2017年全國卷Ⅱ文科第21題評析

●戚有建 (揚州中學，江蘇 揚州 225009)

2017年全國卷Ⅱ文科第21題評析

●戚有建
(揚州中學，江蘇 揚州 225009)

文章研究2017年全國數學高考新課標卷Ⅱ文科第21題的多種解法及深刻背景.

泰勒公式；ex≥x+1；壓軸題

1 考題展示

例1 已知函數f(x)=(1-x2)ex,

1)討論f(x)的單調性；

2)當x≥0時，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

(2017年全國數學高考新課標卷Ⅱ文科試題第21題)

分析 本題是2017年該卷的壓軸題，考查的是導數的應用.第1)小題重點考查用導數研究單調性，多數學生都能解決;第2)小題重點考查用導數研究不等式恒成立問題，同時考查分類討論、轉化化歸的數學思想，該小題入口較寬，解法多樣，背景豐富，有一定難度和區分度，也有很大的教學價值和研究空間[1].

2 解法研究

1)解f′(x)=(1-2x-x2)ex，令f′(x)=0，則

x2+2x-1=0，

即

下面重點研究第2)小題.

2)解 由題意可知：對任意x∈[0,+∞)，不等式(1-x2)ex≤ax+1恒成立.

方法1 構造差函數，研究g(x)=(1-x2)ex-ax-1的最值.

令g(x)=(1-x2)ex-ax-1，x∈[0,+∞)，則

g′(x)=(1-2x-x2)ex-a,

從而

g″(x)=-(x2+4x+1)ex<0，

于是g′(x)在[0,+∞)上單調遞減.又g′(0)=1-a，因此

①當a≥1時，g′(x)≤g′(0)=0，從而g(x)在[0,+∞)上單調遞減，于是g(x)≤g(0)=0，符合要求.

②當0≤a<1時，

g′(0)=1-a>0，g′(1)=-2e-a<0，

又g′(x)在[0,+∞)上單調遞減且連續，由零點存在性定理得?x0∈(0,1)，使得g′(x0)=0.且當x∈(0,x0)時，g′(x)>0，從而g(x)在[0,+∞)上單調遞增，于是g(x)>g(0)=0，不符合要求.

綜上所述，a的取值范圍是[1,+∞).

點評 方法1是處理含參不等式恒成立問題常用的方法，也就是將不等式恒成立問題轉化為差函數最值問題，然后研究不等式“g(x)max≤0”，該方法通俗易懂，學生容易想到．但由于本小題中引入了參數a，因此需要對參數a分情況討論處理，這對學生的思維能力提出了較高要求，另外在0≤a<1的情形中還會遇到“g′(x)=(1-2x-x2)ex-a，x∈[0,+∞)的零點不方便求出”的困難，這里需要通過“設而不求”來處理，這對學生來說有一定難度.

①當x=0時，不等式(1-x2)ex≤ax+1恒成立，從而a∈R.

又令h(x)=(-x3-x2+x+1)ex+1，x∈(0,+∞),則

h′(x)=-x(x2+4x+1)ex<0，

從而h(x)在(0,+∞)上單調遞減，于是

h(x)

即

g′(x)<0，

亦即g(x)在(0,+∞)上單調遞減，因此

綜上所述，a的取值范圍是[1,+∞).

方法3 借助不等式(1-x)ex≤1放縮處理.

先證(1-x)ex≤1，x∈R.設d(x)=(1-x)ex-1，則

d′(x)=-xex.

令d′(x)=0，則x=0:當x∈(-∞,0)時，d′(x)>0,從而d(x)在(0,+∞)上單調遞增；當x∈(0,+∞)時，d′(x)<0,從而d(x)在(-∞,0)上單調遞減，于是

d(x)max=d(0)=0，

進而

d(x)≤d(0)，

即

(1-x)ex≤1，

當且僅當x=0時，等號成立.

借助(1-x)ex≤1可得：當x≥0時，

f(x)=(1-x2)ex=(1-x)(1+x)ex≤x+1，

又當x≥0時,f(x)≤ax+1，故a的取值范圍是[1,+∞).

