基于活動 突出轉化 意在探究
——三角形中位線定理的教學設計與思考

●劉華為 (嶺南中學，上海 200435)

基于活動 突出轉化 意在探究
——三角形中位線定理的教學設計與思考

●劉華為 (嶺南中學，上海 200435)

文章基于三角形中位線定理的教學設計與實踐，對如何通過開展有“數學味”的操作活動發現定理，借助“知識溯源”式的轉化思想剖析定理證明的思路生成過程，強化從“教怎樣做”到“教怎樣想”的學法指導的同時，突出對學生探究能力的培養．

數學活動；知識溯源；轉化思想；探究能力

《數學課程標準》指出：教師的教學設計與課堂組織要多開展一些有利于學生主動進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動，體驗知識的建構過程，改變學生的學習方式，開發他們發現問題與解決問題的探究意識與潛能．鑒于此，筆者從操作活動入手，以轉化思想為引領，以問題驅動為保障，對“三角形中位線”教學進行了探究性設計與嘗試，取得了可喜的效果．

1 教學設計與課堂實踐

1.1 定理的發現

探究1 請問能否在△ABC紙片上只剪一刀，使剪開后的兩個圖形可以拼成一個平行四邊形？

圖1

每次教學，總有學生能給出圖1所示的操作方案，即沿著AB,AC的中點連線DE剪開，可以拼成一個BCFD．

設計意圖 常規的操作方式是先要求學生沿中位線剪開，再拼成平行四邊形．該設計之所以逆向操作是想在增加思維量的同時，讓學生由被動操作者變為主動探究者．

問題1 你是怎么想到沿AB,AC中點的連線剪開?

因為沿著△ABC的某個頂點一刀剪開后的圖形是兩個三角形，而且無論怎么剪所得的兩個三角形都不全等(原三角形為非等腰三角形)，不能拼成平行四邊形；而不過頂點一刀剪開后所得的兩個圖形中一個是三角形一個是四邊形，若要拼成平行四邊形，則必有重合的兩條邊相等，相對的兩條邊也相等，故想到過兩邊的中點連線剪開．

設計意圖 就方案形成后的操作而言,學生并不感到棘手，關鍵是很少有學生想到這樣剪．因此，設計此問的主要用意在于引導學生不僅要知道“怎樣做”還要知道“怎樣想”，從而學會思考、學會分析．

問題2 既然線段DE有一定的特殊性，那么能否給它起個既能反映其特征又很生動形象的名字呢？

學生給出了一些名稱，如“中半邊線(既突出了位置關系又反映了數量關系)”“平拼線(著眼于平分與拼圖)”“二中線(突出了線段的生成)”等．在表揚學生的創意后，筆者給出三角形中位線的定義，并引導學生比較上述名稱與課本名稱的優劣，加深印象．

設計意圖 不奢望學生能給出“中位線”的概念，意在通過思考加深學生對“三角形中位線”特征的認識與理解，培養他們語言的提煉能力，滲透創新意識．

定義 聯結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．

問題3 觀察拼圖(圖1)，關于三角形的中位線你有什么新發現？

設計意圖 該設計除了引導學生發現定理外，還有意培養學生敏銳的觀察力和透過現象挖掘本質的發現力．

1.2 定理的證明

定理 三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半.

圖2

有了拼圖的啟發，學生比較容易添出如圖2所示的輔助線并加以證明，但一旦失去拼圖“梯子”，學生可能對如何添輔助線又不知所措了．為了切實培養學生分析問題的能力，筆者又從知識轉化角度對輔助線的自然生成加以引導和解讀．

