數形結合的解題思想在初中數學中的運用

張志偉

摘 要：數形結合思想是初中數學一種重要的思想方法與有效解題策略.從思維角度來說，“形”有助于學生對問題作直觀的分析，直觀得出問題結論，在解題中，如果善于由形思數，由數思形，數形滲透，雙向聯想，那么，將會大大地開闊解題思路，提高解題技巧，使解決的問題達到似至晦，實至明，似至繁，實至簡，似至難，實至易之效果。

關鍵詞：數形結合 以形助數 以數解形

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：C 文章編號：1672-1578（2017）11-0081-02

數形結合的解題思想是初中數學一種重要的思想方法與有效解題策略.數與形，本是相倚依，相輔相成，數缺形時少直觀，形少數時難入微。從思維角度來說，“形”有助于學生對問題作直觀的分析。在解題中，如果善于由形思數，由數思形，數形滲透，雙向聯想，那么，將會大大地開闊解題思路，提高解題技巧，可以使所要解決的問題化難為易，化繁為簡，思維廣闊。有助于把握數學問題的本質，回溯本源，很多問題便迎刃而解.這種數學思想是近年來中考的熱點之一.我們通過以下例子的學習就能體會數形結合的真諦。

1 依“形”來解決代數中最值問題

用形輔數，能直觀、整體地用圖形反映數量之間的關系，讓我們從“山窮水覆”的絕境走向“柳暗花明”的坦途，數形結合為我們解決問題提供了新的思維空間。下面僅舉例說明數形結合這一好處：

例1，函數y=■+■的最小值。

初中生看了此題，眼前一片模糊，簡直是“山窮水覆疑無路”的迷茫，但我們仔細分析，用形輔數，數形結合來解決，帶給你的才是“柳暗花明又一村”的喜悅。

解析： y=■+■，觀察這個式子的結構，其幾何意義是：在x軸上找一點P（x，0），使它到定點A（0，3）和B（5，2）的距離之和最小，根據兩點之間線段最短，作B點關于x軸的對稱點B（5，-2）（如圖1所示），即A、P、B三點共線時，y最小，最小值y=AB=■=5■。

2 數形轉化在解直角三角形運用

數形轉化是一種重要的數學思想.如某些代數問題、三角問題往往有幾何背景，可以借助幾何特征去解決相關的代數三角問題；借助于形來抓住問題的實質，回溯本源，往往“一眼看破”，立獲解答，少走或不走彎路。

例2，某氣象臺測得臺風中心在A城正西方向300km的B處，以每小時10■km的速度向北偏東60°的BF方向移動，距臺風中心200km的范圍是受臺風影響的區域，問A城受臺風影響幾小時？

如果本題不借助于它的幾何背景是沒辦法解決的，因此我們必需根據題目的數量的結構特征畫出圖形，復雜的問題就簡單化了。

解析：如圖2，已知AB=300km，v=10■km/h，∠BDC=60°，AE=200km.

在Rt△ABC中， ∠ABC=30°， AB=300km， ∠ACB=90°

∴ AC=150km

在Rt△AEC中， AE=200km， AC=150km，∠ACE=90°

∴ CE=■=50■km

∴ EF=2CE=100■km，t=■=■=10小時

故A城受臺風影響10小時。

3 依圖表數來解決探究規律性問題

在教學中，我們經常會遇到一些探索規律的題，有些規律性的問題，為了描述的方便，用圖像來表述有關的信息。圖像的好處是形象直觀，但又不夠精確。在處理這些問題時，我們只有充分挖掘圖像的信息，根據圖形和數量之間的關系，對有關的數學規律進行分析，把圖像問題轉化為代數問題，才能精確地解決這些規律性間題。這就是“以形解數，數形結合”。

例3，求1+2+4+8+…+263=

解析：如圖3所示，先借一個1，再加1，再加2，再加4……很顯然加到32時總和是2×32-1；由此類推，加到263時結果是2×263-1=264-1。

4 由形定數，數形結合在不等式中的運用

形直觀，較易理解；數形結合，數與形互相幫助，是抽象的數學語言與直觀圖形相得益彰，在解題中，通過把問題轉化成圖形的方法，直觀得出問題結論，達到似至晦，實至明，似至繁，實至簡，似至難，實至易之效果。

