與高中銜接的數學中考題分析及復習措施

顏麗芳

【摘要】 中考是初高中銜接的一個著力點，對初中教師的教學起到指導性作用，在數學中考題中延伸高中數學思想方法，滲透高中數學概念，補充初中知識和數學思想，是提升學生學習能力的一個渠道。本文分析了與高中銜接中考題的特征：語言敘述具有高中特色；`問題背景源于高中知識；在解題中滲透高中知識。同時為了更好的與高中銜接，對九年級復習提出了幾點措施：理清初高中知識聯系，注重知識銜接；比較初高中教法異同，適時教法銜接；比較初高中學法異同，注重學法指導。旨在提高學習數學的科學素養，促進學生后續學習。

關鍵詞 銜接 中考 初中 高中

中考一直處于改革之中，但由于中考的選拔功能，而以高中數學知識為背景，或體現高中數學中常用的數學思想方法和推理方法的試題能夠較好的考查學生的自學能力、快速閱讀理解能力以及觀察分析、類比、數學歸納能力，命題者往往比較青睞。同時，在每年的高一學生返校期間經常抱怨高中數學很難，考試成績與中考成績相比，有明顯的下降，學習成績分化比初中更加嚴重，整體學習成績呈下滑態勢。因此我們必須思考：經過中考的選拔跨入高中，我們學生都對自己充滿信心，有很強的求知欲，怎么會出現相當部分學生不適應高中數學學習？

一、與高中銜接中考題分析

從“以學生的發展為根本”這一教學理念出發，中考題除了考察學生對初中知識的掌握程度外，還應為學生適應高中學習做適當的銜接。筆者以近幾年來年全國各地中考題為例。

（1）語言敘述具有高中特色

數學語言可歸結為文字語言、符號語言、圖形語言三類。有些中考試題中的語言敘述有濃烈的高中特色。

例1.（紹興市中考題）如果一個序列{ai}滿足a1=2，an+1=an+2n（n為自然數），那么a100是 .

解析：∵a1=2，an+1=an+2n（n為自然數），∴a2=2+2×1， a3=2+2×1+2×2=2+2×3，…，an=2+n（n-1），∴a100=2+100×（100-1）=9902.

點評：這是一道數列題，它也是初中數學常見的規律題。但因題目的敘述方式采用了高中數學語言，學生就出現了看不懂題目的意思或解題方法想不到。

例2.（杭州中考題）設二次函數y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的圖象與一次函數y2=dx+e（d≠0）的圖象交于點（x1，0），若函數y=y1+y2的圖象與x軸僅有一個交點，則（ ）

A.a（x1﹣x2）=d B.a（x2﹣x1）=d C.a（x1﹣x2）2=d D.a（x1+ x2）2=d

解析：首先根據一次函數y2=dx+e（d≠0）的圖象經過點（x1，0），可得y2=d（x﹣x1），y=y1+y2=（x﹣x1）[a（x﹣x2）+d]；然后根據函數y=y1+y2的圖象與x軸僅有一個交點，可得函數y=y1+y2是二次函數，且它的頂點在x軸上，即y=y1+y2=a（x﹣x1）2，推得a（x﹣x2）+d=a（x﹣x1），令x=x2，即可判斷出a（x2﹣x1）=d.

點評：含有參數的函數、方程、不等式，初中數學只作定量研究，而這部分內容卻是高中數學的重點和難點。本題主要考查了拋物線與x軸的交點問題，以及曲線上點的坐標與方程的關系，要熟練掌握，解答此題的關鍵是判斷出：函數y=y1+y2是二次函數，且y=y1+y2=a（x﹣x1）2。值得我們非常關注的是：含有參數的函數、方程、不等式已經成為杭州市數學中考的一大特色。

（2）問題背景源于高中知識

有一些中考試題以高中數學為背景，而考查的仍是初中數學知識。

例3.（衢州中考題）將4個數a、b、c、d排成2行2列，兩邊各加一條豎線記成 ，定義 =ad-bc，上述記號就叫做二階行列式，若 =8，則x= .

解析： =8得：（x+1）（x+1）—（x—1）（1—x）=8.