雖然平時筆者也曾引導學生從知識轉化角度對一些幾何題的證明方法的思路生成加以解讀，但面對問題3時學生的回答仍未切中要點．于是筆者又借助下列問題逐步驅動：

問題5 到目前為止，我們已學過的“與線段二倍關系有關”的知識點有哪些？

主要有：線段中點定義、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等．

設計意圖 從轉化角度而言，數學問題都是運用所學過的知識點加以解決的，因此幫助學生回顧所學過的知識源就是明確解決問題的思考方向．

問題6 結合條件，本題適合用哪個知識點處理？

由于缺少直角三角形，故本題宜選擇知識源“線段中點定義”處理．而運用線段中點定義處理兩條非共線線段的二倍關系主要有“截半”長線段和“倍長”短線段兩種方式，從而把證明兩線段間的倍數關系轉化為證明兩條線段間的相等關系．

圖3

若取BC的中點F，聯結EF，添出如圖3所示的輔助線，則需證明EF與DB平行且相等，回到了三角形中位線定理的證明，陷入了循環論證的死結.因此，只能倍長DE，至此如圖2所示的輔助線添法也就呼之欲出了，證明更是水到渠成．

設計意圖 通過對知識源的剖析與選擇，強化擇優意識，提升調控受阻思維的技巧．

探究2 能否從證明DE∥BC入手添輔助線？

問題7 與兩線平行有關的知識源有哪些？

證明兩線平行的知識源主要有：同位角或內錯角相等兩直線平行、同旁內角互補兩直線平行、平行于同一條直線的兩條直線平行和平行四邊形對邊平行等．

問題8 結合條件，若要證明DE∥BC，則應該選用哪個知識源？

雖然從圖形來看，欲證DE∥BC已具備平行線判定定理的基本特征，但無法證明角相等或互補，思路受阻；另外又缺少第3條平行線，故本題宜選擇知識源“平行四邊形對邊平行”來證明．

圖4

理所當然，圖2就是構造平行四邊形證明DE∥BC的一種方法，其實還有另一種添輔助線的方法．既然構造平行四邊形，不妨構造矩形更易操作，為此分別過點D,E作DM⊥BC于點M,EN⊥BC于點N(如圖4)，易知DM∥EN，若能再證得DM=EN，則問題迎刃而解．

問題9 與線段相等有關的知識源有哪些？應該選擇哪個知識源來證明DM=EN？

知識源主要有：線段中點定義、全等三角形對應邊相等、等角對等邊、線段中垂線的性質、平行四邊形對邊相等和等積式(利用多邊形面積相等構造方程)等．

設計意圖 上述問題6～8除了能進一步拓寬學生分析思路外，還能培養學生思維發散能力和思維優化能力．

1.3 定理的應用

題組1 直接應用

1)在△ABC中，E,F分別是BA,BC的中點，若EF=4 cm，則AC=______cm；若∠BEF=60°，則∠A=______．

2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，則連接兩條直角邊中點的線段長為______．

3)在△ABC中，E,F,G分別是AB,BC,AC的中點，若△ABC的周長為18,面積為12，則△EFG的周長為______，面積為______．

設計意圖 這3個小題，讓學生直接利用三角形的中位線定理解決，提高學生運用所學知識解決問題的能力，其中第3)小題突出整體思想及定理證明方法(構造平行四邊形)在習題中的運用．

題組2 組合應用

圖5

如圖5，在四邊形ABCD中，若E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點，則稱四邊形EFGH為四邊形ABCD的中點四邊形．

1)試判斷中點四邊形EFGH的形狀；

2)若四邊形ABCD為菱形，試判斷中點四邊形EFGH的形狀；

3)若四邊形ABCD為矩形，試判斷中點四邊形EFGH的形狀；

4)若四邊形ABCD為正方形，試判斷中點四邊形EFGH的形狀．

先由學生獨立思考，若學生想到連接對角線AC或BD，則教師可以追問“你是怎樣想到的”，啟迪沒想到的學生適時反思，學會分析；若學生沒有思路，則教師可通過“由中點你想到了什么”和“要證明一個四邊形是平行四邊形有哪些方法”兩個問題驅動學生積極思考，力求從知識轉化角度加以剖析，從而促成探究解題思路的自然生成．

