由七橋問(wèn)題看初中數(shù)學(xué)建模

王志輝

摘要：未來(lái)社會(huì)是一個(gè)信息社會(huì)，人們面對(duì)鋪天蓋地的信息，如何選擇對(duì)自己有用的信息，如何對(duì)收集的信息進(jìn)行加工整理是一個(gè)未來(lái)公民必須具備的基本素養(yǎng)。數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)則為學(xué)生學(xué)習(xí)如何選擇信息、獲取信息和加工信息提供了一個(gè)有效途徑。

關(guān)鍵詞：歐拉；七橋問(wèn)題；初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)模型；數(shù)學(xué)建模

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1672-1578（2017）09-0252-01

18世紀(jì)的歐洲，有一位偉大的數(shù)學(xué)家，全歐洲的科學(xué)家都以他為師表，都稱自己是他的學(xué)生，他就是大數(shù)學(xué)家歐拉。

1736年，歐拉在彼得堡擔(dān)任教授時(shí)，他解決了一個(gè)有趣的"七橋問(wèn)題"，這個(gè)趣題一直流傳到現(xiàn)在，并相信它是拓樸學(xué)產(chǎn)生的萌芽。

當(dāng)時(shí)普魯士首府哥尼斯堡有一條普雷格爾河，這條河有兩個(gè)支流，還有一個(gè)河心島，共有七座橋把兩岸和島連起來(lái)。有一天，人們教學(xué)的時(shí)候，有人提出一個(gè)問(wèn)題："如果每座橋走一次且只走一次，又回到原來(lái)地點(diǎn)，應(yīng)該怎么走？"當(dāng)時(shí)沒(méi)有一個(gè)人能找到答案。

這個(gè)問(wèn)題傳到住在彼得堡的歐拉耳中，當(dāng)然，他不會(huì)去哥尼斯堡教學(xué)，而是把問(wèn)題畫(huà)成一張圖：小島、河岸畫(huà)成點(diǎn)，橋畫(huà)成連結(jié)點(diǎn)的線，他考慮：如果能從一個(gè)點(diǎn)開(kāi)始用筆沿線畫(huà)（就像人過(guò)橋一樣）筆不準(zhǔn)離開(kāi)紙（人連續(xù)走路），同一條線不準(zhǔn)畫(huà)兩遍（每個(gè)橋只經(jīng)過(guò)一次），所有線都畫(huà)完，最后能否回到原來(lái)的出發(fā)點(diǎn)？（有關(guān)七橋問(wèn)題的解決，本文略去不談）

歐拉意識(shí)到他所研究的幾何問(wèn)題是一種新的幾何學(xué)，所研究的圖形與形狀和大小無(wú)關(guān)，最重要的是位置怎樣用弧連結(jié)，這張圖就是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)。

歐拉為什么能抽象出這張圖呢？是他利用了幾何的抽象化和理想化來(lái)觀察生活，建立了準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型，七年級(jí)數(shù)學(xué)開(kāi)始講點(diǎn)、線、面，這些幾何概念是從現(xiàn)實(shí)中抽象化和理想化而來(lái)，在歐拉眼中，在地圖上一個(gè)城市是一個(gè)點(diǎn)， 島和陸地抽象成點(diǎn)， 橋抽象成線，直線是筆直的，生活中沒(méi)有完全精確的筆直線，這是理想化了，正因?yàn)閿?shù)學(xué)的這種抽象，才使數(shù)學(xué)具有"應(yīng)用的廣泛性"這一特點(diǎn)。

看完歐拉的解法，啟發(fā)我們：生活中許多問(wèn)題可以用數(shù)學(xué)方法解決，但首先要通過(guò)抽象化和理想化，建立數(shù)學(xué)模型。

因此，建立數(shù)學(xué)模型就成為解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵。本文就是從數(shù)學(xué)建模的角度討論初中階段實(shí)際問(wèn)題的解決應(yīng)注意的問(wèn)題。

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要使學(xué)生初步學(xué)會(huì)建立數(shù)學(xué)模型的方法，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，應(yīng)著重注意以下幾點(diǎn)：

