一題多解，訓練學生思維靈活度

胡勤

[摘 要] 數學習題能提升學生對數學知識的理解，訓練學生思維的靈活度，然而高中數學的習題教學很容易陷入“就題論題”、“拼命刷題”的怪圈. 如何讓學生將題目搞透徹，如何提升學生習題練習的效率？本文提出應該引導學生多維度地研究問題的解決方法，讓學生在探索一題多解的過程中提升認識、訓練方法.

[關鍵詞] 高中數學；一題多解；教學反思

高中數學教學中，學生解題能力的培養歷來得到大家的普遍重視，但是重視并不意味著加大訓練力度，教師要做到精講精練，從而提高學生練習效率. 某次習題課上，筆者以一道試題為例，引導學生從多個角度來探索解題思路，尋求解答方法，借此暴露學生思維的過程，閃現學生思考的智慧，并讓學生體會到學習的成功，最終取得較好效果，現將相關實錄和個人體會整理如下，以供讀者參考.

教學實錄

上課之初，筆者通過投影設備展示以下例題：

平面直角坐標系xOy中，設f（x）=x2+2x+b（x∈R）的函數圖像與兩個坐標軸存在三個交點，將經過這三個點的圓記作C.

（1）請確定b的取值范圍；

（2）請寫出圓C的解析式；

（3）請判斷圓C是否經過某個定點，而這個定點的坐標與b的取值無關？請闡述你的判斷依據.

當學生充分思考之后，筆者將參考答案呈現出來，并指出參考答案的確非常巧妙、快捷，但是否還有其他的解決方法？

正所謂：“一石激起千層浪”，這一問題的提出，引起學生更加深刻的思考和探索，他們很快就提出了自己的看法.

學生甲：第一個問題求解b的取值范圍，我們可以采用數形結合的方法來考慮，即研究函數圖像. f（x）=x2+2x+b（x∈R）屬于二次函數，這是一個開口向上的拋物線，其對稱軸為直線x=-1，由于b的取值不確定，因此函數圖像也不確定，這樣函數圖像可以上下“動”起來（如圖1所示）. 不難發現.為了讓拋物線與坐標軸有三個交點，所以b應該滿足以下條件：f（-1）<0，f（0）≠0？圯1-2+b<0，b≠0？圯b<1，b≠0，因此可以得到b的取值范圍是（-∞，0）∪（0，1）.

教師：很好，通過圖像直觀地將函數與方程之間的關系體現出來，這就是數形結合思想最顯著的作用. 如果將問題調整為“已知x的一元二次方程x2+2x+b=0有兩個非零的實數根，請確定b的取值范圍”，我們也可以采用類似的方法嗎？

學生甲：可以，依據函數與方程之間的關系，這兩個問題的本質其實是相同的.

教師：好的，再來看第二個問題，參考答案是從圓的一般方程入手的，你是否有別的方法來求解圓的方程？

學生乙：我想從圓的標準方程著手嘗試一下，行不行？

教師：這是一個不錯的思路，值得一試.

學生從這一思路出發開始探索，也能實現問題的解決，但是運算量非常大，很多運算能力一般的學生中途敗下陣來.

教師：從大家的運算可以看出，標準方程的確也是一種可行的思路，但是效率不高. 那么我們再換一個視角，依然用圓的一般方程，將其設為x2+y2+Dx+Ey+F=0，如果從圓和x軸的交點與方程根的關系入手，大家能否產生一些新的思路？

在筆者的啟發下，學生又很快得到了新的解決方法.

學生丙：我們可以假設圓C與x軸構成的交點為點A（x1，0）和點B（x2，0），則x1和x2即為一元二次方程x2+Dx+F=0的兩個實數根，上述方程應該與x2+2x+b=0屬于同一個方程，因此有D=2，F=b. 又因為圓x2+y2+2x+Ey+b=0經過點（0，b），所以有b2+Eb+b=0，可以得E=-（b+1），代入可得圓的方程即為x2+y2+2x-（b+1）y+b=0（b<1，b≠0）.

教師：這個想法很是巧妙，我們來總結一下，求解圓的方程一般有兩個思路，其一是從圓的一般方程入手，其二是采用圓的標準方程.在實際操作時應該選擇哪一個方程可以根據具體的條件進行靈活的選擇，剛才的求解過程還表明即便是同一種思路，從不同角度來思考，也會出現不同的解題方法.學生丙解題思路最大的特點就是“設而不求”，這種解題技巧源于對方程根最為本質的理解，值得我們大家好好體會.

