不應排斥學科滲透問題的適度考查

●劉海濱 (鹽城中學，江蘇 鹽城 224005)

不應排斥學科滲透問題的適度考查

●劉海濱
(鹽城中學，江蘇 鹽城 224005)

拓展數學應用，讓學生學有用的數學，即學以致用，應是我們教學的一個重要目標.因此，高考應有正確的導向，不應固化考題，也不應排斥學科滲透問題的考查.只有多元化評價學生，考查學生的應用分析能力，這樣才能調動教師開展研究性活動課的積極性，才能拓展學生的數學應用能力，才能真正提高學生的數學素養.

不應排斥；學科滲透；適度考查

1 問題背景

前不久，筆者所在學校高三年級組織了一次檢測考試，數學試卷中有一道不同尋常的試題：

例1 如圖1，一根細繩穿過2個等高的定滑輪，且2端分別掛有3 N,2 N的重物.現在2個定滑輪之間的細繩上掛一個重量為mN的重物，恰好使整個系統處于平衡狀態，摩擦力忽略不計.

1)若細繩被重物拉成120°的夾角，求m的值；

2)求m的取值范圍.

圖1 圖2

該檢測題頗受爭議，筆者所在學校高三數學組的主流意見是：把物理學科中的力學問題，融入到數學應用題中，難度較大，學生難以理清有關力的一些數量關系，而且數學高考肯定不會考查有關物理方面的應用題，平時的數學練習還是應該盡量避免此類題目.

上述意見，筆者不能完全茍同，有下列疑問：數學測試真的不能考查有關物理方面的應用題嗎？我們的高考一定不允許學科滲透的考查嗎？帶著疑問，筆者做了一點思考，整理成文，與讀者交流、探討.

2 解題分析

接下來就是圖形中邊角關系的研究.第1)小題中，120°的夾角即∠AOB，從而∠A=60°，在△AOC中運用余弦定理，即可求出m的值；對于第2)小題，很多學生在△AOC中運用三角形的三邊關系，迅速得到1

根據實際情況，重物將細繩向下拉，α，β應都是銳角，易知∠ACO=β.在△AOC中，由正弦定理可得

3sinα=2sinβ，

2個式子相加，化簡得

m=3cosα+2cosβ.

結合上述正弦等式，消去α，可得

可能有人認為：2次運用余弦定理的運算處理有點靈活，學生不易過關.確實如此，但這類問題在物理學科中，通常是由水平方向的合力為0，即由正弦定理可得3sinα=2sinβ；以及豎直方向的合力為0，從而直接得出m=3cosα+2cosβ.如此，很容易想到消角，轉化為m關于β的函數.

3 題類探討

對于例1，也許有人會說，它是一道物理題，不是數學題.說例1是物理題，肯定沒有錯，它就是日常生活中的滑輪問題，確實是物理方面的問題.但說它不是數學題，值得商榷！

要用一個標準嚴格界定一個問題是不是數學題，不是一件容易的事，但我們可以粗略地把數學題分為2大類：一類是純粹的數學問題，以研究空間形式和數量關系為主(百度百科釋義)；另一類是數學應用問題，主要是運用數學知識解決生產、生活中的實際問題，即我們常講的數學建模.據此，我們可以認為例1是數學應用題，只不過它是與力有關的問題，雖然是物理問題，但這并不妨礙它作為數學題.其實，數學與物理本來就是一家，沒有數學理論知識作支撐，能研究物理問題嗎？比如向量的引入，就源自于力學[1].數學就是解決實際問題(包括物理問題)的一個工具，從某種程度上講，物理問題就是一類特殊的數學應用題.

回顧上述例1的解題過程，只是用了一點力的合成知識而已，而且這與數學中的向量加法是一致的，完成求解的主體過程是三角函數等數學知識，因此其作為數學題，不為過.若對于某一個問題的解決，所需物理知識的比重很大，遠遠多于數學知識，則把它作為數學題，就有點不合適了.

圖3

翻開蘇教版高中教材《數學(必修4)》，筆者發現：在“向量的應用”這節內容中，上述例1就是由課本題改編而來的(是在課本題的基礎上，增加了第1)小題).并且類似于例1這樣的“力與運動”方面的題目還有6道，筆者在此不一一例舉[1].另外，在《數學(必修5)》“基本不等式”這節內容中，也有2道有關物理方面的題目：一道是杠桿問題[2]，另一道是電學問題(即以下例2).

例2 如圖3，電路中電源的電動勢為E，內電阻為r，R1為固定電阻，R2為一個滑動變阻器.R2調至何值時，其消耗的電功率P最大？最大電功率是多少(其中P=I2R)？

此外，在《數學(必修1)》“函數模型及其應用”一節中，有物理冷卻問題；在《數學(選修2-2)》“導數及其應用”一章中，有不少物理方面的問題.教材上這么多物理方面的應用問題說明：應充分關注數學應用教學，不應忽視數學知識在物理方面的應用，不應排斥學科滲透問題的考查.

4 學以致用

4.1 不應固化考題

對于高考，筆者總是覺得過于保守了，試卷的固化太嚴重.高考之前給每個學生發《考試說明》，而根據《考試說明》命制的試卷，教師基本上都能估計到“什么題號對應什么題型，是什么難度”.

這樣的試卷，對高中教學的影響比較大，不考的不教、必考的重點，反復講反復練，課堂目標明確、重點突出，其實就是應試教學！教材上的閱讀材料，沒空讀；教材上的探究問題，沒空探.這樣的教學，有點像工廠生成模具，所教出來的學生，都限制在一定的知識水平內，不能使學生學有所長，學生的個性化發展很差.