設計意圖 教師引導學生運用三角形的中位線定理進行推理，感悟兩個四邊形形狀之間的依賴關系．

探究3 若中點四邊形EFGH分別為菱形、矩形和正方形，試確定四邊形ABCD所滿足的條件．

借助幾何畫板動態演示，引導學生對題組2進行反思，從解法中感悟“中點四邊形的形狀取決于原四邊形兩條對角線的位置與數量關系”，再逆向思維探究出結論：

1)若中點四邊形EFGH為菱形，則四邊形ABCD的對角線相等，反之亦成立；

2)若中點四邊形EFGH為矩形，則四邊ABCD的對角線互相垂直，反之亦成立；

3)若中點四邊形EFGH為正方形，則四邊形ABCD的對角線互相垂直且相等，反之亦成立．

圖6

設計意圖 一方面強化學生運用三角形中位線定理處理問題的能力；另一方面強化學生逆向思維的意識，激發他們的探究熱情，養成刨根問底的良好思維習慣．

題組3 實際應用

1)如圖6，點A,B分別位于一個池塘的兩端，小聰想用繩子測量A,B間的距離，但繩子不夠長，請你根據三角形中位線定理幫助小聰設計一個測量方案，測量工具只有帶有刻度的尺子．

2)是否還有其他測量方案？請你課后思考并設計出測量方案．

設計意圖 把課本中的引例改編成方案設計與課后思考題，既突出“數學來源于生活又服務于生活”的新課程理念，強化學生的實際應用能力，又讓探究活動延伸到課外．

2 教學反思

2.1 操作活動要有數學味

基于“數學教學應把證明作為探究活動的自然延續和必要發展”，不少定理的學習往往都是從活動開始的，引導學生在操作中發現定理并加以證明．三角形中位線的教學也不例外，只不過常規的操作活動往往都設計為直接讓學生沿三角形中位線剪開，再拼成平行四邊形．如此一來，操作就是一種形式，學生只是教師設計的操作程序的執行者，缺乏主動性和能動性，至于怎么想到這樣剪和為什么這樣剪卻一概不思，不利于能力的形成與發展．相反，筆者的逆向設計是一種既動手又動腦的操作活動，剪拼方案不是直接呈現，而是要求學生自己設計，使他們在一剪一拼的思考與探究中，加深對三角形中位線特征的認識和性質的理解，凸顯了濃濃的數學味．

2.2 轉化思想要有知識本

新課引入時設計的動手操作活動,其積極意義在于融定理的發現與證明于一身，極大地降低了輔助線的生成難度，為問題的順利解決巧妙地搭好思維的“梯子”．毋庸諱言，這種精心的設計在一定程度上又扼制了學生能力的發展，因為這種順梯爬的思維習慣養成后，一旦失去“梯子”學生依然會束手無策．而數學問題都是運用所學過的知識解決的，因此從化歸思想出發，以知識溯源為切入口，引導學生剖析思路生成的必然性才是培養學生問題解決能力的根本途徑與重要保障．正因為如此，筆者在動手操作和定理證明后，總引導學生從“證明線段二倍關系”和“兩線平行”兩個方面入手，借助知識溯源逐步探求輔助線生成的必然性，切實提高學生處理問題的能力，收到了可喜的效果．另外，轉化思想雖然越來越受到廣大同仁的重視，但往往都倡導模型式轉化(即盡量多地建立解題模型好讓學生套模解題)，忽視了從知識轉化角度在根本上培養學生分析問題的能力，應引起反思．事實上，只有堅持兩手抓才是有效培養學生解決問題能力的科學處理策略！

2.3 核心素養要有探究魂

近年來，大力培養學生的數學核心素養已越來越得到廣大同仁的高度認可和極力推崇．所謂數學素養通常是指人們通過數學學習建立起來的認識、理解和處理周圍事物時所具備的優良品質，是人們在與周圍環境產生相互作用時所表現出來的思考方式和解決問題的基本策略．而筆者認為核心數學素養至少要保持對事物的一顆好奇心和一份探究熱情，能夠從對情境的觀察中敏銳地發現問題并挖掘其本質，總結出有超越價值的規律．這就要求教師在教學中加大對學生探究意識的滲透和探究能力的培養.

