MPCK視角下的高中數學定理教學及案例分析

楊建寧

[摘 要] MPCK是涵蓋教育學、心理學以及學習論的綜合性理論知識，是數學知識的學術狀態向學生學習形態轉化的重要理論基礎. 本文通過MPCK視角下正弦定理教學再設計幾個環節的設計與展示，將正弦定理教學的開始、發展、延續進行了具體而詳盡的闡述，在實際案例的分析中，也再次展現了MPCK理論在定理教學中所具備的指導意義.

[關鍵詞] MPCK；定理；概述；視角；思考；再設計

何為MPCK理論

教師的專業知識結構理論是美國斯坦福大學教授、著名的教育家舒爾曼于1986年提出的，簡稱為PCK的學科教學內容知識（Pedagogical Content Knowledge）是其核心要素. 數學教師從事專業教學所應具備的核心知識被香港中文大學黃毅英教授冠上了專門性的稱謂——MPCK（Mathematics Pedagogical Content Knowledge）. 數學學科知識（MK）、一般教學法知識（PK）、有關數學學習的知識（CK）以及教育技術知識（TK）是MPCK最為主要的幾個組成部分. 一般說來，教師從學習者的興趣與能力這一角度出發，使得學習中具體的課題、問題或者論點得到一定的組織、表達與調整，最終令學習者對數學學習的內容、知識達成理解與掌握的整個過程即為MPCK的本質.

簡單說來，MPCK是與教學相關的綜合性知識，它涵蓋了教育學、心理學、學習論等大量的教育學習原理，對于數學教學內容在某一領域的表達、呈現以及解釋做出了學生更易接受與理解的展示. 通過一些特有的方式將數學知識的學術形態轉化為易于學生數學理解的教育形態以及學生的學習形態，并在此基礎上著力提高學生的數學能力及數學素養是MPCK的核心內容. 對于教師的教學設計與課堂教學而言，MPCK理論是其基礎，而且教師的MPCK在很大程度上影響著教師對教學內容的理解與把握程度、教學方法的運用的適當程度以及課堂教學的效果.

基于MPCK視角下的定理概述以及教學思考

受邏輯限制并被證明為真實的數學知識、原理等方面的陳述我們稱之為數學定理，它是數學基礎知識構成的主要內容之一，數學推理的過程都必須依據數學定理而進行，對于學生的推理論證來說，它也是學生必需的重要工具之一. 由此看來，數學定理教學的效果對于學生對定理內容的理解和掌握、對數學問題中定理的實踐應用有著相當直接的重要影響，與學生數學素養的養成和持續發展也有著相當直接的關系，所有這些都說明了數學定理的教學在高中數學教學中的地位是相當突出而重要的. MPCK理論運用于高中數學定理的教學設計中可以突出表現為定理背景的呈現、定理核心內容的突出以及定理本質的體現，使得高中數學定理的教學以及教學過程與效果的評估具備了相當重要的理論依據和指導.

教師基于MPCK視角的高中數學定理教學設計需要思考的問題很多，比如：學生學習這個定理的必要性如何？該數學定理的背景情況如何？其核心內容與作用怎樣？學生可能存在的學習困惑在哪里？又該如何解決？所有這些核心知識的呈現、組織以及調整在教學設計中的合理安排與落實應該怎樣布置？定理的應用應該如何進行設計與落實？

基于MPCK視角下正弦定理的教學設計及思考

1. 正弦定理在解決三角形問題中的地位和作用

“三角形的邊角關系”、“解直角三角形”是初中數學學習中重要的內容，正弦定理正是這兩個重要內容的直接延續，它是三角形實踐問題分析、探究與解決中的具體運用和重要工具. 高中教師對于正弦定理教學之初的主要任務便是對正弦定理的導入以及證明，并且在MPCK視角下對正弦定理的教學進行精心的設計和安排，將與之相關的一系列舊知識進行有目的的復習，使得學生在學習中對聯系及發展等辯證觀點產生逐步的體會，應用意識、探究能力以及處理問題的能力逐步得到鍛煉、發展與提升.

2. 基于MPCK視角下正弦定理教學設計思考的基本環節

環節1：對三角形邊角關系這一舊知的回顧.

初中數學中三角形邊角關系這一舊知的回顧.

如圖1所示，a，b，c是Rt△ABC三條邊的邊長，∠A，∠B，∠C是它的三個角，∠C=90°，請問該直角三角形的邊角關系如何？

圖1

設計意圖：教師首先引導學生對于初中已學的相關知識進行有目的的回顧，并在引導、啟發以及回顧中觸動學生對三角形邊角關系思考的著眼點，將學生初中已經掌握的大邊對大角、小邊對小角等舊知作為新知識的生長點和認知基礎.

環節2：對三角形邊角關系實際問題求解的初步感受與認知.

如果△ABC中BC=12，∠A=30°，∠B=45°，AC的長度怎樣求解？

如果△ABC中BC=12，∠A=120°，∠B=45°，AC的長度怎樣求解？

設計意圖：三角形的邊角關系應該在何處尋找突破口？在直角三角形的邊角關系上直接進行正弦定理的猜想必然是有所牽強附會的，但是通過以上兩個問題的設計與求解，學生借助直角三角形對AC的長度進行具體的思考與求解，結合環節1所產生的認知沖突，學生學習一開始的陌生感很快能夠消失，求解欲望在認知沖突的發展中得到激發，對正弦定理進一步探究的思想準備也有了一定的基礎.