點評：本題以高中行列式知識為背景，考查知識為初中整式的混合運算和解一元二次方程，要求學生能夠讀懂二階行列式，并運用二階行列式的計算法則得到方程來求解。

例4.（咸寧中考題）某集團決定將下屬的一個分公司對外承包，有符合條件的甲、乙兩個企業分別擬定上繳利潤，方案如下：甲每年結算一次上繳利潤，第一年上繳利潤1萬元，以后每年比前一年增加1萬元；乙每半年結算一次上繳利潤，第一個半年上繳利潤0.3萬元，以后每半年比前半年增加0.3萬元.

（1）如果承包4年，你認為應該承包給哪家公司？總公司可獲利多少？

（2）如果承包n年呢？請用含有n的代數式分別表示兩企業上繳利潤的總金額.

解析：這在高中就是一道等差數列問題，可以直接利用公式S=計算。①甲上繳利潤10萬元；乙上繳利潤10.8萬元；②如果承包n年， ，。

點評：本題背景來自高中數學中等差數列求和公式，事實上，從小學開始等差數列就一直出現，所以對一些等差數列的基本內容，可以針對學情，適當補充。

（3）在解題中滲透高中知識

①通過合情推理得出高中知識

合情推理是從已有的事實出發，通過歸納和類比推斷某些結果，其功能是探索思路，發現結結論，因此，中考經常會出現一些問題考查學生的合情推理能力，而答案往往是高中知識。

例5.（深圳中考題）閱讀下面的短文，并回答下列問題：

我們把相似形的概念推廣到空間：如果兩個幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體.如圖，甲、乙是兩個不同的立方體，立方體都是相似體，它們的一切對應線段之比都等于相似比（a：b）.設S甲、S乙分別表示這兩個立方體的表面積，則 ；又設V甲、V乙分別表示這兩個立方體的體積，則 .

第一、下列幾何體中，一定屬于相似體的是______.

A、兩個球體B、兩個圓錐體C、兩個圓柱體D、兩個長方體.

第二、請歸納出相似體的三條主要性質：

第三、寒假里，康子幫母親到市場去買魚，魚攤上有一種魚，個個都長得非常相似，現有大小兩種不同的價錢，如下圖所示，魚長10厘米的每條10元，魚長13厘米的每條15元.康子不知道買哪種更好些，你能否幫他出出主意.

解析：用學生非常熟悉的立方體相似，可以得出相似體的三條主要性質（2）：相似體的一切對應線段（或?。╅L的比等于相似比，相似體表面積的比等于相似比的平方，相似體體積的比等于相似比的立方；（3）因為同一種魚的密度一樣，所以它們的質量比等于體積比，質量比等于2.197，而它們的價格比為15：10=1.5，∴買15元一條的魚更合算。

點評：從學生熟悉的相似形類比到學生第一次接觸的相似體，是由低維（平面）到高維（空間）的類比。本題要求學生分析、類比、歸納，整個解題過程是一個探究新知識的過程，也是一個新知識形成的過程，充分體現了由特殊到一般的推理方法。

②滲透高中數學概念

在中考題中滲透數學概念，主要考查學生的自學能力、應變能力、運用新知識解決問題的能力，有利于學生學習能力和數學素養的培養，是學生“可持續發展”理念的具體體現。

例6（長沙中考題）設a、b是任意兩個不等實數，我們規定：滿足不等式a≤x≤b的實數x的所有取值的全體叫做閉區間，表示為[a，b].對于一個函數，如果它的自變量x與函數值y滿足：當m≤x≤n時，有m≤y≤n，我們就稱此函數是閉區間[m，n]上的“閉函數”.

第一、反比例函數是閉區間[1，2013]上的“閉函數”嗎？請判斷并說明理由；

第二、若一次函數y=kx+b（k≠0）是閉區間[m，n]上的“閉函數”，求此函數的解析式；

第三、若二次函數是閉區間[a，b]上的“閉函數”，求實數a、b的值。

解析：（1）“閉函數”（2）當k>0時，∴此函數的解析式是y=x；當k<0時，y=-x+m+n；（3）或。

點評：先給出閉區間和閉函數的定義，需要學生利用增減性去理解，考查學生的閱讀能力和和解決問題能力。本題實質是高中函數的定義域和值域的問題，但可以用初中的函數增減性來解決。此類問題有利于學生在獲得解答的過程中，養成探索習慣提高自學水平和數學素養，使學生既能“學會”，又能“會學”。

③滲透高中數學解題技巧

代數推理題問題綜合了函數、方程、數列等多個知識點，需要采用多種數學思想方法才能解決，是高考的一個熱點，在數學中考中也倍受重視。

例7.（蘭州中考題）為了求1+2+22+23+…+22014的值，可令S=1+2+22+23+…+22014，則2S=2+22+23+24…+22015，因此2S-S=22015-1，仿照以上推理計算出1+5+51+52+53+…+52014的值是（ ）

A.52014-1 B.52015-1 C. D.

