芻議高中數學解題教學“變”的魅力

邱明朗

[摘 要] 高中數學教學離不開解題話題的探討，學生解題能力的提升是高中數學課堂教學的重要目標，本文以高中數學解題教學為載體，重點從“一題多解、一題多變、多題一解”三個方面進行分析，旨在體現變式教學在高中數學解題中的有效運用.

[關鍵詞] 高中數學；解題教學；變式

高中數學涵蓋的知識點多，題型多變，如何提高學生的解題能力，使學生做到舉一反三，掌握解題的技巧與方法，在各類考試中迅速找到解題思路，是一線數學教師關注的重點. 變式教學有助于學生掌握數學題目的本質，將其應用到數學教學實踐中，可提高解題速度及正確率；筆者根據自身教學實踐，側重于探討如何在高中數學解題教學中靈活運用變式教學的具體手段與措施，以饗讀者.

變式教學之“一題多解”

高中數學教學實踐中，部分學生感覺數學知識點多而零碎，甚至較為抽象，無法掌握正確的解題方法，失去數學學習的興趣. 針對這一情況，教師可以結合教學內容，注重從學生角度看待問題，將變式教學法應用到教學實踐中. 一題多解意在培養學生深入分析數學題目的能力，從不同的角度入手進行解題，正所謂殊途同歸，使學生根據自身數學水平掌握其中一種解題方法即可，以滿足不同層次學生的學習需求. 同時，一題多解一定程度上增加了數學解題的趣味性，增強了學生學習數學知識的興趣. 因此，數學教師應立足教學實際，注重一題多解變式教學法的應用.

案例1：試求函數y= 的值域.

該題目難度一般，在測試中一般以選擇題或填空題的形式出現，因此，如何采取正確的方法迅速解題，縮短解題時間尤為關鍵. 為使不同學生均能迅速解題，教師可運用多種解法對其進行講解，具體如下：

解法1：y= =3- ，由于-1≤cosx≤1，則y的值域為-2， .

解法2：將原式等價變形為cosx= ，由于-1≤cosx≤1，則y的值域為-2， .

以上兩種解題方法均能得出正確答案，其中解法1很多學生都能想到，而且計算較為簡單；解法2只有部分學生能夠想到，其巧妙地利用了三角函數的值域，另辟蹊徑. 本題給我們的教學啟示為：遇到y= 或y= 形式的題目求解值域時，應注重將分子進行分離或借助三角函數的值域進行求解.

一題多解變式教學法體現對數學題目深度的考查，要想做到一題多解，必須吃透題目，熟練掌握題目涉及的知識點. 一題多解對學生分析問題、解決問題的能力要求較高，教學實踐中教師應引導學生充分挖掘題設條件，認真、冷靜審題，切勿心煩氣躁，防止不加思考就動筆，一動筆就出錯的現象出現.

變式教學之“一題多變”

在高中數學教學實踐中，學生思維定式給解題帶來的影響較大，對于教師講解過的題目，稍微改變其條件，部分學生仍采用以往的解題方法，導致解題出錯. 高中數學考查形式多變，綜合性較強，教師可以引導學生，在關注數學題目“形”的同時，還要注重數學題目“質”的把握；教師可以靈活運用一題多變的變式教學方法，使學生做一道題會一類題，切實提高數學解題效率.

案例2：已知△ABC中，B，C的坐標分別為（0，6），（0，-6），其他兩邊的斜率之積為 ，試求A點的軌跡方程.

在實際課堂教學中，教師為了幫助學生掌握此類題目解題的規律，提高解題的效率，創設如下變式：

變式1：已知雙曲線方程 - =1上的一動點P，C與C′為雙曲線上的兩個定點且滿足kPC·kPC′= ，求證：C與C′兩點關于雙曲線中心對稱.

變式2：已知雙曲線方程 - =1，斜率為k 的直線l與其中一分支相交于A，B兩點，線段AB的中點為M，連接OM，直線OM斜率為kOM，求證：k1·kOM= .

顯然，變式1與變式2難度較例題有很大的提高，教師應在講解例題的基礎上，鼓勵學案例生思考變式1與變式2，該如何解答. 通過分析不難得出，求解兩個變式與例題所用的解題思路相同；可見，在數學教學實踐中，有效運用一題多變的變式教學方法，可以從簡單題目入手，逐漸進行變化，難度逐漸提高，讓學生嘗試到學習的成就感，逐漸培養學生學習數學的自信心.

變式教學之“多題一解”

高中數學教學中，有些數學問題盡管形式以及考查的內容不同，但應用的解題思路相近或相同. 當學生掌握一種解題思路，便可順利地解答出類似的題目，可謂是“多題一解”，進而提升解題教學效率. 高中數學教師在教學實踐中，應該靈活運用多題一解的變式教學方法，逐步引導學生總結一些數學題目的特點與規律，及時進行總結與反思，從而避免學生走進題海戰術的誤區，鼓勵學生將遇到的數學題目分門別類，將運用同一種解題思路的題目歸類，切實掌握多題一解的變式教學方法.

案例3：已知sinα= +cosα0<α< ，試求： 的值.

案例4：已知0<α< ，- <β<0，cos +α= ，cos - = ，試求：cosα+ 的值.

案例5：已知sin +θ= ，試求：sin2θ的值.

在案例3中求解 的值是比較復雜和煩瑣的，本題可以結合題目特征，采取“先化角，再化名”（先將復雜式子角轉化為簡單式子的角，再將三角函數名轉化成簡單式子的三角函數名）的原則，即將兩個式子的角度均轉化為α- ，三角函數名轉化為sinα- ；通過分析不難發現，案例4和案例5均可使用“先化角，再化名”的思路進行順利求解，在案例4中，觀察發現幾個角之間存在 +α- - =α+ 的關系（“化角”即可實現），再用余弦的兩角差公式展開即可完成“化名”過程；在案例5中，2θ轉化為 +θ的形式（化角），思考2 +θ= +2θ即可聯想運用誘導公式進行求解.

通過分析不難發現，案例4和案例5均可使用解決案例3的思路進行順利求解，教學實踐中教師應引導學生總結相關題型的相同點與不同點，采取多題一解變式教學方法，促進數學教學效率的提升. 當然，教師除注重典型例題講解外，還應注重多題一解變式教學法的應用技巧與注意事項，防止學生對多題一解產生依賴，應做到具體問題具體分析，結合數學題目特點，靈活運用所學知識.

總而言之，在高中數學教學中，靈活運用“一題多解、一題多變、多題一解”的變式教學方法是新課改發展的必然要求. 作為一線的高中數學教師，應該根據不同的變式類型，結合具體的教學內容，選取典型試題進行講解，提高數學解題教學的針對性，改變學生傳統的通過多做題學習數學知識的觀念，引導其做題的針對性和高效性，促進學生養成自己“編寫”數學題目的意識和能力，讓學生加深對數學題目理解與掌握的同時，不斷提升處理問題的綜合能力.endprint