環節3：從特殊三角形到一般性三角形著手探究，使得正弦定理在歸納與猜想中形成并得以證明.

a，b，c是Rt△ABC三條邊的邊長，∠A，∠B，∠C是它的三個角，∠C=90°，該三角形a，b兩邊邊長跟∠A，∠B之間是否存在某種等量關系呢？如果△ABC為任意三角形，類似的結論是否存在呢？

a，b，c是△ABC三條邊的邊長，∠A，∠B，∠C是它的三個角，請問a，b，c跟∠A，∠B，∠C之間是否能夠建立起某種關系呢？

設計意圖：此環節的設計中體現了特殊到一般這一數學思想方法，這也使得正弦定理在數學史上發現和提出的軌跡得到了再現，環節2到環節3中第二個問題的解決顯得更是水到渠成. 基于MPCK視角下的正弦定理的教學設計中直接將結論告訴學生的設計和行為是不可取也是不能存在的.endprint

環節4：利用正弦定理這一新學知識對環節2中的問題進行再解決.

設計意圖：通過幾個環節的設計學習，正弦定理是被學生獲得并證明的新知，引導學生利用新知對環節2中的問題進行再解決，讓學生體會到正弦定理解決具體問題的簡潔，添加輔助線的繁復過程被省略了，學生對正弦定理解決具體三角形邊角關系問題的應用價值也有了更深的體會.

環節5：問題串的設計促進學生對正弦定理的進一步理解.

通過以上的一系列討論， 在△ABC是確定的比值這一結論很容易便可以得出，那么，這個比值具備的幾何意義怎樣？

Rt△ABC中邊與其所對角的正弦值的比所具備的幾何意義便在于斜邊c. 進一步猜想，在一般的三角形中也會出現這一結論嗎？同樣的幾何意義一樣存在嗎？在△ABC中哪個元素能夠確定這個固定的比值k呢？

△ABC是否能隨其一條邊及其對角大小的確立而確定呢？教師可以利用幾何畫板制作的課件引導學生對這個問題展開思考，設定△ABC中BC邊的大小與位置、BC所對應的∠A均不變，引導學生對此情況進行觀察并由此得出△ABC的變化情況以及點A的運動軌跡.

整合三角形外接圓這一知識點的關聯思考，試問 = = =k中k的情況？

設計意圖：教師在教學中應注重正弦定理不同形式（諸如 = ）的呈現幫助學生對正弦定理本質的進一步理解，因此，上面一系列問題的設計在正弦定理教學再設計的思考中是非常有必要的，對于正弦定理中R的發現也起著相當重大的促進作用.

環節6：啟發并引導學生進行正弦定理解決實際三角形問題的歸納與總結.

學生通過教師教學再設計的思考以及自身的努力探究，對正弦定理有了準確而深刻的理解，大家談談正弦定理對哪些實際問題的解決是適用的呢？

設計意圖：在學生的認知與理解到達一定深度的關鍵時刻，教師恰當的提問使得學生再次投入問題的探究中，也使得學生已學知識的重新構建與創造獲得了有益的機會，在具體問題的解決中尋找、歸納出解決問題的具體方法.

3. 基于MPCK視角下正弦定理教學的再設計的思考與分析

從MK的角度來看待定理的學術形態向教育形態轉化的前提也是多方面的，數學教師應具備的深厚且系統的學科知識、數學定理的背景與核心內容、相關定理之間的聯系、所教定理在實際問題解決中的具體應用都是包含其中的，所有這些也是教師對數學定理有效教學的必要條件. 因此，從MK的角度來考慮正弦定理教學的再設計時，教師首先應該思考并滲透于教學活動中的問題很多，諸如：解斜三角形的必要性在哪里？正弦與余弦定理在解三角形中是必須應用的定理嗎？這兩個定理是如何發現的？其證明方法的思想根源在哪里？是否還存在其他的證明方法呢？所有這些教材中沒有但卻能夠觸動學生思想的問題，使得學生在探討的過程中對于正弦定理的內涵與外延建立了更好的理解. 環節1中兩個問題所涉及的諸如邊邊之間、角角之間以及邊角之間的關系都是學生原本就有的舊知識. 事實上，正弦定理也就是大邊對大角、小邊對小角這一在Rt△ABC直接推廣結論的定量化描述.這兩個問題的探討與解決中，學生對于三角形邊角關系的原有知識得到了有效的回顧，同時，此結論在Rt△ABC中的直接推廣也由此埋下了有力的伏筆. 環節3中的設計意圖很明顯，借助環節2中兩個問題的思考，使得學生自然將兩題的解決思路都指向直角三角形的轉化，也就是通過三角形中直角三角形這一特殊現象的研究，并通過歸納猜想使 = = 這一結論得以獲得，再在此基礎上將這一結論往一般三角形進行推廣，結論的證明在環節2的輔助鋪墊下也就相當簡單了.endprint