筆者認為：我們的高考不應固化考題，為什么要限制考題數量？完全可以根據試題難度調整數量，保證大多數學生有思考完成的時間即可.為什么要規定重要考點？文獻[3]指出：高考應有正確的導向，有必要增加研究型試題，多元化評價學生，考查學生的研究分析能力，這樣才能真正改變廣大教師的守舊認識，調動教師積極開展研究性活動課，拓展學生的知識面，提高學生深入研究問題的能力，為教育創新起引領作用.總之，不限制考試思路，才能打開教學思路，才能讓教師各盡其才，教出有深度和廣度的學生.

4.2 應拓展數學應用

在平日的教學中，教師之間也常交流數學學習的作用，普遍認為：數學的學習能使人變得更聰明，它能鍛煉人的思維分析能力，對今后的工作生活有著潛移默化的影響，而且數學是將來從事理工科工作人群的必要基礎知識，是高端科研的必要知識.

筆者認為:中學數學教學應拓展數學應用，要讓學生學有用的數學,要讓我們的日常生活充滿數學.當這些學生步入社會，即使不從事理工科的工作研究，他們也感到數學是有用的，并能把數學知識用到工作、生活中，這樣我們的數學學習才更有意義，也才能讓全社會都認同數學學習.

學習數學的目的是要讓學生學有所用，解決生活中的實際問題，而不要刻意加大難度，反而有些生活問題，適當簡化命題，倒是很有必要.沒有必要排斥學科滲透問題的應用，而應該擴充數學應用的范圍，加大數學應用題的考查，從而真正提高教師的應用教學意識，切實提高學生的數學建模能力.

高考命題要有原則，原則是要有正確的教學導向作用，要引導教師遵守教學理念，發揮自身所長，不僅要教給學生課本知識，更要教出自己的理解與觀點，帶領學生開展研究性學習活動，讓學生學會思考，學會獨立解決問題.

[1] 單墫.普通高中課程標準實驗教科書·數學(必修4)[M].南京：江蘇教育出版社，2012.

[2] 單墫.普通高中課程標準實驗教科書·數學(必修5)[M].南京：江蘇教育出版社，2012.

[3] 崔志榮.高考數學應適當增加“研究型試題”的分析[J].數學通訊，2017(2)：8-13.

若按順時針排列，則

圖1

如圖1所示，將三角形所在平面分成7個區域，文獻[1]和文獻[2]已經證明了點O在△ABC內部(即區域①)的情形.

1)若點O在區域②內，則τ(A,BC,O)=-1，τ(B,CA,O)=-1，τ(C,AB,O)=-1，此時點O,B,C按順時針排列，點O,C,A和點O,A,B按逆時針排列，從而

2)若點O在線段BC上(不含端點)，則點O,B,C共線，進一步有x2y3=x3y2.此時，τ(A,BC,O)=0,τ(B,CA,O)=1,τ(C,AB,O)=1，點O,C,A和點O,A,B按順時針排列，從而

同理可得

我們還可以把定理1闡述如下：

2 三角形的“五心”

根據前面的定理，結合三角形“五心”的幾何特征，可以得出一些等式，根據文獻[1]的結論，下面的各個推論也只需對于鈍角三角形的情形作出證明.

圖2 圖3

推論2 如圖2，點O1，O2，O3是△ABC的旁心，則

證明 若△ABC為鈍角三角形(其中∠C為鈍角)，則垂心O在三角形的外部(如圖3)，根據定理1可得

因為

即

S△OBC∶S△OCA∶S△OAB=tanA∶tanB∶(-tanC)，

所以

圖4

證明 若△ABC為鈍角三角形(其中∠C為鈍角)，則外心O在三角形的外部(如圖4)，根據定理1可得

因為S△OBC=2R2sin∠BOC，S△OCA=2R2sin∠COA，S△OAB=2R2sin∠AOB，所以

又∠BOC=2A,∠COA=2B,∠AOB=2∠D=2(π-∠C)，故

從上可以看出，三角形外心、內心、垂心的向量表示形式都與三角函數相關，且銳角三角形和鈍角三角形的情形完全一致，簡潔實用，可謂珠聯璧合，給人以美的享受！如果改用三角形的邊或面積來表示，則需要分情況討論，達不到這個效果.

3 解題中的應用

(2014年浙江省高中數學競賽試題第12題)

(2016年全國高中數學聯賽山東賽區預賽試題第5題)

以上3個例題都涉及到點在三角形外部的情形.

sinA∶sinB∶sinC=2∶2∶1,

tanA∶tanB∶tanC=1∶2∶3.

例6 (歐拉線)設△ABC的外心為O，重心為G，垂心為H,則點O，G，H共線.

證明 對于直角三角形，結論是顯然的.對于非直角三角形，由推論4可得

故

即點O,G,H共線.

以上3個例題利用三角形“五心”統一向量表示形式，解題過程十分簡單.

三角形的“五心”既有統一的向量表示形式，又有關乎三角形各角的等量關系，易于記憶，方便使用，在解決此類問題時還可以達到“秒殺”的效果.

參 考 文 獻

[1] 朱慶華.面積法求三角形的五心的向量表示的同一形式[J].數學通訊，2010(5):40-41.

[2] 關麗娜，鐘德光.三角形“五心”向量形式的一個簡證及應用[J].中學教研(數學)，2017(1)：31-34.

[3] 克萊因.高觀點下的初等數學·幾何[M].上海：復旦大學出版社，2007.

2017-04-24

劉海濱(1969-)，男，江蘇鹽城人，中學高級教師.研究方向：數學教育.

O12

A

1003-6407(2017)09-32-03