基于數學概念的數學教學研究

唐小勇++李小春

【摘 要】本文基于數學概念在數學教學中的重要地位，提出在數學教學中，應從思想上重視數學概念、以實際案例引入數學概念、在觀念上強化數學概念、以通俗語言來解釋數學概念，結合多媒體技術手段進行教學改革，讓學生深刻認識數學的本質要求。

【關鍵詞】數學概念 數學教學 數學本質

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）08C-0141-02

受應試教育的影響，在數學教學上，輕概念重解題的現象非常突出，這就造成很多教師對數學概念基本不解釋，照本宣科地論述一番。甚至還有教師認為，數學概念就是個語文名詞而已，只需要學生記下來就好。但實際上，數學概念是眾多數學家千錘百煉的結果，邏輯嚴密，簡潔明了，它包含了眾多的數學大師的心血以及數學方法。由于教師有意無意地忽略數學概念的教學，這就導致學生對數學概念一知半解，有些數學題目會做，但是不知道為什么要這么做。即使有些學生能做好數學題目，但是對于數學的學習并沒有實質的幫助，對數學的本質學習還是不甚了解的。因此，在數學教學上，應擺脫以解題為目的的數學教學，而應回到追本溯源的探究式教學上來。

一、從思想上重視數學概念

雖然國家提出要加強素質教育，不要以應試教育為中心，但不管是教師、家長還是學生都不這么認為。他們認為能夠考取好的成績就是學習這門課程的重要意義，在這樣的氛圍下輕概念重解題現象就難以改變。而圍繞數學分數的數學教學就會導致功利性的行為發生，不會注重概念解釋，也不會注重其中的邏輯關系，不斷地解題就是整個課堂的核心，把數學當成了算術。對此，數學教師在教學上要重視數學概念的解釋，這樣才會讓學生很好地理解數學概念，在理解概念的基礎上解題更能學好數學。家長也不應把目光緊緊盯著數學分數，而是要看是否真正學好數學，概念是否理解正確，解題不出是什么原因等。對學生而言，數學不是解題，解題是為了學好數學。甚至，數學的概念理解的重要性要超過數學解題。教師重視數學概念，學生就會透徹理解概念，在理解概念基礎上去解題，在解題中悟透概念，這樣整個數學的教學就呈現出良性循環的好局面。當然，由于課時的限制，教師應在解釋概念與解題中把握一個平衡。比如在講解導數概念的時候，可以從牛頓、萊布尼茨對導數的引入開始講解，通過對時間—位移的動態演變過程，由割線變切線的關系來定義導數的概念，這樣，在對函數用定義求導的時候，就會讓學生明白為什么需要先求出因變量與自變量的增量，然后通過兩者的比值求極限而得到導數。

二、在實際案例中引入數學概念

數學概念是多年以來數學家不斷簡化的結果，基本滿足兩個條件，一是概念簡單，二是邏輯性強。數學概念追求簡單是遵循奧卡姆剃刀原理，即“如無必要，勿增實體”的簡單有效原理。同時，數學概念為避免造成不同的解釋，就必須在邏輯上自洽。然而，在教學中就會發現，數學概念的定義對學生來說苦不堪言，如果教師還不對概念進行詳細的解釋，概念的抽象性讓很多學生認為數學難以理解。因此，可以嘗試用實際的案例來引導學生對數學概念的理解。雖然數學是一個獨立的世界，但還是有很多的數學問題是來自實際生產、工程、運輸等。這樣，數學教師在教學時就可以把書本上那些晦澀難懂的數學概念進行適當的替換，用實際的具體案例來解釋數學概念。人對具體事務的理解往往都超過那些抽象事物的理解，這是因為具體事務在現實中存在，看得見或者摸得著，而抽象事物需要從邏輯上進行理解，并不一定在現實中能夠發現。所以，對數學概念的具體化就是讓學生把抽象的問題轉移到具體的事物上來，加強概念的現實感，從而讓學生能夠很好地理解數學概念。比如講解二元分布函數概念的時候，可以舉例種子的發芽率，如果只考慮水溫與氣溫的變化，那么任何一個溫度的變化都會影響種子的發芽率。這種直接取材于現實案例的講解比只講解抽象分布函數概念的效果會好很多。