1.審題

建立數(shù)學(xué)模型，首先要認(rèn)真審題。蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家斯托利亞爾說(shuō)過(guò)，數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)。實(shí)際問(wèn)題的題目一般都比較長(zhǎng)，涉及的名詞、概念較多，因此要耐心細(xì)致地讀題，深刻分解實(shí)際問(wèn)題的背景，明確建模的目的；弄清問(wèn)題中的主要已知事項(xiàng)，盡量掌握建模對(duì)象的各種信息；挖掘?qū)嶋H問(wèn)題的內(nèi)在規(guī)律，明確所求結(jié)論和對(duì)所求結(jié)論的限制條件。

2.簡(jiǎn)化

根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特征和建模的目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要簡(jiǎn)化。抓住主要因素，拋棄次要因素，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，用精確的語(yǔ)言作出假設(shè)。

3.抽象

將已知條件與所求問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量或適當(dāng)建立坐標(biāo)系，將文字語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子、圖形或表格等形式表達(dá)出來(lái)，從而建立數(shù)學(xué)模型。

按上述方法建立起來(lái)的數(shù)學(xué)模型，是不是符合實(shí)際，理論上、方法上是否達(dá)到了優(yōu)化，在對(duì)模型求解、分析以后通常還要用實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇浴?/p>

從廣義講，一切數(shù)學(xué)概念、公式、方程式和算法系統(tǒng)等都是數(shù)學(xué)模型，可以說(shuō)，數(shù)學(xué)建模的思想滲透在中小學(xué)數(shù)學(xué)教材中。因此，只要我們深入鉆研教材，挖掘教材所蘊(yùn)涵的應(yīng)用數(shù)學(xué)的材料，并從中總結(jié)提煉，就能找到數(shù)學(xué)建模教學(xué)的素材。例如：最大最小問(wèn)題，包括面（體）積最大（?。?、用料最省、費(fèi)用最低、效益最好等，可以建立函數(shù)或不等式模型。行程、工程、濃度問(wèn)題，可以建立方程（組）、不等式（組）模型。

強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用現(xiàn)已成為當(dāng)今各國(guó)課程內(nèi)容改革的共同特點(diǎn)。在美國(guó)，人們提出了"用數(shù)學(xué)服務(wù)于現(xiàn)實(shí)世界"的口號(hào)。近年來(lái)，我國(guó)對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用給予了高度重視，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中也開(kāi)始進(jìn)行建模教學(xué)的探索，但所作的努力還不夠。我個(gè)人認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)的課堂上，應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容有計(jì)劃地強(qiáng)化建模教學(xué)，還數(shù)學(xué)知識(shí)源于現(xiàn)實(shí)的本來(lái)面貌。這樣做可能會(huì)多花一些時(shí)間，但是俗話說(shuō)：磨刀不誤砍柴功，所花時(shí)間是值得的。也可以將數(shù)學(xué)建模工作的一部分安排在課外去做，即課內(nèi)課外相結(jié)合。 一般說(shuō)來(lái)，運(yùn)用較少的數(shù)學(xué)知識(shí)、與教材內(nèi)容密切相關(guān)的、相對(duì)簡(jiǎn)單的建?；顒?dòng)可以在課堂教學(xué)中進(jìn)行，而需要綜合運(yùn)用多種知識(shí)、與教材內(nèi)容聯(lián)系不緊密的、相對(duì)復(fù)雜的建?；顒?dòng)應(yīng)在課外活動(dòng)中進(jìn)行。有些建模問(wèn)題比較復(fù)雜，可以將其分解、分步解決，或由教師帶領(lǐng)下解決某些環(huán)節(jié)，其具體求解過(guò)程可留給學(xué)生課后解決，最后再組織學(xué)生宣講、交流或?qū)懗尚≌撐?，這種"零存整取"的做法，既發(fā)揮了教師的主導(dǎo)作用，體現(xiàn)了以學(xué)生為主體的原則，又培養(yǎng)了學(xué)生的探索精神和數(shù)學(xué)能力。

參考資料：

[1] 《數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論》鐘啟泉 ，徐斌艷

[2] 《數(shù)學(xué)建模入門(mén)》徐全智，楊晉浩

[3] 《中學(xué)生數(shù)學(xué)6建模的幾點(diǎn)建議》孔凡海

[4] 《強(qiáng)化中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的思考》劉久成