例4，如圖4，A（-1，0），B（2，-3）兩點在一次函數y1=-x+m與y2=ax2+bx-3二次函數的圖像上。

（1）求m的值和二次函數的解析式；

（2）求當y1>y2時自變量x的取值范圍；

（3）求拋物線y2與x軸的另一交點C的坐標，與y軸交點D的坐標，試判斷直線CD與AB的位置關系。

解析：（1） ∵ A（-1，0）在一次函數y1=-x+m的圖像上

∴ 0=-（-1）+m ∴ m=-1

∵ A（-1，0）， B（2，-3）兩點在二次函數y2=ax2+bx-3的圖像上

∴ a-b-3=04a+2b-3=-3 ∴ a=1 b=-2

∴ m的值為-1，二次函數的解析式為y2=x2-2x-3。

（2）一般的學生會這樣思考：

∵ m=-1 ∴一次函數的解析式為y1=-x-1

∵ y1>y2 ∴ x2-2x-3>-x-1

解到此，初中學生無從下手，一頭霧水，很迷茫，但是我們返回到圖形中去觀察、思考，結合兩個函數的圖像（形）發現：在直線x=-1和直線x=2之間，一次函數y1=-x+m的圖像在二次函數y2=ax2+bx-3的圖像的上方，即y1>y2。

∴自變量x的取值范圍為-1

第（3）問（略）也可以借助于形來解決。

用此方法求解不等式，不僅能獲得直觀形象的解題思路，也是銜接不等式、函數、幾何之間的橋梁，提高運用知識的靈活性，開拓學生的想象力，培養學生的發散性思維，用數形結合解不等式將數形結合的好處體現得淋漓盡致.

5 以形助數，運用幾何圖形解決代數問題

數形結合的思想是啟發法的一種，它雖不能保證所有的問題得到解決，但能保證在大多數情況下能夠使問題得到充分解決，在解題時節約解題時間，使復雜問題簡潔化，給解題帶來意想不到的成功.

例5，正數a、b、c， A、B、C滿足條件a+A=b+B=c+C=k，求證：aB+bC+cA

本題的難度較大，用代數的方法無從下手，若能借助于形，利用數形結合的思想便可以使這復雜的問題簡單化、直觀化、生動化，此問題便迎刃而解。

解析：從條件a+A=b+B=c+C=k，可揭示它的幾何背景—三數相等的幾何圖形是等邊三角形，則可以得到如下證法。

證明：如圖5，作邊長為k的正三角形PQR，分別在各邊上取點L、M、N，使得QL=A、LR=a、RM=B、MP=b、PN=C、NQ=c， 則 S△MPN+S△NQL+S△MLR

∵ 三角形MPN的高h=C×sin∠P=C×sin60°=■C

∴ S△MPN=■×■C×b=■bC

同理得S△NQL=■cA， S△MLR=■aB， S△PQR=■k2

∴ ■bC + ■cA + ■aB < ■k2

即 bC+cA+aB

6 數形結合在圖形運動中的運用

動態幾何與動態函數題是近年來中考的一個熱點，解這類題要依托形的變化（動點、動線段、動圖形問題）與數之間的關系—數形結合，而學生思考這類動態問題的最大障礙卻是思維單一，不會由數思形，再由形思數，只單一的從“數”或從“形”的角度去探索必然會陷入解題的困境。但完成這類題型往往要用到數形結合的思想，并把這種思想融入動態問題的變與不變，以不變應萬變。

例6，如圖6，有一邊長為5cm的正方形ABCD和等腰△GEF，GE=GF=5cm，EF=8cm，點B、C、E、F在同一直線l上，當C、E兩點重合時，正方形ABCD以1厘米/秒的速度沿直線l按箭頭所示方向開始勻速運動，t秒后正方形ABCD與等腰△GEF重合部分的面積為Scm2。解答下列問題：

（1）當t=3秒時，求S的值；當t=5秒時，求S的值；

（2）當5≤t≤8秒時，求S與t的函數關系式，并求出S的最大值。

解析：解此類題先搞清楚圖形的變化過程，探索圖形運動的特點和規律，畫出各個關鍵時刻的形（如圖6（1）、（2）、（3））并抓住形在變化過程中的不變量，然后根據不同的情況來確定值的分界點及變化范圍，要求學生能在動中求靜，靜中思變，靈活運用分類思想和數形結合思想來解決問題非常有效，它可幫助我們理清思路，擊破難點。

總之，數與形不能分道揚鑣，它們是有機的結合體，數形結合是架起數與形的橋梁，從而使復雜問題簡單化，抽象問題直觀化、生動化、形象化，數與形的結合使得代數與幾何緊密相聯，息息相關，互相吸取新鮮的活力，使得數學更具有生機和活力。在解題中，如果善于由形思數，由數思形，數形滲透，雙向聯想，將會大大地開闊解題思路，提高解題技巧，使解決的問題達到似至晦，實至明，似至繁，實至簡，似至難，實至易之效果。

參考文獻：

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[2] 中學數學教學參考[M].陜西師范大學中學數學教學參考雜志社.

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