解析：從范例入手，令S=1+5+51+52+53+…+52014，則5S=5+51+52+53+…+52014+52015，5S—S=52015-1， 故答案是。

點評：本題實質就是高中數學的等比數列求和問題，采用的是構造法，先給出求1+2+22+23+…+22014的值的范例，要求學生用用類比法解決問題，事實上解題的過程也是推導等比數列求和公式的過程。

二、九年級復習階段的銜接措施

初中數學是高中數學的基礎，作為初中數學教師有必要了解初中數學與高中數學哪些知識是連續的，可深入的？在數學思想方法和學習能力的上可作怎樣的提升？根據初中學生的發展水平在九年級復習階段采取銜接措施。

（1）理清初高中知識聯系，注重知識銜接

高中數學由實數拓展到了復數；含有參數的函數、方程、不等式，初中只作定量研究，而這部分內容確是高中的重點和難點；射影定理、平行線分線段比例定理、相交弦定理、切割線定理等，初中深度不夠，而高中應用頻繁；初中的平面圖形、三視圖、投影、表面展開圖與高中的立體幾何聯系；初中找規律題經常是高中等差、等比數列；初中三角函數與高中三角函數、正弦余弦定理關系。對于這些初高中相聯系的知識在九年級復習階段可做如下操作。

①把握契機，合理拓展

十字相乘法能夠大大提高學生的計算速度，因此在因式分解和解一元二次方程的時可以讓學生學會；韋達定理揭示了一元二次方程中根與系數的內在聯系， 可讓學生求根公式去驗證x1+x2=，x1·x2=，并鼓勵學生應用；在相似三角形中，可讓學生利用母子直角三角形相似推出射影定理，并鼓勵他們在解題時運用這個（射影）定理，提高解題速度；通過三角形的外接圓（如圖），將任意三角形問題轉化為直角三角形問題，得出a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，故，即正弦定理。

②為高中學習留有鋪墊

初中主要學習平面幾何，學生對兩直線的位置關系理解為不是相交就是平行，作為教師需要借助空間指出異面不平行也沒交點的直線實例，使學生有立體幾何的感悟。函數知識比較抽象，是初中數學的一大難點，在復習時總是圍著一次函數、反比例函數和二次函數進行問題解決，易給學生造成函數只有這三種的錯覺，比如：中自變量x的取值范圍？教師不僅僅是教會求解，還應該從函數的定義出發告訴學生函數有很多種，高中我們還會學習指數函數、對數函數、冪函數等其它函數。再如初中階段數擴張到實數，此時可以明確告訴學生高中還會進行擴張，會學虛數。教師有意識的為高中數學學習做一些鋪墊，能激發學生對今后數學學習的興趣和向往。

特別是高中立體幾何需要學生很強的立體感和空間觀念，事實上，高中的很多立體幾何初中都有涉及，比如棱柱及其表面展開圖、圓柱、圓錐、線線關系和線面關系、三視圖、投影等，初中數學一般是把立體幾何的問題轉化為平面圖形，在轉化中要能抓住那些不變的量，而不變量的計算主要是在原平面圖形中完成的。所以學好平面幾何是高中學習立體幾何的基礎。

（2）比較初高中教法異同，適時教法銜接

高考數學改革一個重要關注點是立足基礎，能力立意，突出思想，淡化運算，其實這也是中考數學關注點。九年級復習階段是對整個初中階段數學的整合復習，在課堂教學中要注意不斷改進教學方法，培養高中所需要的學習能力。

①重視定義在解題中的運用

數學家波利亞說過：“當我遇到問題的時候，回到定義中去”。數學概念是現實世界中空間形式和數量關系及其特有的屬性在思維中的反映，是數學思維存在的基本形式。在九年級復習階段要注重定義在解題中的作用。

