扎根概念 挖掘本質 優化策略
——基于高考向量背景題的思考

●馬喜君 丁晨芳 (元濟高級中學,浙江 海鹽 314300)

●趙琴學 (海鹽高級中學,浙江 海鹽 314300)

扎根概念 挖掘本質 優化策略
——基于高考向量背景題的思考

●馬喜君 丁晨芳 (元濟高級中學,浙江 海鹽 314300)

●趙琴學 (海鹽高級中學,浙江 海鹽 314300)

數學學科能力與學科素養必然扎根于概念，由概念構建知識網絡系統，進而深挖問題的數學本質，基于本質優化策略.文理合卷即統一知識點，統一要求，統一考核.教師應該調整自己原有的理念、行為方式，轉換自己對于高考的理解，扎根概念挖掘本質，轉換思考角度、高度、寬度，優化策略——提出問題的本質解法、發展優化解法，整合知識、方法與思想，從而提升數學核心素養．

概念；本質；優化策略

2017年是浙江新高考元年,數學試卷因文理合卷、內容調整而備受期待.文理合卷即統一知識點，統一要求，統一考核．所謂的文與理，是教師經歷、理念、行為方式中的舊印記.因此文理合卷后不是學生應該如何處理，而是教師應該如何調整，轉換自己對于高考的理念，轉換思考角度、高度、寬度，尋找最有利、最高效的考前復習策略.

所有的數學學科能力與素養必然扎根于概念，由此內化為知識網絡的節點，構建自己的結構化知識網絡系統，進而深度挖掘問題的數學本質[1]，基于本質優化策略——提出問題的本質解法、發展優化解法，整合知識、方法與思想,從而提升數學核心素養．筆者結合平時的教學與高考試題解答后的思考，在深化學生對核心概念的理解與掌握、提高學生的數學綜合能力、形成數學核心素養方面等作了一些探究和思考．

圖1

1 忠于概念理解，優先定性分析

數學學習基于概念，考核忠于概念，應用高于概念，學好數學的一個表征量就是能靈活地運用概念定性地分析問題的數理關系，然后才是定量計算.

( )

A．I1

C．I3

(2017年浙江省數學高考試題第10題)

視角1 向量數量積的概念是

a·b=|a|·|b|cos.

根據題意判斷可知：

① ∠AOB是鈍角，∠BOC是銳角，從而

I1>I3,

故

I2>I1>I3.

視角2 可以用作差的方法處理比較大小的問題.由

得

I2>I1；

由

得

I2>I3；

得

I1>I3.

故

I2>I1>I3.

2 基于概念思考，明確思維導向

圖2

核心概念在整個高中數學的學習中起到統領、主導的作用．學生抓住核心概念就等于抓住了高中學習的命脈；學生掌握核心概念就等于掌握了高中數學的根本．由此可見，學生解決問題的關鍵在于對概念的理解和掌握．

例2 如圖2，已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，則|a+b|+|a-b|的最小值是______，最大值是______．

(2017年浙江省數學高考試題第15題)

試題簡明扼要，浙江風格明顯，考查學生處理向量的加減運算能力，同時涉及三角形法則、平行四邊形法則，探究不同的運算方法.

解法1 如圖2可得

|OA|+|AB|≥|OB|,

在△OAB中，兩邊之和大于第三邊,當點A在線段OB上，即向量a，b共線時，上式取到等號，即|a+b|+|a-b|的最小值為|OB|=2|b|=4.

向量部分最核心的是向量的加、減運算及其幾何意義，也就是三角形法則、平行四邊形法則，以及向量的數量積定義及其幾何意義.抓住這些核心，問題迎刃而解．概念、原理的理解不是文字的背誦，而是意義的解讀，在具體問題情境下剖析問題中的概念本質，便得以窺見問題的構造背景．

平面向量數量積概念的兩種表征體現了數量積“數”與“形”的雙重身份.首先,向量數量積的概念定義是：a·b=|a|·|b|cos;其次,其幾何意義是|a|與b在a方向上的投影|b|cos的乘積．