教師：有了上面的分析基礎，對于第三個問題，請大家再思考一下，是否還有一些其他的解題思路？

經過大約五分鐘的思考，很多學生都有了新的發現，下面是他們進行交流的成果.

學生丁：對于存在性問題的分析，最傳統的方法是先假設其存在，然后再進行推理. 對于本題，關鍵點還是在于獲取定點，因此我們不妨從特殊值入手，先讓b分別取為 和-1，由此可得方程組x2+y2+2x- y+ =0，x2+y2+2x-1=0，可以解出x1=-2，y1=1，或x2=0，y2=1，將點Q1（-2，1）和Q2（0，1）分別代入圓的方程進行檢驗之后，即可確認圓有這兩個定點.

學生戊：從圓的方程x2+y2+2x-（b+1）y+b=0著手，假設如果經過定點，且由于定點坐標與b的取值無關，則方程式中只有y=1時，才可以將b消掉，則此刻方程可以化簡為x2+2x=0，由此可以確定兩個點x1=-2，y1=1，或x2=0，y2=1，后續處理與學生丁的方法一致.

學生己：我是從一般情形入手的，即假設存在定點，則x2+y2+2x-（b+1）y+b=0對任意滿足b<1，b≠0的實數b都是成立的. 將上述方程按照b進行整理，可得（1-y）b+（x2+y2+2x-y）=0，因此有1-y=0，x2+y2+2x-y=0，可以解得x1=-2，y1=1，或x2=0，y2=1，由此確定存在兩個定點，即Q1（-2，1）和Q2（0，1）.

教師：無論是從一般入手，還是從特殊入手，這些都是解決數學問題的常規思維方法，學生戊采用了較為大膽的假設和探索，進而獲得結論，這體現了他對式與數存在高度的敏感性，也有很強的發現力. 這個問題還有很多值得進一步研究的價值，由于課堂時間有限，我們也就到此為止，請大家在課后再繼續反思，通過剛才的討論，你有哪些體會？

教后反思

本課的教學過程中，筆者從一道數學題開始，引導學生從多個不同的視角展開分析，由學生自主探索出很多不同于參考答案的解決方法，讓原本枯燥的數學課堂顯得更加生動而活潑. 雖然一節課的時間只處理了一道試題，但是學生的收獲卻是相當巨大的，這是傳統習題課上“教師講、學生聽”的灌輸式模式所不可比擬的.

在這節課上，學生先后經歷了問題懸而未決的苦惱，分享了解題成功之后的喜悅，形成對相似問題深入探討的欲望，這與新課標所倡導的“積極主動、勇于探索的學習方式”是高度統一的. 回顧整個課堂，學生熱情高漲、思維活躍，每一個學生都充分融入思考和討論的氛圍之中，其思維一直都停留在“憤”和“徘”的狀態下. 在教師的啟發下，他們嘗試著換用不同視角來展開思考和探索，讓自己的創造意識和相關能力得到了充分的培養和鍛煉. 圍繞這一個問題所展開的一系列探究活動，包括學生精彩的表現，這些都讓筆者感慨良多，也對新課程理念產生了更加深入的理解和認識.

我們在高中數學課堂上引導學生進行探究式學習，就要給予學生足夠的時間和空間，從而讓學生能夠讓自身的思維徹底接軌我們的教學活動，真正實現師生共同探究. 我們不能刻意追求課堂表面形式上的熱鬧，讓學生停留于低層次的思維活動，這沒有任何探究價值.而且如果沒有真正激起學生思維的興奮點，他們是很難主動參與到課堂探究中來的，如此探究也就失去其本來的意義，這本質上依然屬于低效學習.

在問題解決的探究過程中，讓學生從不同的角度來探索“一題多解”是一種非常重要的學習方式，但是“一題多解”絕不是簡單的方法積累，我們應該通過一題多解，真正讓學生實現知識的融會貫通，讓學生的知識盲點在他們的潛意識中閃現光芒，從而提升學生對問題的理解程度，進而強化他們思維的靈活度，增強他們學習的主動意識，讓他們的思維水平在多維度探索問題解決方法的過程中得到升華.endprint