因此，在本節課中，無論是定理的發現、定理的證明，還是對中點四邊形與原四邊形關系的規律探究，筆者都設置了必要的探究性學習情境，通過觀察猜想驗證，以問題驅動引發學生探究意識，激發學生的探究熱情，逐步培養學生良好的探究習慣．

總之，本節課采用了“問題—探究—發現—應用”的啟發性教學模式，讓學生在充分動腦、動手、動口的同時進行了探究性學習．教師巧妙地創設了活動平臺，通過轉化思想的有機滲透，把探究意識植根于學生的學習之中，突出了發展性學習能力的培養．

反思1 如果更換題目中的條件和結論，那么命題還成立嗎？為什么？

說明 例1首先通過判定方法ASA(板書3)得到△ABE≌△ACD，進而根據全等三角形的對應邊相等(板書4)得到AD=AE.此外，教師根據學生對反思1的回答情況繼續復習全等三角形的判定方法AAS(板書5)和SAS(板書6).

反思2 如果不改變題目條件，你還能得到什么結論？

說明 繼續觀察△ABE≌△ACD，根據全等三角形的對應角相等(板書7)得到∠AEB=∠ADC，進而得到∠BDC=∠CEB.

還可以根據AB=AC，AD=AE得到BD=CE，進而可得△BOD≌△COE，更進一步又可以得到新的對應邊和對應角相等.

反思3 聯結AO，則圖2中共有幾對全等三角形？

反思4 如果將題目中的圖形進行簡單變換，那么又會有怎樣的結論呢？

說明 通過反思引出下面的變式練習1～5.

1.3 變式練習

變式練習1 如圖3，BD=CE，請你添加一個適當的條件：______，使△BDC≌△CEB.

(課本第42頁例5)

圖3

說明 由例1中的結論開放到變式練習1中的條件開放，可以進一步復習全等三角形的判定方法SSS(板書8)和針對直角三角形所特有的HL判定方法(板書9).

值得一提的是，在課堂教學中有的學生說添加條件∠D=∠E可以判斷△BDC≌△CEB，接著便有學生反對說：“SSA不能判定兩個三角形全等.”此時,教師敏銳地抓住了課堂教學中的精彩“錯誤”,并順勢追問：“你能幫助他改正嗎？”進而自然地得到直角三角形全等的判定方法HL.

此外，在課堂教學中需要說明由圖2是如何得到圖3的：隱藏AD和AE，聯結BC.

變式練習2 如圖4，點D,C在BF上，BD=FC，AB=EF，∠B=∠F，求證：∠A=∠E.

(課本第39頁第2題)

圖4 圖5

變式練習3 如圖5，已知點B,E,C,F在一條直線上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D.

1)求證：AC∥DE；

2)若BF=13，EC=5，求BC的長.

(課本第44頁第11題)

說明 通過變式練習2和變式練習3進一步復習全等三角形的判定方法SAS.此外，在變式練習2的課堂教學中，教師一定要給學生說明如何由BD=FC得到BC=DF.

此外，在課堂教學中需要說明由圖3是如何得到圖4的：將△BEC沿BC向右平移一定距離；由圖3是如何得到圖5的：先將△BDC沿BC翻折，然后將得到的新三角形沿BC平移一段距離.

變式練習4 如圖6，已知點B,E,C,F在一條直線上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求證：AB∥DE.

(2016年湖北省武漢市數學中考試題第18題)

說明 通過變式練習4進一步復習全等三角形的判定方法SSS.此外，在課堂教學中同樣應該說明由圖3是如何得到圖6的：將△DBC沿BC向右平移一定距離形成新的三角形，并保留原△DBC，去掉△ECB.

圖6 圖7

變式練習5 已知△ABM和△ACN的位置如圖7所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2.

1)求證：BD=CE；

2)求證：∠M=∠N.