思路1 應用定義解題．在已知向量中選定基底向量，將所求向量轉化為基底向量進行代數求解．

4a·b=a·4b=a·[a-(a-4b)]=

圖3

3 勇于挖掘本質，透視構題背景

圖4

數學概念是從現象、事實中抽象出來的理性知識，是數學問題構建的理論背景和基本材料.如何在學生已有的概念認識上解析問題中的概念，如何引導學生在環環相扣的變式設計中清晰地識別深層知識的核心思想、不斷深化對核心概念的理解，借以發展學生超越客觀問題的構想思維，促進其思想與感覺、觀念與實體的統一，并有助于學生將學習結果內化，不斷地將學習過程引向更深、更有意義的方向[2]．

例3 如圖4，已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1，若e為單位向量，則|a·e|+|b·e|的最大值是______．

(2016年浙江省數學高考文科試題第15題)

基于對向量數量積的概念認識，分析如下:

從而

即

這些結論對我們解決問題有何幫助呢？逆向剖析概念，|a·e|+|b·e|是向量a，b在e上的投影之和，結合圖像不難發現

|a·e|+|b·e|= |OA|+|AB|=|OB|≤

在Rt△OBC中，直角邊總不大于斜邊，當e與a+b共線時，上式取到等號.

(2016年浙江省數學高考理科試題第15題)

在例2的分析基礎上，可得類似的結論：

|a·e|+|b·e|= |OA|+|AB|=|OB|≤

|OC|=|a+b|,

此類問題回歸了一個本質問題：|a|，|b|，|a+b|這3個向量的模長的關系.

3 善于聯系遷移，優化解題過程

例4 同例2．

基于投影概念(解法1)解析后，向量的坐標形式也是經常應用的形式，尤其是對于模長恒定的向量，間接地整合了向量與三角函數的關系[3].

解法2 向量a,b是兩個動態向量，可以先固定一個，不妨設a=(1,0)，b=(2cosθ,2sinθ),則

從而16≤t≤20,故

除了上述的解題策略外，對于一些結構較復雜的目標式，還可以采取整體代換的“旋轉變換”，使得目標式簡明扼要，關系明了.

解法3 設a+b=u,a-b=v，則

|u+v|=2, |u-v|=4，

從而

|u|+|v|≥max{|u+v|,|u-v|}=4,

(|u|+|v|)2≤|u+v|2+|u-v|2=20,

因此

4 敢于交匯整合，簡化解題過程

與前幾年相比，2017年解析幾何大題的考查角度變化較大，首先曲線載體選擇了拋物線，更便于坐標運算，其次求解目標|PA|·|PQ|的最大值，結合圖像發現具有強烈的向量背景.

圖5

1)求直線AP斜率的取值范圍；

2)求|PA|·|PQ|的最大值.

(2017年浙江省數學高考試題第21題)

1)略.

2)解 聯立直線AP與直線BQ的方程

該解法要求直線QP與BQ的直線方程，聯立方程求出點Q，繼而求出|PA|，|PQ|的長度，運用代數方法求最值．解題的過程采用傳統解析幾何的通性通法，中規中矩，計算繁瑣，很多學生求出|PA|，|PQ|的長度后思維有點模糊，解法有點混亂．根據向量的幾何意義，

|PA|·(-|PQ|)=-|PA|·|PQ|,

上述解法清晰自然，避免了繁瑣的運算，簡化了解析幾何的解答過程，提高了學生運算的正確率．

2017年的浙江省數學高考卷開啟了文理合卷的新篇章，試卷關注學生，注重基礎，凸顯能力，對高中數學教學起到了很好的導向作用.對今后中學教學的啟示：面對文理合卷，如何針對不同思維層次的學生因材施教；面對選考的沖擊，如何科學合理地調整數學復習教學節奏、改進數學學習方式，值得我們進一步思考與探索.

[1] 華志遠.透視數學核心素養 漫話課堂轉型抓手——從《函數與方程》的教學實錄談起[J]．數學通訊,2016(7):27-30.

[2] 盧明,姜巍.關注核心概念 培養核心素養[J]．數學教學研究,2016(7):7-12.

[3] 盧明.平面向量復習要強化“5種意識”的培養[J]．中學教研(數學),2014(4):1-5.

2017-07-22

馬喜君(1979-)，男，浙江嘉興人，中學高級教師．研究方向：數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)09-44-04