比如“絕對值”在教材上有幾何意義和代數意義兩種定義，在復習時要注意要數形結合，可以設計如下幾道練習：第一、數軸上表示1和5兩點之間的距離是_____，數軸上表示2和的兩點之間的距離為____；第二、數軸上表示和兩點之間的距離為_________；第三、若表示一個有理數，且，則；第四、利用數軸求出的最小值；第五、|x-1|+| x -2|+| x -3|+…+| x -n|的最小值。還可以換個問題背景：有A、B、C、D、E 5位同學依次站在某圓周上，每人手上分別拿有小旗16、8、12、4、15面，現要使每人手中的小旗數相等.要求相鄰的同學之間相互調整（不相鄰的不作相互調整），設A給B有x1面（x1>0時即為A給B有x1面；x1

②重視知識整理，使知識系統化

知識整理主要對所復習的內容進行分類歸納，有序整理，使其系統化。在復習教學中將同種類型、相同知識點、或者相同的解題方法的問題放在一起，系統地思考，或用思維導圖將整章節的知識點串連起來，給學生一個較為清晰的認知網絡結構，達到融會貫通、觸類旁通，同時提高了學生的歸納整理能力。

四邊形思維導圖：

③重視題目變式和拓展

教師要善于對題目進行適當的改編和拓展，對同類問題做進一步探索，這樣不僅能更好的掌握知識，而且在不斷演變和練習中能做到舉一反三，觸類旁通，這也是學好高中數學所必需的能力。

（3）比較初高中學法異同，注重學法指導

學好數學必須要有勤奮、刻苦的學習態度，嚴謹、認真的學習習慣和方法，勇于挑戰和戰勝困難的信心。

①教學生學會聽課

聽課是學生在校學習的關鍵性環節，它對學生獲得知識技能起著至關重要的作用。聽課要達到幾個目的：真正聽懂、抓住重點、觸類旁通、形成框架、完全記住，具體的來說就是應讓學生在聽的過程中明確：每節課的學習目的和學習要求；新知識的引入及知識的形成過程；理解教師對新課的重點、難點的剖析（尤其是預習中的疑問）；例題解法的思路和數學思想方法的體現。所以聽課，重要的不是“聽”，而是“想”，聽是前提，隨之是積極地思維，要全身心地投入課堂學習，做到耳到、眼到、心到、口到、手到。

②注重自主學習，激勵鉆研精神

《數學課程標準》指出：“有效的數學學習活動不能單純地依賴記憶與模仿，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式”。達爾文說過：“最有價值的知識是關于方法的知識?！币獙W生做到自主學習，關鍵是教給學生學習的方法和策略， 使學生逐步掌握正確的思維方法，培養學生的歸納、比較、分析、綜合、抽象、概括等數學能力，逐步掌握學習方法，成為學習的主人。特別注意的是，對于學生解題思路的獨創性與鉆研精神要大力表揚肯定，激勵他們再接再厲。

③學會反思，樹立學好數學信心

數學的解題教學，關鍵在于“指導學生將注意力轉移到對數學過程和自己的解題過程的反省上來”。 對待難度較大的題目，一定要有拿下這道題目的信心和決心，首先需要找到你在哪一步出問題，是基本算式技巧還是理論不夠透徹，明白自己的瓶頸在哪，再有意識解決，也就是要隨時反思自己的知識體系。

樹立學好數學的信心，是伴隨學生整個學習過程的一個重要任務。學習過程中難免會遇到困難和挫折，需要教會學生：學會多與同學交流學習心得和體會，互相鼓舞學習信心，激發學習動機；學會學習他人的成功經驗，增強自己的學習信心；學會遇到困難和挫折時，正確分析它們產生的原因，及時尋求教師、同學和其他人的幫助，找到解決問題的辦法消除它們帶來的不良心理影響。

中考題的多方面、多層次變化，決定了初中教師要站在更高的平臺上展望，初高中銜接的中考題，是對初中知識和數學思想進行補充，對初中教師的教學起到指導性作用。需要注意的是試題的設計雖與高中有關，但解決的方法是初中所學的知識，因此，教師在復習時要加強“雙基”，引導學生構建知識網絡，提高學生的應變能力和創新能力，才能更適應新課程的中考要求。

參考文獻

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（作者單位：杭州市余杭區崇賢中學）