點評 方法3實際上是借助不等式(1-x)ex≤1來處理，簡潔漂亮，簡直是“秒殺”，讓人賞心悅目，大呼痛快、精彩．同時，也引起我們的思考:不等式(1-x)ex≤1是如何想到的呢,有何背景？

3 背景研究

不等式(1-x)ex≤1看似平凡其實很不平凡，它實際上是不等式ex≥x+1的變形，用-x去換ex≥x+1中的x，得

e-x≥1-x，

兩邊同乘以ex即得

(1-x)ex≤1．

而不等式ex≥x+1更是大有來頭，它來源于高等數學中的泰勒公式:f(x)=ex在x=0處的泰勒展開式為

即

故

ex≥x+1．

這樣就不難理解本題的命制過程了，首先根據泰勒公式得到ex≥x+1，用-x去換ex≥x+1中的x，得e-1≥1-x，兩邊同乘以ex即得(1-x)ex≤1，兩邊再同乘以1+x(其中x≥0)即得

(1-x2)ex≤x+1，

然后隱掉x前面的系數1，改成求參數a的取值范圍，這就是本題的命制過程．

4 背景應用

例2 設函數f(x)=ex-1-x-ax2，

1)當a=0時，求f(x)的單調區間；

2)若當x≥0時都有f(x)≥0，求實數a的取值范圍．

(2010年全國數學高考新課標卷Ⅱ文科試題第21題)

分析 第2)小題的命制背景是泰勒公式

首先根據泰勒公式得到不等式

例3 設函數f(x)=x(ex-1)-ax2，

2)若當x≥0時都有f(x)≥0，求實數a的取值范圍.

(2010年全國數學高考新課標卷Ⅱ理科試題第21題)

分析 第2)小題中f(x)≥0，即

ex-1-ax≥0，

命題背景也是泰勒公式

首先得到不等式ex≥x+1，然后隱掉x前面的系數1，改成求參數a的取值范圍．

例4 已知函數f(x)=axn(1-x)+b(其中x>0,n∈N*,a,b為常數)，曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為x+y=1．

1)求a,b的值；

2)求函數f(x)的最大值；

(2012年湖北省數學高考文科試題第22題)

分析 第3)小題只要證

即

亦即

即

例5 已知函數f(x)=ex-ln(x+m)，

1)設x=0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調性；

2)當m≤2時，證明：f(x)>0．

(2013年全國數學高考新課標卷Ⅱ理科試題第21題)

分析 第2)小題中，當m≤2時，

ln(x+m)≤ln(x+2)，

即只要證ex>ln(x+2).實際上，由不等式lnx≤x-1可得

ln(x+2)≤x+1，

又因為ex≥x+1，并且上面兩個不等式中的等號不能同時取到，所以ex>ln(x+2)．

例6 設函數f(x)=ln(1+x)，g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的導函數.

1)令g1(x)=g(x)，gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表達式；

2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求實數a的取值范圍；

3)設n∈N+，比較g(1)+g(2)+…+g(n)與n-f(n)的大小，并加以證明．

(2014年陜西省數學高考理科試題第21題)

分析 第3)小題只要證

令b1+b2+…+bn=ln(n+1)，則

即

例7 已知函數f(x)=lnx+a(1-x),

1)討論f(x)的單調性；

2)當f(x)有最大值，且最大值大于2a-2時，求a的取值范圍.

(2015年全國數學高考新課標卷Ⅱ文科試題第21題)

分析 第2)小題的命制背景也是泰勒公式，首先得到不等式lnx≤x-1，左、右兩邊加2得到不等式lnx+2≤x+1，然后將在不等式的右邊添參數a改為含參不等式lnx+2≤a(x+1)，即

lnx+a(1-x)≤2a-2，

這就是本題的命制過程．

[1] 姜衛東，戚有建．一道調研題引起的研究[J]．中學教研(數學)，2015(4)：20-22．

[2] 戚有建．2012年湖北卷文科壓軸題分析[J]．中學數學研究，2013(4)：9-10.

2017-07-20

戚有建(1977-)，男，江蘇揚州人，中學高級教師.研究方向：數學教育.

O122.1

A

1003-6407(2017)09-47-04