng)復(fù)數(shù)2，點(diǎn) B為丨Z|=l上的動(dòng)點(diǎn)，△ABC是以BC為斜 邊的等腰直角三角形，且A、B、C是按 順時(shí)針次序排列的。求C點(diǎn)的軌跡方程。

解法一：設(shè)ZB=x1+y1i，ZC=x+yi，由于繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得，所以x1+y1-2=（x+yi-2）i，從而x1=2-y，y1=x-2，將其代入x12+y12=1得點(diǎn)C的軌跡方程為（x-2）2+（y-2）2=1.

解二：設(shè)ZB=cosθ+isinθ，則x=2+sinθ，且y=2-cosθ，消去參數(shù)得：（x-2）2+（y-2）2=1.

解三：繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得。

∴ZB-2=（ZC-2）i，∵丨ZB |=l，∴|（ZC-2）i+2|=1，即|Z-（2+2i）|=1.

解四：由ZC= -ZBi+2+2i，用全等變換方法可得點(diǎn)C的軌跡為（2，2）為圓心，1為半徑的圓，∴（x-2）2+（y-2）2=1.

二、 數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)我們的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神。

數(shù)形結(jié)合思想能引導(dǎo)我們突破常規(guī)，另辟路徑，打破已有的思維 定勢。同時(shí)也只有不墨守成規(guī)，敢于沖破常規(guī)解法、常規(guī)思路的束縛，才能擺脫思維的呆扳性，才能有所創(chuàng)新。

例8，已知x，y，z均大于零，a=， b=

c=，求適：a + b>c，b+c>a，c + a>b

此題用常規(guī)的思維方法，我們可能久思不得其解，陷入了“山重水復(fù)疑無路”之境，如果我們不要固守常規(guī)解題模式，通過分析a2 = x2 + y2 - 2xycos120°，ba = y2+z2— 2yzCosl20 °，c2 = x2 +z2-2xzCosl20°

運(yùn)用余弦定理，構(gòu)造出如圖三角形，讓我們仿佛進(jìn)入了“柳暗花明又一村”的天地，這無疑培養(yǎng)了我們的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神.

三、數(shù)形結(jié)合，錘煉“雙基”，啟迪思維。

“雙基”是各類數(shù)學(xué)考試重點(diǎn)，同時(shí)又是形成能力的基礎(chǔ)，在復(fù)習(xí)中 注意有關(guān)的數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，就能錘煉“雙基”，啟迪思維。

1.數(shù)形結(jié)合在選擇題中的應(yīng)用。

例9：方裎sinX=lgX的實(shí)教根個(gè)數(shù)是（ ）

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D.無窮多

分析：由對數(shù)函數(shù)的定義域知x>0， 又丨sinX 丨≤1，故lgX≤1，即X≤10，所以只要在（0， 10]上畫出Y2=LgX，Y2=sinX的圖象（圖9），可知方程有3個(gè)解，應(yīng)選（C） .

例10：0.32，20.3，log20.3三個(gè)數(shù)的大小順序是（ ）

A. 0.32<20.3

C. log20.3<0.32<20.3 D. log20.3<20.3<0.32

分析：題中的三個(gè)數(shù)可分別視為三個(gè)函數(shù)Y1 =X2， Y2=2x，Y3 = log2X，當(dāng)自變量取值 為x = 0. 3時(shí)的函數(shù)值，可在同一坐標(biāo)系中畫出 三個(gè)函數(shù)的圖像和直線x = 0.3，從圖10可知答案為（C）

2.數(shù)形結(jié)合在解填空題中的應(yīng)用.

例11：已知X+Y+1=0，則的最小值是_。

分析：如果將看成是兩點(diǎn)間的矩離，那么我們頭腦里構(gòu)造一個(gè)幾何模型。點(diǎn)（1，1）到直線x+y+l=0的距離即為滿足題設(shè)的最小值，。

四、加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合訓(xùn)練，把握數(shù)學(xué)思想精髓

加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合訓(xùn)練，可以鞏固和加深有關(guān)數(shù)學(xué)概念的理解，打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，培養(yǎng)我們的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力，提高分析、解決問題能力。而在訓(xùn)練中還應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

1.以數(shù)探形，挖掘條件

數(shù)學(xué)問題的表述往往是抽象的，讓解題者困惑，應(yīng)注意把題中條件，數(shù)學(xué)語言用圖形表示，并善于發(fā)現(xiàn)、挖掘隱含的條件，達(dá)到柳暗花明的功效。

2. 數(shù)形比較，嚴(yán)密解題

有些代數(shù)問題，若用純代數(shù)方法解題時(shí)，由于變形時(shí)不等價(jià)或考慮不周，易解錯(cuò)或漏解。若能將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，就能化繁為簡、化難為易，解法新穎別致，回味無窮。尤其對學(xué)生培養(yǎng)發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維有很幫助

3.數(shù)形兼顧，準(zhǔn)確解題

數(shù)是形的依據(jù)，形是數(shù)（式）的體現(xiàn)，兩者不可偏廢，要兼顧，才 能準(zhǔn)確解題。否則會(huì)因草圖的粗糙輕率，畫錯(cuò)圖而解錯(cuò)題，

總之，只有把數(shù)量關(guān)系的精確刻劃與幾何圖形的直觀形象有機(jī)地 結(jié)合起來，才能充分暴露問題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系。通過‘ 數(shù)”與形”之間的對立.轉(zhuǎn)化，來優(yōu)化解決問題的方法，把握數(shù)學(xué) 精髓。

最后引用著名數(shù)學(xué)家華羅庚的話“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休，切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離”。

參考文獻(xiàn)

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