(2016年四川省南充市數學中考試題第19題)

說明 通過變式練習5主要引導學生體會一題多解，特別是一個題目的兩個小題之間的“遞進”關系.此外，在課堂教學中需要說明由圖2是如何得到圖7的：只需將△ADC繞點A順時針旋轉適當的角度得到新圖形，然后將新圖形“擺正”即可.

1.4 整合提高

圖8

例2 如圖8，△ABC和△DCE均是等邊三角形，點B,C,E在同一條直線上，AE與BD交于點O，聯結OC.求證：

1)△ACE≌△BCD；

2)∠BOC=∠EOC.

說明 對于學生而言,這個問題在新授課結束后的復習課中呈現可能有一定的挑戰性，但是這類問題(旋轉全等)還是非常容易理解的.此外，該題還有一個非常重要的作用，那就是引入本復習課的第二課時(角平分線的性質、判定及相關綜合問題，此時板書10)，做到課堂教學的承前啟后.

1.5 課堂小結

圖9

說明 通過課堂小結將本節課所復習的相關內容“串珠成線”(如圖9)，幫助學生在課堂教學板書(如圖1)的基礎上進一步構建知識網絡，特別是引導學生體會不同圖形之間的關系，使學生掌握相關學習方法，培養進一步學習數學的興趣.

1.6 隨堂檢測(略)

1.7 布置作業

要求在本節課所講的題目中選擇典型問題進行整理，并將其與知識樹或知識框圖中的相應知識點對應.

說明 這樣的作業設計增加了學生選擇的自主性，學生在選擇過程中可以培養學生良好的學習習慣，重要的是可以培養學生的自主反思意識.

1.8 板書設計(見圖1)

2 教學立意

2.1 源于教材，高于教材

本節課的設計定位于新授課結束后的復習課，這樣的復習課是將所學知識簡單地過一遍嗎？顯然不是的.筆者以教材中例題(典例呈現)再現的形式引入新課，接著引出了教材中另外幾個例題或習題(變式練習1～3)，體現了“源于教材”的設計思路；隨后又給出兩個相關中考試題(變式練習4～5)，在進一步鞏固所學知識的基礎上，消除學生對中考試題的恐懼，體現了“高于教材”的設計理念.

2.2 一題多變，一題多解

本課的設計將一題多變(圖形變式)體現得淋漓盡致.在課堂教學中筆者通過幾何畫板軟件動態地給學生展現了不同圖形之間的變化，加深了學生對相關知識的印象.

此外，本課通過交換條件和結論(反思1，為后續學習相關幾何圖形的“性質”和“判定”打下了堅實的基礎)；在圖形中增加字母或線段(反思2和反思3)；對圖形進行平移、翻折、旋轉(變式練習1～5)等3種變式方法，以期加深學生對課本第32頁第一段話“一個圖形經過平移、翻折、旋轉后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉前后的圖形全等”的印象，重要的是這樣做在加深學生對平移、翻折理解的基礎上，也為后續學習旋轉奠定了堅實的基礎.

值得一提的是，在變式練習5第2)小題的教學中還滲透了“一題多解”，引導學生體會不同方法之間的聯系與區別.

2.3 學會學習，勤于反思

2016年9月13日，《中國學生發展核心素養》正式發布，它指出中國學生發展核心素養表現為文化基礎、自主發展、社會參與這3個方面，綜合表現為人文底蘊、科學精神、學會學習、健康生活、責任擔當、實踐創新六大素養，具體細化為18個基本要點.這18個基本要點之一是勤于反思(屬于學會學習)，其重點是具有對自己的學習狀態進行審視的意識和習慣，善于總結經驗；能夠根據不同情境和自身實際，選擇或調整學習策略和方法等.

可以看出上述課例所做的努力就是在教會學生“學會學習”(如上文提及的3種變式方法以及板書設計和最終知識網絡的構建)的基礎上進一步培養學生的反思意識(如反思1～4等).

當然，我們為此所做的努力還是初步的，期待更多的一線教師參與進來，開發出更多的優秀復習課課例.

2017-05-27

劉華為(1968-)，男，安徽肥東人，中學高級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)09-23-04