三、從觀念上強化數學概念

人是觀念的產物，但是人的觀念并非一成不變的。研究表明，即使是孩童時代，沒有學習過數學的兒童，他們的大腦也并非一片空白。因為在現實的游樂玩耍中，兒童就有了自己的數學概念。但是，這種學齡前的數學概念與書本上的數學概念有不一致之處，甚至有些還是錯誤的數學概念，這對數學的學習有著嚴重的阻礙，因為自我理解的概念比外部學習的概念更頑固，也更難糾正。數學的學習是有層次性的，前一階段的學習會影響后一階段的學習。就比如，數學的運算貫徹整個數學的學習，小學的整數運算、中學的分數運算以及大學的導數、極限等運算等等。然而這些運算有些是相同的，有些是不同的。但如果不加以細分與理解，就會把不同的運算混為一談，在教學中甚至出現1/2+1/3=2/5之類令人啼笑皆非的情形。之所以出現這樣的情況，就是沒有理解好新的概念，觀念上還停留在舊有運算概念上。建構主義認為，知識是一個主動構建的過程。要讓學生從錯誤的概念中糾正過來，就必須進行概念轉變教學。所謂的概念教學就是促使學生原有概念得到糾正的教學方式。學生的概念形成主要是來自日常的具體事務，也來自原有的書本概念。每次進行新概念講解的時候，教師就應厘清新舊概念的區別與聯系，在舊有概念的基礎上，重組新概念。所以，針對新舊概念混合沖突的情況，教師不應從解題上入手，而應從概念上入手，把各個概念的不同與規則講解透徹，才不會出現概念理解的差異現象。比如導數的運算法則，重點講解導數運算與數字四則運算的異同點，兩者在加減法是相同的，但是在乘除法是不同的，不同點應該加以區別，避免學生把數字的乘除運算用到導數的乘除運算上來。

四、以通俗語言來解釋數學概念

數學概念的抽象性讓學生望而生畏，枯燥無味的數學理論讓學生學習起來興致索然。因此，在教學中，如何解釋數學概念很考驗教師的語言藝術水平。當然，再厲害的數學大師也不可能把數學課講得像文學藝術課程那樣精彩，但數學教師可以在降低邏輯要求的基礎上，把數學概念進行通俗化。數學概念邏輯嚴謹，晦澀難懂。嚴謹是數學的第一要求，但是在課程教學上，數學教師可以放寬這個要求，用通俗易懂的語言讓學生很好地理解數學概念。而且，通俗并不是說沒有邏輯性，只是說用現實中的日常語言來描述數學概念而已。比如對于函數的概念，數學教學上有一大段邏輯性很強的語言來說明，但在概念理解上用一句話就可以說明：變量之間的一一對應關系就是函數，現實中的很多例子都是一一對應的函數關系如門當戶對、男才女貌等。甚至可以在班級上就地取材以兩個男女學生為例，各自舉例雙方的特征，如果每個特征相一一對應，那么這兩個同學的關系就滿足函數定義的條件。通俗語言的講解很具體，很形象，也很活躍氣氛，雖然這樣的解釋不夠嚴謹，但是比較有趣，而且讓學生能夠與現實的具體事務相對應，這對概念的理解非常有幫助。

五、以多媒體技術手段形象化數學概念

人對事物的認識過程都是由感性認識到理性認識，感性認識是通過聞、摸、觸、看、聽等直接接觸事物來認識事物，感性認識是認識事物的初級階段與初級形式；理性認識是把握事物內在規律與內在聯系，是認識過程的高級認識與高級形式，也是感性認識的升華。而數學學科中的眾多抽象化概念，使得很多學生在學習數學概念時都是一臉茫然，沒有具體化的事物做參考，學生就難以理解抽象化的數學概念，而多媒體等技術可以幫助學生理解抽象化的數學概念。隨著國家教育投入的加大，大多數院校的硬件設施都很完善，基本上，除偏遠地區外，各個學校都配有多媒體教學設備。與傳統教學相比較，多媒體教學在視覺效果上明顯突出。在解釋數學概念上，多媒體有視覺效應的優勢，比如一些難以解釋的概念可以先用ppt的動畫效果來展示，在學生的腦海中留下一個具體的事物形成過程，比如，極限的化圓為方、二重積分的以直代曲。動畫效果不但能展現出極限、二重積分等抽象概念是怎么形成的，還突出了數學思維模式的改變。對學生而言，通過影視效果來加深概念的映像，把這些概念具體形象化了。此外，在多媒體上，很多新概念與舊概念可以用圖畫、表格的形式進行對比，讓學生辨清兩者之間的分歧，從而鞏固對新概念的理解。比如，函數概念從初中開始一直到大學都在講解，但是初中、高中、大學的函數概念的定義并不一樣，這是因為數學思維的發展呈現年齡特征，每個年齡階段的理解能力不能一概而論，初中學生還停留在具體化階段，講解函數是直接通過簡單的函數圖像進行解釋的；高中是具體概念到抽象概念的過渡階段，函數就通過集合的形式過渡到抽象的概念；而大學是以抽象思維為主的學習階段，就直接給出函數的抽象化定義。所以，教師可以把三個階段函數不同的定義展現出來，既復習了原來的知識，還強化了對概念的理解。

總之，數學概念的理解對于數學的學習至關重要。從思想上要重視數學概念的教學，在觀念上要強化數學概念的理解，糾正原有的錯誤概念，結合多媒體技術手段，用通俗的語言來解釋數學的概念，讓學生通過對數學概念的深刻理解來達到認識數學思想本質的目的。

【參考文獻】

[1]李小平.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2013

[2]周鐵軍，張朝陽.高等數學[M].北京：中國農業出版社，2014

【作者簡介】唐小勇（1973— ），男，湖南洞口人，湖南農業大學信息科學技術學院副教授，博士，研究方向：大數據技術、高等教育理論；李小春（1979— ），男，湖南新邵人，湖南農業大學經濟學院博士研究生，副教授，研究方向：農業經濟理論、數學教育理論。

（責編 蘇 洋）